重難突破微專題(六) 立體幾何中的探索問題

1、重難突破微專題(六)立體幾何中的探索問題一、存在性問題【典例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面刷Q_L平面ABCD , PALPD , PA=PD , ABLAD , AB= 1 , AD = 2 , AC=CD 二令.求證：平面08.求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.在棱PA上是否存在點M ,使得平面PCD ?若存在，求暮 的值；若不 存在，說明理由.【解析】(1)因為平面PADA.平面ABCD，平面PADD平面ABCD = AD .ABVAD ,ABU平面 ABCD ,所以ABL平面B4D.所以ABLPD.又因為 PALPD , PAHAB = A , 所以PDJ_平面PAB.取AD

2、的中點。，連接P0 , CO.因為PA = PD ,所以POLAD.又因為POU平面PAD ,平面PAD1.平面ABCD ,平面ABCD = AD , 所以POL平面ABCD.因為COU平面ABCD ,所以POA.CO.因為AC= CD ,所以COLAD.如圖所示，建立空間直角坐標系由題意得，A(0 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 0) , C(2 , 0 , 0) , 0(0 , 1 , 0) , P(0,0 , 1).二 (1,1, - 1),則PZ) =(0f - 1 ,設平面PCD的法向量為“ 二(x , y , z).Pbn = 02x - z = 0.2x - z = 0

3、.即PtJn = 0令 z = 2 ,貝J x = 1 , y = - 2.所以 二(1 ,2,2).又淬二(1,1, -1), 所以COS 3 ,淬=-平.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為半.(3)存在點M ,即當郎 日時，平面PCD.理由如下：設M是棱網(wǎng)上一點，則存在止0 , 1,使得緒=A.因此點 M(0 , 1 - 2 ,。，堿二(T ,因為平面PCD ,所以要使平面PCD ,當且僅當勵 以=0 ,即(-1 , -2,2).(1 , -2, 2) = 0.解得人.所以在棱網(wǎng)上存在點M ,使得平面PC。,此時器.S技法點撥對于存在判斷型問題的求解，應先假設存在，把要成立的結論當作

4、條件，據(jù) 此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定 范圍內的解”等.對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結論列出等式, 解出參數(shù).，變式訓練(2021 .臨汾二模)如圖,在半徑為寸的半球O中，平行四邊形ABCD是圓。的 內接四邊形，= ,點戶是半球面上的動點，且四棱錐P-ABCD的體積求動點P的軌跡丁圍成的平面圖形的面積；是否存在點P使得二面角P-AD-B的大小為? ?請說明理由【解析】(1)由已知條件可知，平行四邊形曲CD為矩形,BD = 2y3 ,因為 AD = W AB , AD2-i-AB2 =12 ,所以AD = 2y2 , AB =

5、 2 ,四邊形ABCD的面積為4皿,設點P到底面ABCD1|Q的距離為h，則Vp.abcd = 3 xS矩形abc湖=3 x4皿h = ,解得佇皿， 所以點P在到底面A8CZ)的距離為皿 的平面內，又因為點P是半球面上的動點,所以點P的軌跡為半徑r = 1的圓，所以T圍成的面積S = Tir = Tt.(2)存在點P使得二面角P-AD-B的大小為 ,理由如下：以底面圓的圓心0為 原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz ,由可知 A(也,-1 , 0) , D(-皿,-1,0),設 P(a , h , y/2 ),易知 6Z2 + /?2 = 1 z設平面ADP的法向量為n = (x ,

6、y , z),DA = (2/2 , 0 , 0),血=(。皿,0 + 1 ,皿),J ji-DA = 22x = 0序=(, 塞)x+ (Z?+l)y + y/2z = 0取=-y/2 ，則 n = (0z - 2 M+l),由題意可取平面ABCD的法向量為m = (0 , 0 , 1), 若要滿足題目條件，則|cos (m , n) |cos (m , n) |1。+1|_+ 以+1 )2 P，解得危乎- 1- 1 , 1,所以存在點P使得二面角P-AD-B的大小為 .二、折疊問題【典例2如圖所示,已知在長方形ABCD中z AB = 2AD = 2yj2 , M為DC的中點，將AWM沿AM

7、折起，使得求證：平面ADM.L平面ABCM ；2若E點滿足戰(zhàn)=3 Bt),求二面角E-AM-D的大??？【解析】(1)因為 AM = yjAD2 + DM2 =p + 2 = 2 , BM BC2 + CM2 = 22 =2,所以 A + B/tf = S = AB2 ,所以 AM IBM ,又因為 AD_LBM , ADHAM = A ,所以&W_L平面ADM ,又因為BMU平面ABCM ,所以平面ADM A.平面ABCM ；取AM中點。，連接DO，因為DA = DM ,所以DOAM ,又平面 ADMH平面 ABCM = AM ,平面 ADM1.平面 ABCM ,所以 OO_L平面ABCM ,

8、以OA方向為工軸，過O垂直于AM方向為)，軸，OD方向為z軸建立空間直 角坐標系，如圖所示:c由條件可知：A(1 , 0 , () , M( - 1 , 0 , () , B( - 1 , 2,0),因為。日 AM= 1 ,所以 0(0,0, 1),則及)二(1 ,2, 1),設 E(xe , yE , ze),在+ 1 =項2-3= 戰(zhàn) 為 因 又2-3= 戰(zhàn) 為 因 又4 TOC o 1-5 h z 命,所以yE-2= -,2122所以 ( - y 3 ，)，222所以麗=(-2,0,0),尻 =(，),取平面AMD的一個法向量m = (0 , 1,0),設平面AME的一個法向量小=(x

9、, y , z),x = 0因為，所以，取y=i,砂 2 = 0 y + z = Q 所以 n2 = (Q , 1 , T),r-r-pinvii21 y2所以cos嘰2 =尻=聲=2 ，由圖可知二面角E-AM-D為銳二面角，所以二面角E-AM-D的大小為45.S技法點撥通過線段長度關系證明AMLBM ,由此可證明平面ADM，根據(jù)面面垂 直的判定定理可完成證明；通過證明垂直關系建立合適空間直角坐標系，分別求解出平面AME平面 AMD的一個法向量，然后根據(jù)法向量夾角的余弦值結合圖形求解出二面角的大 小.，變式訓練(2021 南京二模)已知平行四邊形ABCD中，/60。，點E在AD f且滿足BC

10、= 2AB = 4AE = 4 ,將ME沿BE折起至班:的位置，得到四棱錐P-BCDE.求證：平面PDE_L平面BCDE ；(2)若二面角P-BE-D的大小為120 ,求直線PB與平面PCD所成角的正弦值【解析】(1)在如中,AB = 2 , AE= 1 , ZA = 60 ,由余弦定理得B2 = AB2 + AE2 - 2AB AE cos 60。= 3 ,所以 BE2 + AE2 = AB2 ,由勾股定理知 BE1AE. 折疊后，則有BEPE , BELDE ,因為PEHDE = E ,所以HE_L平面PDE , 又BEU平面BCDE ,所以平面PDEA.平面BCDE ；因為BE IDE , BEPE，則ZPED即為二面角P - BE - D的平面角.以E為坐標原點,Et）所在的方向分別作為x , y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz.于是 D(3 , 0,0) , B(0 , V3V39-2/(X=，所以淬=V3V322捫 一 2 zi