2021-2022學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市重點(diǎn)中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 13 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 13 頁2021-2022學(xué)年廣東省清遠(yuǎn)市重點(diǎn)中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題15位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同報(bào)名方法有（）A10種B20種C25種D32種【答案】D【分析】該事件用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)，結(jié)合每個(gè)同學(xué)有2種選擇，即可得出結(jié)果【詳解】由題，每個(gè)同學(xué)有2種選擇，故不同報(bào)名方式為，故選：D2已知函數(shù)在上可導(dǎo)，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)目標(biāo)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)

2、果.【詳解】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，.故選：D3的展開式中第7項(xiàng)為（）ABCD【答案】B【分析】直接由二項(xiàng)式通項(xiàng)公式寫出第7項(xiàng)即可得出結(jié)果【詳解】由題，第7項(xiàng)為：，故選：B4設(shè)函數(shù)，則在處的切線方程為（）ABCD【答案】C【分析】求導(dǎo)函數(shù)，求得，由直線的點(diǎn)斜式方程可求得答案.【詳解】解：，在處的切線方程為，即故選：C.5關(guān)于排列組合數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式和性質(zhì)可判斷.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)或組合數(shù)的計(jì)算公式，可知A，B選項(xiàng)正確；，而，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D選項(xiàng)正確綜上，錯(cuò)誤的選項(xiàng)為C.故選：C.6某三甲醫(yī)院組織安排4名男主任醫(yī)師和3名女主任醫(yī)師到

3、3家不同的區(qū)級(jí)醫(yī)院支援，要求每家區(qū)級(jí)醫(yī)院至少安排2人且必須有1名女主任醫(yī)師，則不同的安排方法有（）A216種B108種C72種D36種【答案】A【分析】根據(jù)題意，先安排4名男主任醫(yī)師，有，再將三名女醫(yī)生安排到這3家醫(yī)院后，根據(jù)乘法原理求解即可.【詳解】由題，先安排4名男主任醫(yī)師，他們中有兩位一起去了同一個(gè)醫(yī)院，故有種方法，再將3名女主任醫(yī)師安排到這3家醫(yī)院，有種方法，所以根據(jù)乘法原理，共有種不同的安排方法.故選：A7已知函數(shù)，若，則（）ABCD【答案】B【分析】分析導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，利用中間值法可得出，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單

4、調(diào)遞減，又，即，所以，故選：B.8盒中有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球，c個(gè)白球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球d個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率是（）ABCD【答案】A【分析】由題，設(shè)事件“第一次抽出的是紅球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”， 事件“第二次抽出的是黑球”，則兩兩互斥，由全概率公式得，求值即可【詳解】設(shè)事件“第一次抽出的是紅球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”，事件“第二次抽出的是黑球”.由全概率公式知由題意，則,故選：A二、多選題9若且，則實(shí)數(shù)m的值可以為（）A3B1C0D1【答案】AD【分析】令后可

5、求，再令可得關(guān)于的方程，從而可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，則，令，則，則，故即或.故選：AD10設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則（ ）ABCD【答案】ABC【分析】由題意結(jié)合離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，即可判斷A、D；由即可判斷B；由即可判斷C；即可得解.【詳解】隨機(jī)變量的分布列為,， 解得，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故答案為：A、B、C.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表

6、示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則（）ABCD【答案】ACD【分析】根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)榧坠拗杏?個(gè)紅球、2個(gè)黑球，所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以，因此選項(xiàng)D正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B不正確，故選：ACD12已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A有且只有一個(gè)極值點(diǎn)B設(shè)，則與的單調(diào)性不同C有3個(gè)零點(diǎn)D在上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】利用的二次求導(dǎo)，得到， ，從而存在，使得，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義即可判斷選項(xiàng)，求出的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)，利用函數(shù)的極值點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)，利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論即可判斷選項(xiàng)【詳解】解

7、：由題知，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，故的一個(gè)極值點(diǎn)為0，所以與的單調(diào)性不相同，故B正確；因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，且，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c在上都是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確故選：ABD三、填空題13設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若，則_【答案】0.6【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則，又，聯(lián)立解得故答案為：0.6.14已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則_【答案】-1【分析】首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后利用方

8、程思想求解的值即可.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，令可得：，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15馬路上亮著一排編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盞路燈為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中的兩盞燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)為_【答案】21【分析】根據(jù)題意，10盞路燈中要關(guān)掉不連續(xù)的兩盞，所以利用插空法【詳解】先將剩下的8盞燈排成一排，因兩端的燈不能關(guān)掉，則有7個(gè)符合條件的空位，進(jìn)而在這7個(gè)空位中，任取2個(gè)空位插入關(guān)掉的2盞燈，所以共有種關(guān)燈方法，故

9、答案為：2116設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式解集為_【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，直接解不等式即可.【詳解】令，故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式可化為，則，解得：故答案為：【點(diǎn)睛】解不等式的常見類型：(1)一元二次不等式用因式分解法或圖像法；(2)指對(duì)數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；(3)解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性.四、解答題17已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64(1)求n的值；(2)寫出展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)【答案】(1)6(2)240【分析】（1）由題意得，從而可求出n的值；（2）求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令的次數(shù)為1，求出，從而可求得結(jié)果

10、【詳解】(1)由題知，解得(2)的展開式的通項(xiàng)為，根據(jù)題意，得，展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為24018已知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列其中，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可【詳解】(1)因?yàn)?，?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以(2)由（1）知由2可得，由可得，所以19袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到1個(gè)紅球得2分，取到1個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球，記得分為X(1)求得分X的可能取值；(2)求得

11、分X的分布列【答案】(1)X的可能取值為1，5，6，7(2)分布列見解析【分析】（1）首先寫出取出的球的顏色的可能情況，即可得到的可能取值；（2）根據(jù)（1）中的可能取值求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到的分布列；【詳解】(1)解：從袋中隨機(jī)取4個(gè)球的情況為0紅4黑，1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，共四種可能情況，它們的得分分別為4分，5分，6分，7分，故的可能取值為，(2)解：依題意可得，故得分的分布列為456720如圖，E是以為直徑的半圓O上異于A、B的點(diǎn)，矩形所在的平面垂直于圓O所在的平面，且.(1)求證：平面平面；(2)若異面直線和所成的角為，求平面與平面的夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(

12、2)【分析】（1）先證平面，進(jìn)而證明面面垂直；（2）取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點(diǎn)O作與平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而結(jié)合異面直線所成角可得，再結(jié)合法向量的方法求解即可.【詳解】(1)證明：在矩形中，平面垂直于圓所在的平面，且兩平面的交線為，平面，垂直于圓O所在的平面.又在圓O所在的平面內(nèi)，.為圓O的直徑，又，平面，平面，平面，平面平面(2)解：取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點(diǎn)O作與平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由異面直線和所成的角為，知，由題設(shè)可知，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，.易知

13、平面的一個(gè)法向量為，.故平面與平面的夾角的正弦值為.21已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，直線，的交點(diǎn)D既在橢圓C上，也在直線上.(1)求橢圓C的方程；(2)過直線上的動(dòng)點(diǎn)A的直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)B，判斷x軸上是否存在點(diǎn)P，使得.若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在點(diǎn)【分析】（1）依題意可得，即可求出，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到方程組，解得、，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，根據(jù)得到，即可表示出、坐標(biāo)，假設(shè)x軸上存在點(diǎn)，使得，則恒成立，即可求出的值，從而得解；【詳解】(1)解：由題意可得，且點(diǎn)D到x軸的距離是到x軸距離的2倍，所以是的中位線，所以，由，得，所以，由解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解：直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為，聯(lián)立，得.因?yàn)橹本€與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)B，所以，即，所以，即.，即，假設(shè)x軸上存在點(diǎn)，使得，則恒成立，所以，所以，即x軸上存在點(diǎn)，使得22已知函數(shù)(1)求證：在上單調(diào)遞減(2)若對(duì)于任意，都有恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)得時(shí)，由此得證；（2）將問題等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，令，