2022年函數(shù)【概念方法題型易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)】

1、概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)函 數(shù)一映射 f : A B 的概念。在 理解映射概念時(shí)要注意： 中元素必須都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1）設(shè) f : M N 是集合 M 到 N 的映射，下列說法正確的是 A、 M 中每一個(gè)元素在 N 中必有象 B、 N 中每一個(gè)元素在 M 中必有原象 C、 N 中每一個(gè)元素在 M中的原象是唯一的 D、 N 是 M 中所在元素的象的集合（答： A）；（2）點(diǎn) ( a , b ) 在映射 f 的作用下的象是 ( a b , a b )，則在 f 作用下點(diǎn) ( 3 1, ) 的原象為點(diǎn)_ （答：（2， 1）；（3）若 A

2、,1 2 , ,3 4 ，B a , b , c ，a b c R ，則 A到 B 的映射有 個(gè)， B 到 A 的映射有 個(gè)， A 到 B 的函數(shù)有 個(gè)（答： 81,64,81 ）；（ 4） 設(shè)集合 M 1, 0,1, N 1, 2, 3, 4, 5，映射 f : M N 滿足條件“ 對(duì)任意的x M ，x f x 是奇數(shù)” ，這樣的映射 f 有_個(gè)（答： 12）；2（5）設(shè) f : x x 是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2 ，則 A B 一定是 _ （答：或1 ）. 二函數(shù) f : A B 是特殊的映射 。特殊在 定義域 A和值域 B 都是非空數(shù)集 ！據(jù)此可知函數(shù)圖像與 x 軸的

3、垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)， 但與 y 軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有， 也可能有任意個(gè)。 如：f x ， xF ，那么集合 (x y , ) |yf x xF(x y , ) |x1中所含（1）已知函數(shù)元素的個(gè)數(shù)有個(gè)（答： 0 或 1）；（2）若函數(shù)y1x22x4的定義域、值域都是閉區(qū)間2 ,2b ，則 b （答： 2）2三同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則。而值域可由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定，因此 同一函數(shù) 。如當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同時(shí)，它們一定為若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“ 天一函數(shù)” ，那么解析式為y2 x ，值域?yàn)?4 ，1的

4、“ 天一函數(shù)” 共有 _個(gè)（答： 9）四求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則）：loga x 中(3,4) )；1根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對(duì)數(shù)x0,a0且a1，三角形中 0A, 最大角3，最小角3等。 如（1）函數(shù)yx4x2的定義域是 _ lgx3(答： (0,2)(2,3)（2）若函數(shù)y2 kxkx73的定義域?yàn)?R，則 k_ f x ( )(答：0,3) ；4kx（3）函數(shù)f x 的定義域是 , a b ，ba0，則函數(shù)F x ( )4f(x 的定義域是_ 若（4）設(shè)函數(shù)f x ( )lg(ax22x1)，若(答： ,a )；f x

5、的定義域是 R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；f x 的值域是 R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍（答：a1； 0a1）2根據(jù)實(shí)際問題的要求確定自變量的范圍。3復(fù)合函數(shù)的定義域： 若已知 f x 的定義域?yàn)?, a b ,其復(fù)合函數(shù) f g x ( ) 的定義域由不等式 a g x ( ) b 解出即可；若已知 f g x ( ) 的定義域?yàn)?, a b ,求 f x 的定義域，相當(dāng)于當(dāng) x , a b 時(shí)，求 g x 的值域（即 f x 的定義域）。如（1）若函數(shù) y f ( x ) 的定義域?yàn)?12,，則 f (log 2 x ) 的定義域?yàn)?_ 2（答：x | 2 x 4）；2（2）若函數(shù) f x 1

6、) 的定義域?yàn)?2,1) ，則函數(shù) f x 的定義域?yàn)?_ （答： 1,5）五求函數(shù)值域（最值）的方法：1配方法 二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間 m n 上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)） ，對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。求 二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合 ，注意“兩看 ”：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系），如（1）求函數(shù)yx22x5,x 1,2的值域（答： 4,8）；（2）當(dāng)x(0 ,2時(shí)，函數(shù)f(x )ax24 (a)1x3在x2時(shí)取得最大值，則 a 的取值范圍是 _ （3）已知f x ( )3 x b(2x4)的圖象過點(diǎn)（ 2,1），則F x ( )f

7、1（答：a(2 x1 2）；( )2f1)的值域?yàn)?_ （答： 2, 5）2換元法 通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（答： 4,17）；（1）y2sin2x3cosx1的值域?yàn)?_ 8（2）y2x1x1的值域?yàn)?_ （答： (3,) ）（3）y sin x cos x sin x cos x的值域?yàn)?_ （答： 1, 12）；2（4）y x 4 9 x 的值域?yàn)?_ 2（答： 1,3 2 4 ）；3函數(shù)有界性法 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如x求函數(shù)

8、 y 2sin 1，y 3x，y 2sin 1 的值域1 sin 1 3 1 cos（答：( , 1 、（0,1）、( , 3）；2 24單調(diào)性法 利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求 y x 1 (1 x 9)，y sin 2x 92，y 2 x 5log 3 x 1 的值域x 1 sin x（答：(0, 80)、11 ,9、 2,10 ）；9 25數(shù)形結(jié)合法 函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率、等等， 如（1）已知點(diǎn) P x y 在圓 x 2y 21 上，求 y 及 y 2 x 的取值范圍x 2（答： 3, 3、 5, 5 ）；3 32 2

9、（2）求函數(shù) y ( x 2) ( x 8) 的值域（答： 10, ) ）；（3）求函數(shù) y x 26 x 13 x 24 x 5 及 y x 26 x 13 x 24 x 5 的值域（答： 43, ) 、 ( 26, 26) ）注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在 x 軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在 x 軸的同側(cè)。6判別式法 對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：ykbx2型，可直接用不等式性質(zhì)，如如（答：(0,3）求y23x2的值域2yx2ybxn型，

10、先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，（答：(,1 2）；mx1x2的值域（1）求x（2）求函數(shù) y x 2 的值域x 3（答：0, 1）22 y x2 m x n 型，通常用判別式法； 如x mx n2已知函數(shù) y log 3 mx2 8 x n 的定義域?yàn)?R，值域?yàn)?0，2，求常數(shù) m n的值x 1（答：m n 5）2 y x m x n 型，可用判別式法或均值不等式法，如mx n2求 y x x 1 的值域x 1（答： ( , 3 1, ) ）7不等式法 利用基本不等式 a b 2 ab a b R ) 求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆

11、項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 如設(shè)x a a 2,y 成等差數(shù)列，x b b 2,y 成等比數(shù)列，則(a 1a 2)2的取值范圍是 _. b 1 b 28導(dǎo)數(shù)法 一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)，如（答： (,04,) ）。求函數(shù)f x ( )2x34 x240 x ，x 3,3的最小值。（答： 48）提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？六分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在 求分段函數(shù)的值 f x 0 ) 時(shí)，一定首先要判斷 x 屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相

12、應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如2( x 1) .( x 1)（1）設(shè)函數(shù) f x ( )，則使得 f x ( ) 1 的自變量 x的取值范圍是 _ 4 x 1.( x 1)（答： ( , 2 0,10 ）；1 ( x 0)（2）已知 f x ( )，則不等式 x ( x 2) f x 2) 5 的解集 _ 1 ( x 0)（答：( , 3 ）2七求函數(shù)解析式的常用方法：1待定系數(shù)法已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：2 2f x ( ) ax bx c ；頂點(diǎn)式：f x ( ) a x m ) n ；零點(diǎn)式：f x ( ) a

13、x x 1 )( x x 2 )，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）。如已知 f x 為二次函數(shù)，且 f ( x 2 ) f ( x 2 )，且 f(0)=1, 圖象在 x 軸上截得的線段長為 2 2 , 求 f x 的解析式。（答：f x ( ) 1x 22 x 1）22代換（配湊）法 已知形如 f ( ( ) 的表達(dá)式，求 f x 的表達(dá)式。 如（1）已知 f ( 1 cos x ) sin 2 x , 求 f x 2的解析式（答：f x 2) x 42 x 2, x 2, 2）；（2）若 f ( x 1) x 2 12，則函數(shù) f (x 1 ) =_ x x（答：x

14、22 x 3）；（3）若函數(shù) f (x ) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x ( 0 , ) 時(shí)，f ( x ) x ( 1 3 x )，那么當(dāng) x ( , 0 ) 時(shí)，f (x ) =_ （答：x (1 3 x ）. 這里需 值得注意 的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即 f x 的定義域應(yīng)是 g x 的值域。3方程的思想 已知條件是含有f x 及另外一個(gè)函數(shù)的等式， 可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于xf( ) x 及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。如（1）已知f x ( )2f(x)32，求f x 的解析式g（答：f x ( )3 x2）；（2）已知f x 是奇函數(shù)，3(x )是偶函數(shù)

15、，且f x +g(x)=x11,則f( ) x = _ 八反函數(shù)：（答：xx1）。21存在反函數(shù)的條件 是對(duì)于原來函數(shù) 值域中的任一個(gè)y 值，都有唯一的 x 值與之對(duì)應(yīng) ，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有f x ( )0(x0)有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如,12,函數(shù)yx22 ax3在區(qū)間 1, 2上存在反函數(shù)的充要條件是A、a,1B、a2,C、a1,2D、a（答： D）2求反函數(shù)的步驟：反求 x ；互換 x 、y；注明反函數(shù)的定義域（原來函數(shù)的值域）。注意 函數(shù) y f x 1) 的反函數(shù)不是 y f 1( x 1)，而是 y f 1( ) 1。如設(shè) f ( x

16、) ( x 1 ) 2( x )0 .求 f ( x ) 的反函數(shù) f 1 x )x（答：f 1( ) 1( x 1)）x 13反函數(shù)的性質(zhì)：反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù) f (x ) 滿足條件 f (ax 3 ) = x ，其中 a 0 ，若 f (x ) 的反函數(shù) f 1 x ) 的定義域?yàn)?1, 4，則 f ( x ) 的定義域是 _ a a（答： 4,7）.函數(shù) y f x 的圖象與其反函數(shù) y f 1( ) x 的圖象關(guān)于直線 y x 對(duì)稱， 注意 函數(shù)y f x 的圖象與 x f 1( ) y 的圖象相同。 如（1）已知函數(shù) y f

17、 x 的圖象過點(diǎn) (1,1),那么 f 4 x 的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn) _ （答：（1,3）；（2）已知函數(shù)f(x )2x3，若函數(shù)yg x 與yf1 x)1的圖象關(guān)于直線yxx1對(duì)稱，求g(3)的值（答：7 2）；f a ( )bf1( )a 。如_ （答：1）；（1）已知函數(shù)f(x )log3(42)，則方程f1 x )4的解 xx（2）設(shè)函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) （1,2）對(duì)稱，且存在反函數(shù)f1( ) x ，f (4)0，則f1(4)（答： 2）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如f1x 是它的反函數(shù)， 那已知 fx 是 R上的增函數(shù)， 點(diǎn)A1,1 ,B1,3在它的圖象

18、上，么不等式f1log2x1的解集為 _ （答：（2,8）；(x設(shè)f x 的定義域?yàn)?A，值域?yàn)?B，則有f f1( )x xB ，f1f x ( )xA ，但f f1( )f1 f x ( )。九 函數(shù)的奇偶性 。1具有奇偶性的函數(shù)的 定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如(0 ,2)，則的若函數(shù)f(x)2sin(3x)，x25 ,3為奇函數(shù)，其中值是（答： 0）；2確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性）：定義法： 如判斷函數(shù)y|x94 | 4的奇偶性 _（答：奇函數(shù)）。0）。如x2利用

19、函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式：f x ( )f(x)0或f(x )1（f x ( )f x ( )判斷f x ( )x(2111)的奇偶性 _.（答：偶函數(shù)）x2圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱。3函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反. . 如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù)若f x 為偶函數(shù)，則f(x)f x ( )f(|x|). 如f若 定 義 在 R 上 的 偶 函 數(shù)f x ( )在 (,0) 上 是 減 函 數(shù) ， 且f(1)=2 ， 則 不 等 式

20、3( l o g 1x )2的解集為 _. 8若奇函數(shù)f x 定義域中含有0，則必有f(0)0. 故f(0)（答： (0,0.5)(2,) ）0是f x為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。 如x若 f x ( ) a 2x a 2 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) a _（答： 1）. 2 1定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“ 一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”。如設(shè) f ( x ) 是定義域?yàn)?R 的任一函數(shù)，F(xiàn) x ( ) f x ( ) f ( x )，G x ( ) f x ( ) f ( x )。判2 2斷 F (x ) 與 G (x ) 的奇偶性； 若將函數(shù) f ( x ) lg(

21、 10 x 1 )，表示成一個(gè)奇函數(shù) g (x ) 和一個(gè)偶函數(shù) h (x ) 之和，則 g (x )_ （答： F ( x ) 為偶函數(shù)，G (x ) 為奇函數(shù)； g (x )1 x ）2復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是： “ 內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外 ” . 既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（f x ( ) 0，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）.十 函數(shù)的單調(diào)性 。1確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：在解答題中常用： 定義法（取值作差變形定號(hào)） 、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間 ( , )內(nèi)，若總有 f ( ) 0，則 f x 為增函數(shù)；反之，若 f ( ) x 在區(qū)間 ( , ) a b 內(nèi)為增函數(shù)，則f ( ) 0，請(qǐng)

22、 注意兩者的區(qū)別 所在。 如已知函數(shù) f x ( ) x 3ax 在區(qū)間 1, ) 上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 _ ( 答： (0,3 ）) ；b 在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意yaxb(a0 x0)型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為(,b,b,)，減區(qū)間為aab,0),(0,b. 如aa（1）若函數(shù)f(x )x22 ( a1 )x2在區(qū)間（， 4 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _ （2）已知函數(shù)f( )ax1在區(qū)間a2,0,( 答：a3）) ；上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍 _ x2（3）若函數(shù)fxa x4（答：(1,)）；2logax且a

23、1的值域?yàn)?R，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ ( 答： 0a4且a1）) ；復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn)是 同增異減 ，如函數(shù) y log 1 x 22 x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 _ 2( 答：（ 1,2 ）) 。2特別提醒： 求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一是勿忘定義域，如若函數(shù) f x ( ) log ( x 2ax 3) 在區(qū)間( , a 上為減函數(shù)，求 a 的取值范圍（答： (1,2 3) ）；二是在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不2一定能添加符號(hào) “” 和“ 或” ；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示3你注意到函數(shù) 單調(diào)性與奇偶性的逆用 了嗎?（比較大??；解不等式；求參數(shù)范圍）. 如已知奇函數(shù) f

24、(x ) 是定義在 ( 2 , 2 ) 上的減函數(shù) , 若 f ( m )1 f ( 2 m 1 ) 0，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。（答：1m 2）2 3十一 常見的圖象變換1函數(shù) y f x a (a 0 ) 的圖象是把函數(shù) y f x 的圖象沿 x軸向左平移 a 個(gè)單位得到的。 如設(shè)f x ( )2x, ( ) g x 的圖像與f( ) x 的圖像關(guān)于直線 yxx 對(duì)稱， ( ) h x 的圖像由g x 的圖像向右平移 1 個(gè)單位得到，則h x 為_ (答：h x ( )log (x1) 2函數(shù)yfxa(a0)的圖象是把函數(shù)yf的圖象沿 x 軸向右平移 a 個(gè)單位得到的。 如（1）若f x1

25、99)34x24x3，則函數(shù)f x 的最小值為 _ （2）要得到y(tǒng)lg(x)的圖像， 只需作(答： 2)；ylgx關(guān)于 _軸對(duì)稱的圖像， 再向_平移 3 個(gè)單位而得到(答： y ；右)；（3）函數(shù)f x ( )xlg(x2)1的圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有 _個(gè)(答： 2) 3函數(shù)yfx+ a(a0 )的圖象是把函數(shù)yfx助圖象沿 y 軸向上平移 a 個(gè)單位得到的；4函數(shù)yfx+ a(a0)的圖象是把函數(shù)yfx助圖象沿 y 軸向下平移 a 個(gè)單位得到的； 如將函數(shù)yxba0a的圖象向右平移2 個(gè)單位后又向下平移2 個(gè)單位 ,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱,那么1 ,bR(A)a,1b0(B

26、)a(C)a,1b(D)a0 ,bR(答： C) 5函數(shù)yfax(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿 x 軸伸縮為原來的1 得到 a的。 如yf x 的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標(biāo)不變），再將此3（1）將函數(shù)圖像沿 x 軸方向向左平移 2 個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 _ (答：f (3 x 6) )；（2）如若函數(shù) y f (2 x 1) 是偶函數(shù)，則函數(shù) y f (2 ) x 的對(duì)稱軸方程是 _ (答：x 1 )26函數(shù) y af x (a 0 ) 的圖象是把函數(shù) y f x 的圖象沿 y 軸伸縮為原來的 a 倍得到的 . 十二 函數(shù)的對(duì)稱性 。1滿足條件 f x a f b

27、x 的函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x a b 對(duì)稱。 如2已知二次函數(shù) f ( x ) ax 2bx ( a 0 ) 滿足條件 f ( 5 x ) f ( x 3 ) 且方程 f ( x ) x 有等根，則 f ( x )_ (答：1x 2 x )；22點(diǎn) ( , ) x y 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ( x y ；函數(shù) y f x 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱曲線方程為y f x；3點(diǎn) ( , ) x y 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 ( , y ；函數(shù) y f x 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱曲線方程為y f x；4點(diǎn) ( , ) x y 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ( x , y ；函數(shù) y f x 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為y f

28、 x；5點(diǎn) ( , ) x y 關(guān)于直線 y x a 的對(duì)稱點(diǎn)為 ( ( y a ), x a ；曲線 f x y ( , ) 0 關(guān)于直線 y x a 的對(duì)稱曲線的方程為 f ( ( y a ), x a ) 0。特別地，點(diǎn) ( , ) x y 關(guān)于直線 y x的對(duì)稱點(diǎn)為 ( , ) y x ；曲線 f x y ( , ) 0 關(guān)于直線 y x 的對(duì)稱曲線的方程為 f ( , )0 ；點(diǎn) ( , x y 關(guān)于直線 y x 的對(duì)稱點(diǎn)為 ( y , x ；曲線 f x y ) 0 關(guān)于直線 y x的對(duì)稱曲線的方程為 f ( y , x ) 0。如己知函數(shù) f x ( ) x 3,( x 3) ,

29、 若 y f (x 1 ) 的圖像是 C , 它關(guān)于直線 y x 對(duì)稱圖2 x 3 2像是 C 2,C 2 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像為 C 3, 則 C 3 對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是 _ （答：y x 2）；2 x 16曲線 f x y ) 0 關(guān)于點(diǎn) ( , ) a b 的對(duì)稱曲線的方程為 f (2 a x ,2 b y ) 0。如若函數(shù) y x 2x 與 y g (x ) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ -2 ，3）對(duì)稱，則 g (x )_ （答：x 27 x 6）7形如 y cx axd b ( c 0, ad bc ) 的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線 x dc ( 由分母為零確定 ) 和直線 y ac ( 由

30、分子、分母中 x 的系數(shù)確定 ) ，對(duì)稱中心是點(diǎn) ( d ac c。如已知函數(shù)圖象 C 與 C : ( y x a 1) ax a 21 關(guān)于直線 y x 對(duì)稱，且圖象 C 關(guān)于點(diǎn)（2， 3）對(duì)稱，則 a 的值為 _ （答： 2）8 | f ( ) | 的圖象先保留 f x 原來在 x 軸上方的圖象，作出 x 軸下方的圖象關(guān)于 x 軸的對(duì)稱圖形，然后擦去 x 軸下方的圖象得到；f (| x |) 的圖象先保留 f ( ) x 在 y 軸右方的圖象，擦去 y 軸左方的圖象，然后作出 y 軸右方的圖象關(guān)于 y 軸的對(duì)稱圖形得到。 如（1）作出函數(shù)y|log (x1)|及ylog |x1|的圖象；f

31、(x )f(x)的圖象關(guān)于（2）若函數(shù)f( x )是定義在R 上的奇函數(shù)，則函數(shù)F(x )_對(duì)稱（答： y 軸）提醒：（1）從結(jié)論可看出，求對(duì)稱曲線方程的問題，實(shí)質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問題； （2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上； （3）證明圖像 C 與 C 的對(duì)稱性， 需證兩方面 ：證明 C 上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心 （對(duì)稱軸） 的對(duì)稱點(diǎn)仍在 1 C 上；證明 C 上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在 C 上。如 1（1）已知函數(shù) f ( x ) x 1 a ( a R )。求證：函數(shù) f (x ) 的圖像關(guān)于點(diǎn) M a ( ,

32、1) 成中a x心對(duì)稱圖形；（2）設(shè)曲線 C 的方程是 y x 3 x ,將 C 沿 x 軸, y 軸正方向分別平行移動(dòng) ,t s 單位長度后得曲線 C 。寫出曲線 C 的方程（答：y ( x t ) 3 ( x t ) s）；證明曲線 C 與 C 關(guān)于點(diǎn) A t, s 對(duì)稱。2 2十三 函數(shù)的周期性 。1類比“ 三角函數(shù)圖像” 得：若 y f x 圖像有兩條對(duì)稱軸 x a x b a b ，則 y f x 必是周期函數(shù)，且一周期為 T 2 | a b ；若 y f x 圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心 A a ( ,0), B b ( ,0)( a b ，則 y f x 是周期函數(shù)，且一周期為 T 2 |

33、 a b ；如果函數(shù) y f ( ) x 的圖像有一個(gè)對(duì)稱中心 A a ( ,0) 和一條對(duì)稱軸 x b a b ，則函數(shù)y f x 必是周期函數(shù)，且一周期為 T 4| a b ；如已知定義在 R 上的函數(shù) f ( ) x 是以 2 為周期的奇函數(shù)，則方程 f x ( ) 0 在 2, 2 上至少有 _個(gè)實(shí)數(shù)根（答： 5）2由周期函數(shù)的定義 “ 函數(shù) f x 滿足 f x f a x ( a 0)，則 f ( ) x 是周期為 a 的周期函數(shù)”得：函數(shù) f x 滿足 f x f a x，則 f x 是周期為 2a 的周期函數(shù)；若 f x a ) 1( a 0) 恒成立，則 T 2 a ；f x

34、 ( )若 f x a ) 1( a 0) 恒成立，則 T 2 a . f x ( )如(1) 設(shè) f (x ) 是 ( , ) 上的奇函數(shù)，f ( x 2 ) f ( x )，當(dāng) 0 x 1 時(shí)，f ( x ) x，則 f ( 47 . 5 ) 等于_ (答：0 . 5 )；(2) 定義在 R 上的偶函數(shù) f x 滿足 f ( x 2) f x ，且在 3, 2 上是減函數(shù)，若 ,是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則 f (sin ), f (cos ) 的大小關(guān)系為 _ _(答：f (sin ) f (cos ) )；（3）已知 f x 是偶函數(shù)，且 f (1) =993，g x = f x 1)

35、是奇函數(shù)，求 f (2005) 的值(答：993)；（ 4 ） 設(shè) fx 是 定 義 域 為1R 的 函 數(shù) ， 且fax21fx1fx ， 又f222，則f2006= ， log 1 a0， logaa1， lg 2lg5(答：22)十四 指數(shù)式、對(duì)數(shù)式 ：21， logexlnx ，amnam，am1 ma n，a0nn0)，alog a NN ，logblogcb，logambnnlogab。abNlogaNb a0,a1,Nlogcam如（1）log 25 log 4 log 9 的值為 _ (答：8)；（2）(1)log28的值為 _ (答：1 64) 2十五 指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較

36、：（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（ 0 或 1）；（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。十六 函數(shù)的應(yīng)用 。（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：審題認(rèn)真讀題，確切理解 題意，明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；建模通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域；解模求解所得的數(shù)學(xué)問題；回歸將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問 題中去。（2）常見的函數(shù)模型有：建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；建立分段函數(shù)模型；建立指數(shù)函數(shù)模型；建立 y ax b 型。x 十七抽象函數(shù) ：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：1借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。幾類常見的