1.3.1空間幾何體的表面積與體積解析課件

1、1.3.1 柱體、椎體、臺體的表面積與體積柱體錐體臺體球幾何體的分類多面體旋轉(zhuǎn)體一、柱體、錐體、臺體的表面積什么是面積？面積:平面圖形所占平面的大小 S=ababAahBCabhabAr圓心角為n0rc復(fù)習(xí)回顧表面積、全面積和側(cè)面積表面積：立體圖形的所能觸摸到的面積之和叫做它的表面積。（每個(gè)面的面積相加 ）全面積全面積是立體幾何里的概念，相對于截面積（“截面積”即切面的面積）來說的，就是表面積總和側(cè)面積指立體圖形的各個(gè)側(cè)面的面積之和（除去底面）2、分別作出一個(gè)圓柱、圓錐、圓臺，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸作一個(gè)平面，觀察得到的軸截面是 什么形狀的圖形.ABCDABCABCD矩 形等腰三角形等腰梯

2、形 怎么樣得到正方體和長方體的表面積?幾何體表面積展開圖平面圖形面積空間問題平面問題把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？正棱錐的側(cè)面展開圖是什么？側(cè)面展開正棱錐的側(cè)面積如何計(jì)算？表面積如何計(jì)算？ 正棱臺的側(cè)面展開圖是什么？側(cè)面展開hh正棱臺的側(cè)面積如何計(jì)算？ 表面積如何計(jì)算？棱柱、棱錐、棱臺的表面積h一般地,多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和表面積=側(cè)面積+底面積小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對應(yīng)的面積公式C=0C=C 例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積 DBCAS所以： 因此，四面體S-ABC 的表面積交B

3、C于點(diǎn)D解：先求 的面積，過點(diǎn)S作典型例題因?yàn)?練習(xí):已知棱長為a，底面為正方形，各側(cè)面均為等邊三角形的四棱錐S-ABCD，求它的表面積.解：四棱錐的底面積為a2， 每個(gè)側(cè)面都是邊長為a的正三角形，所以棱錐的側(cè)面積為 所以這個(gè)四棱錐的 表面積為例1：一個(gè)正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為 _;答：60例2：正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺，求棱臺的側(cè)面積例1：一個(gè)正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺的側(cè)面積. 分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E求多面體的表面積可

4、以通過求各個(gè)平面多邊形的面積和得到,那么旋轉(zhuǎn)體的表面積該如何求呢?思考圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形O側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形OO側(cè)面展開圖是一個(gè)扇狀環(huán)形OOOOrr上底擴(kuò)大r0上底縮小三者之間關(guān)系圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？ 例2 如圖，一個(gè)圓臺形花盆盆口直徑20 cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取3.14，結(jié)果精確到1 ）？ 解：由圓臺的表面積公式得 花盆的表面積：答：花盆的表面積約是999 典型例題各面面積之和小結(jié)：展開圖 圓臺圓柱圓錐空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題棱柱、棱錐、棱臺圓柱、圓錐、圓臺所用的數(shù)學(xué)思

5、想：柱體、錐體、臺體的表面積二、柱體、錐體、臺體的體積體積:幾何體所占空間的大小 長方體體積：正方體體積：圓柱的體積：abhaaah底面積高柱體體積 以前學(xué)過特殊的棱柱正方體、長方體以及圓柱的體積公式,它們的體積公式可以統(tǒng)一為：柱體體積柱體（棱柱、圓柱）的體積公式：（其中S為底面面積，h為柱體的高）作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺各一個(gè)，找出斜高COBAPD斜高的概念三:錐體體積例2： 如圖：三棱柱AD1C1-BDC,底面積為S,高為h. ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答:可分成棱錐A-D1DC, 棱錐A-D1C1C, 棱錐A-BCD. 問：（1）從A點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割成幾個(gè)

6、三棱錐？ 3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積S，高h(yuǎn)） 注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個(gè)面都可以作為底面，可以用來求點(diǎn)到面的距離問題:錐體(棱錐、圓錐）的體積定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是，高是， 那么它的體積是：hSS錐體 圓錐 Shss/ss/hx四.臺體的體積V臺體=上下底面積分別是s/,s,高是h，則臺體（棱臺、圓臺）的體積公式臺體體積柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，h為柱體高 分別為上、下底面面積，h 為臺體高S為底面面積，h為錐體高上底擴(kuò)大上底縮小例2 如圖，一個(gè)圓臺

7、形花盆盆口直徑20 cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米？ 例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即:所以螺帽的個(gè)數(shù)為（個(gè)）答：這堆螺帽大約有252個(gè)典型例題球的體積和表面積 設(shè)球的半徑為R，則有體積公式和表面積公式R設(shè)球的半徑為R，則球的體積公式為V球 .43R3例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面積之比4，則它們的半徑之比_.(

8、1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼谋丁?2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋丁?3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是。(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是。例2：球的體積和表面積 例2. 已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且正方體的棱長為a，求球O的表面積和體積.ACo解答：正方體的一條對角線是球的一條直徑，所以球的半徑為例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則

9、正方體對角線與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=。變題2.如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=。關(guān)鍵：找正方體的棱長a與球半徑R之間的關(guān)系OABC例4已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面積解：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面O的半徑為r，題型一 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的 表面積(其中BAC=30)及其體積. 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀,再求表面積.解 如圖所示,過C作CO1AB

10、于O1,在半圓中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC= ,BC=R,S球=4R2, 解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算. 知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則知能遷移2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則題型二 多面體的表

11、面積及其體積 一個(gè)正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長 為 ，求這個(gè)三棱錐的體積. 本題為求棱錐的體積問題.已知底面 邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. 解 如圖所示， 正三棱錐SABC. 設(shè)H為正ABC的中心， 連接SH， 則SH的長即為該正三棱錐的高.連接AH并延長交BC于E，則E為BC的中點(diǎn)，且AHBC.ABC是邊長為6的正三角形， 求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透撸缓髴?yīng)用公式 進(jìn)行計(jì)算即可.常用方法：割補(bǔ)法和等積變換法.（1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積.（2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面.求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)算；利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”.題型三 組合體的表面積及其體積 (12分)如圖所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E為AB的中點(diǎn)， 將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求形成的三棱錐的外接球的體積. 易知折疊成的幾何體是棱長為1的正 四面體，要求外接球的體積只要求出外接球的 半徑即可. 解 由已知條件知，平面圖形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折疊后得到一個(gè)正四面體. 2分 方法