材料力學第三章課件

1、第 3 章 扭 轉3-1 概述3-2 薄壁圓筒的扭轉3-3 傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖3-4 等直圓桿扭轉時的應力 強度條件3-5 等直圓桿扭轉時的變形 剛度條件3-6 等直圓桿扭轉時的應變能3-7 等直非圓桿自由扭轉時的應力和變形*3-8 開口和閉口薄壁截面桿自由扭轉時的應力與變形13-1 概 述M23變形特點: . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉動；. 桿表面的縱向線(母線)變成螺旋線；受力特點：圓截面直桿在與桿的軸線垂直的平面內(nèi)受外力偶?？v向線43-2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒通常指 的圓筒當其兩端面上作用有外力偶時，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩扭矩(torque)5 . 薄壁圓筒橫截面上各點切

2、應力的變化規(guī)律表面變形情況：(1) 周向線繞軸線轉動,形狀及尺寸不變(2)周向線間的距離保持不變(3) 縱向線仍為直線,但發(fā)生傾斜周向線縱向線軸線6推論：(1) 橫截面形狀和大小不變，即橫截面象剛性平面一樣(平截面假定)繞軸線轉動；(2) 橫截面間的距離不變。7橫截面上的應力：(1) 只有與圓周相切的切應力( shearing stress )，且圓周上所有點的切應力相同；(2) 對于薄壁圓筒，可認為切應力沿壁厚均勻分布；(3) 橫截面上無正應力，處于純剪切狀態(tài)。8令，上式可寫為. 薄壁圓筒橫截面上切應力計算公式由 并結合應力均勻分布的特點得 ，于是有9. 剪切胡克定律(Hookes law

3、in shear)(1) 薄壁圓筒表面格子的直角均改變了g,這種直角改變量稱為切應變(shearing strain).(2) 圓筒兩個端面繞軸線產(chǎn)生了相對扭轉動角j.(3) 在假定切應力均勻分布情況下,切應變也均勻,故有g =j r0/l,此處r0為薄壁圓筒的平均半徑.10實驗表明：當橫截面上切應力t 不超過材料的剪切比例極限tp時，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T )與相對扭轉角j 成線性關系,從而可知t 與g 亦成線性關系，即：剪切胡克定律G材料的切變模量(shear modulus)。113-3 傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖. 傳動軸的外力偶矩P 轉軸上輸入或輸出功率n 轉軸轉速外力偶

4、矩Me亦稱為轉矩12. 扭轉時橫截面上的內(nèi)力扭矩Me1Me2Me3Me4Me5Me1Me2Me3扭矩符號規(guī)定：面對選定單元體的截面,逆時針轉的扭矩為正,順時針轉的扭矩為負.習慣假定扭矩為正.T視線Me4Me5T視線13III. 扭矩與外力偶矩的關系 取截面左邊的單元體： 面對選定單元體的截面,順時針轉的外力偶在截面上產(chǎn)生正的扭矩,逆時針轉的外力偶在截面上產(chǎn)生負的扭矩.扭矩的大小等于外力偶矩的大小.截面上總的扭矩等于該單元體上所有外力偶單獨作用時在截面上產(chǎn)生的扭矩的代數(shù)和.Me1Me2Me3T視線以橫坐標表示截面位置,縱坐標表示各截面扭矩大小,并按適當比例繪制出的二維圖形.IV. 扭矩圖Me41

5、234Me1Me2Me3n【例3-1 】 轉速 n = 300 r/min ,主動輪1輸入功率為P1 = 500 kW ,從動輪輸出功率分別為P2 = 150 kW ,P3 = 150 kW , P4 = 200 kW. 試畫扭矩圖.2）畫扭矩圖 4774.5 Nm9549 Nm 6366 Nm+-Me41234Me1Me2Me3n【解】1） 計算外力偶矩【課堂練習】若將從動輪3與4對調(diào)如圖,試作扭矩圖.這樣布置是否合理？4774.5 Nm11140.5 Nm4774.5 Nm+_對調(diào)后4774.5 Nm9549 Nm 6366 Nm+_對調(diào)前Me31243Me1Me2Me4n對調(diào)后17m=k

6、 xxO【例3-2】圖示桿受矩集度m=k x的線性分布力偶作用，試畫出桿的扭矩圖.Txm=kxT(x)T(x)+dT(x)dx(1)變形幾何關系 圓軸扭轉前的橫截面,變形后仍保持為平截面,其形狀和大小不變,半徑仍保持為直線,橫截面象剛性平面一樣繞軸線轉動了一個角度.從受扭圓軸上同軸截出半徑為的微段dx,設微段左右端面相對轉角為d,其端面上承受的扭矩為T,縱向線AB轉角為 .OdTTdxBAB. 橫截面上的應力3-4 等直圓桿扭轉時的應力強度條件OdTTdxBAB因故即受扭圓軸橫截面上任一點的切應變與該點的半徑成正比當=R時，得max=R即橫截面邊沿上各點的切應變最大令單位長度相對扭轉角,同一截

7、面其為常數(shù)則（2）物理關系 圓軸處于比例極限內(nèi),由胡克定律知即受扭圓軸橫截面上任一點的切應力與該點的半徑成正比當=R時,得max=GR即橫截面邊沿上各點的切應力最大TmaxmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmax(3) 靜力學關系dAORT圓截面的極慣性矩,它是一個與圓面積有關的幾何量則即抗扭剛度 考慮到令22令 抗扭截面模量 將 代入 得令 =R,則則 TmaxmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmax23.極慣性矩IP和抗扭截面模量WP(1)空心圓截面OdD其中(2)實心圓截面ddA=2d24MeMeOzxydxdzdy右左上下FS上=上dxdzFS下=下dxdz FS左=左dydz

8、 FS右=右dydz . 切應力互等定理 切應力互等定理 ：在互相垂直的兩個平面上,切應力必然成對存在且數(shù)值相等;二者都垂直于兩平面的交線,共同指向或共同背離兩平面的交線.該定理在任意應力狀態(tài)下均成立.xyzxyyxxzzxzyyzxy=yxyz=zyzx=xz思考：為什么竹竿受扭后先沿縱向（母線）破環(huán)？(1)圓軸扭轉時的破壞現(xiàn)象 塑性材料如低碳鋼在受扭過程中先屈服,如繼續(xù)增大載荷,試件將沿橫截面破壞. 脆性材料如鑄鐵等在受扭過程中,變形始終很小,試件沿與軸線成45的螺旋面破壞.I. 強度條件低碳鋼鑄鐵對塑性材料： u s對脆性材料： u b(2)許用切應力和安全系數(shù) 1.剪切極限應力構件扭轉

9、時，產(chǎn)生過大塑性變形或斷裂時橫截面上的切應力稱為剪切極限應力.用 u表示.2.許用切應力 軸能安全工作時橫截面上的最大切應力. n安全系數(shù) 許用切應力, (3)圓軸扭轉的強度條件 和拉壓強度條件一樣，解決強度計算的三類問題.強度條件 強度校核設計截面求許可載荷【例3-3】圖示階梯軸，AB段直徑d1=120 mm，BC段直徑d2=100 mm。MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用切應力t =80 MPa。試校核該軸的強度。31【解】1）繪扭矩圖MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm32AB段內(nèi)：2）求每段最大切應力AB段直徑d1=

10、120 mm，BC段直徑d2=100 mm33BC段內(nèi)：AB段直徑d1=120 mm，BC段直徑d2=100 mm3）校核強度t2,max t1,max且t2,maxt = 80MPa,滿足強度條件.343-5 等直圓桿扭轉時的變形剛度條件. 扭轉時的變形等直圓桿的扭轉變形可用兩個橫截面的相對扭轉角(相對角位移) j 來度量。MeADBCMejg35若圓軸在標距為l的兩橫截面間G、IP、T為常數(shù)，則相對扭轉角： 單位為弧度(rad) 單位為度 ()若圓軸的G(x)、IP (x) 、T (x)為橫截面位置x的連續(xù)函數(shù)，則相對扭轉角： 若圓軸在第i段標距l(xiāng)i內(nèi)Gi、IPi、Ti為常數(shù)，則相對扭轉角

11、： 單位為弧度(rad) 單位為度 ()(a)【例3-4】鋼制實心圓軸中,M1=1 592 Nm,M2 = 955 Nm,M3 = 637 Nm,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切變模量G = 80 Gpa.試求橫截面C 相對于B的扭轉角jBC .【解】1）求I、II兩段的扭矩38(a)2）設A截面固定,分別求B、C截面相對于A截面的扭轉角jAB、jAC39(a)3）求C截面相對于B截面的扭轉角【思考】C截面相對于B截面的轉向？ B截面相對于C截面的轉向？40【例3-5】圖示有錐度的實心圓軸長為l,兩端直徑分別為D和d,沿軸線承受矩集度為m的均布力偶,軸材料的剪切彈性模量為G.【解】1）求x截面的扭矩ldDm寫出軸x截面上半徑為的點(x,)的切應力 (x,) 及x截面的扭轉角.T(x)dxmT(x)+d T(x)xdx2）求x截面的極慣性矩x截面的直徑x截面極慣性矩3）求 (x,)點的應力ldDx4）求x截面的扭轉角ldDx軸單位長度最大扭轉角(/m).軸單位長度許用扭轉角(/m).和強度條件一樣，可解決剛度計算的三類問題 .剛度校核設計截面求許可載荷. 剛度