微分方程競(jìng)賽模型(傳染病和人口發(fā)展模型)

1、傳染病模型(mxng)共五十四頁2模型(mxng)1(SI模型)模型(mxng):共五十四頁3共五十四頁4模型(mxng)2(SIS模型)模型(mxng):共五十四頁5令 s=l/m接觸數(shù)(再生(zishng)數(shù)), 一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)共五十四頁6共五十四頁7模型(mxng)3(SIR模型)數(shù)值(shz)計(jì)算模型:共五十四頁8在相平面上討論解的性質(zhì)(xngzh)(軌道走向):共五十四頁903年:SARS傳播(chunb)預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型題目的第二問是提供了北京市4月20日到6月12日已確診的SARS累計(jì)病例數(shù)、現(xiàn)有的疑似SARS病例數(shù)、累計(jì)死亡人數(shù)和累計(jì)治愈出院人數(shù)，希望學(xué)生

2、建立起自己的模型，以對(duì)北京等地SARS的感染情況進(jìn)行研究，定量地描述，并分析控制措施對(duì)SARS傳播的影響。特別是訓(xùn)練學(xué)生學(xué)習(xí)(xux)利用已給的數(shù)據(jù)確定模型中的參數(shù)，進(jìn)行分析、計(jì)算和比較。共五十四頁10評(píng)閱(pngyu)要點(diǎn): 1)學(xué)生答卷中應(yīng)包含對(duì)傳播機(jī)理和傳播狀況的敘述(如:傳播途徑、傳播方式、潛伏期和傳播地區(qū)等)，并且給出建模原理、方法、思路或框圖。2)模型中的人口至少有3類:易感者、患者和恢復(fù)(與死亡)者，仔細(xì)一些的可以再加入潛伏者、隔離者、疑似病人、確診病人，治愈者和留觀者等，要弄清楚他們之間的關(guān)系。3)模型還應(yīng)包含對(duì)于傳染(chunrn)率、治愈率和死亡率等重要概念的清晰表述。模型

3、分析和計(jì)算中要給出上述參數(shù)的估計(jì)方法和估計(jì)值，還可包括平均治愈天數(shù)、隔離率和潛伏期等。共五十四頁11SARS建模和預(yù)測(cè)(yc)大部分答卷都在敘述了SARS傳播機(jī)理的基礎(chǔ)上，作出類似于下面這些基本合理的假設(shè)(jish):單位時(shí)間內(nèi)感染的人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例;單位時(shí)間內(nèi)治愈人數(shù)與現(xiàn)有感染者成比例;單位時(shí)間內(nèi)死亡人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例; SARS患者治愈恢復(fù)后不再被感染;各類人口的自然死亡可以忽略;忽略遷移的影響。共五十四頁12這些比例系數(shù)可以是常數(shù)、時(shí)間的函數(shù)、時(shí)間和各類人口的函數(shù)、或分幾段取常數(shù)。當(dāng)然，還可以根據(jù)(gnj)需要做其它假設(shè)。建立模型一般是將總?cè)丝诜譃橐赘姓逽(suscepti

4、ble)、患者I(infective)、恢復(fù)者R(removed)，再仔細(xì)一些的還有潛伏者E, 隔離者Q(quarantinable)、疑似病人P(peradventure)和確診病人J等類型。敘述或作出各類人口之間流動(dòng)的示意圖，并根據(jù)傳染病建模的一般原理建立起如SIR, SEIR, SEQPIJR等類模型。這些模型基本思路相同，差異在于人口分類的多少，關(guān)鍵在于參數(shù)的確定。例如最簡(jiǎn)單的SIR模型為共五十四頁13其中：S(t)是t時(shí)刻易感者的數(shù)量，它等于總?cè)丝跍p去患者(hunzh)和恢復(fù)者的數(shù)量;I(t)是t時(shí)刻患者的數(shù)量;R(t)是t時(shí)刻恢復(fù)者的數(shù)量;bS(t)是單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)患者感染的人數(shù);

5、g是患者的恢復(fù)率;d是患者的死亡率。共五十四頁14由于隔離等控制措施的不斷加強(qiáng)和治療情況的變化，b, g, d也是隨時(shí)間而變化的; 另外，由于易感者的數(shù)量特別大，可以近似看作常數(shù)，且將常數(shù)合并到b中去。在實(shí)際應(yīng)用中，我們最關(guān)心的是感染者數(shù)量的變化。取時(shí)間單位為天，將模型中的第2個(gè)方程(fngchng)離散化得遞推關(guān)系為在離散化的模型(2)中，b(t)的含義是每天每個(gè)SARS感染者傳染的人數(shù)，是一個(gè)十分(shfn)重要的參數(shù)，其確定的原則是:當(dāng)天新增SARS病人人數(shù)除以當(dāng)天SARS感染者人數(shù)，再進(jìn)行曲線擬合即可。g(t)和d(t)是SARS患者每天治愈和死亡所占的比例，可以一起確定，其方法是當(dāng)天

6、SARS感染治愈和死亡人數(shù)除以當(dāng)天SARS感染人數(shù)，再進(jìn)行曲線擬合即可。共五十四頁15例如，利用衛(wèi)生部公布的4月20日至5月15日全國的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可以得到b(t)隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖1中折線所示，用指數(shù)曲線b(t)=ae-bt對(duì)其進(jìn)行回歸擬合得到b(t)的表達(dá)式，其曲線如圖1中的光滑曲線所示。同理得到d(t)+g(t)的表達(dá)式。將這些(zhxi)函數(shù)代人(2)進(jìn)行遞推計(jì)算得每天的SARS感染者人數(shù)(見圖2)。共五十四頁16摘要: 本文以2003年6月以前的有關(guān)數(shù)據(jù)為資料，在傳統(tǒng)的SEIR傳染病模型的基礎(chǔ)上，對(duì)人群(rnqn)作了合理的分類，建立了控制前傳播模型和控制后傳播模型，通過合理估計(jì)

7、、曲線擬合和概率平均的方法得到了各個(gè)參數(shù)。重點(diǎn)分析了控后模型，用龍格一庫塔法求解了方程，并對(duì)北京、內(nèi)蒙古、廣東、香港四個(gè)SARS重點(diǎn)疫區(qū)的疫情作了具體的分析，最后評(píng)價(jià)了模型的合理性、實(shí)用性，提出了模型的改進(jìn)方向和思路。非典數(shù)學(xué)模型的建立(jinl)與分析共五十四頁171、問題(wnt)的提出(略)2、數(shù)學(xué)模型的分析(fnx)與建立2.1 分析與假設(shè) SARS爆發(fā)初期，政府和公眾對(duì)其重視程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠;當(dāng)被感染者大幅度增加時(shí)，政府才開始采取多種措施以控制SARS的進(jìn)一步蔓延。所以SARS的傳播可以分為三個(gè)階段:a) 控制前，接近于自然傳播時(shí)的傳播模式。b) 過渡期，在公眾開始意識(shí)到SARS的嚴(yán)重性

8、到政府采取得力措 施前的一段時(shí)間內(nèi)。c) 控制后，在介人人為因素之后的傳播模式。 我們統(tǒng)一將所有地區(qū)的SARS傳播規(guī)律用“控制前”和“控制后”兩個(gè)時(shí)期來分析。共五十四頁182.2 總體(zngt)假設(shè)1.假設(shè)一個(gè)SARS康復(fù)者不會(huì)二度感染，他們已退出傳染體系，因此將其歸為“退出者”。2.不考慮這段時(shí)間內(nèi)的自然出生率和死亡率, 由SARS引起的死亡人數(shù)，歸為“退出者”。3.假設(shè)潛伏期為一常數(shù)t=5天。4.根據(jù)(gnj)國家衛(wèi)生部資料可知處于潛伏期的SARS病人不具有傳染性。共五十四頁192.3 控制前(包括控制力度不大的階段)的傳播模型的相關(guān)假設(shè)1.直接接觸(jich)。2.在疾病傳播期內(nèi)所考察

9、的地區(qū)的總?cè)藬?shù)N視為常數(shù)。3.設(shè)每個(gè)病人單位時(shí)間有效接觸的人數(shù)l1可視為常數(shù)。4.流入和流出的人群中的帶菌者處于潛伏期。5.將人群分為四類:健康者(易受感染者):用S表示健康者在人群中的比例。處于潛伏期者:用E表示他們?cè)谌巳褐械谋嚷?。病?已受感染者):用I表示病人在人群中的比例。退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”):用R表示退出者在人群中的比例。共五十四頁20控前模型(mxng)的建立參數(shù)(cnsh)設(shè)定1) l1每個(gè)病人平均每天有效接觸(足以使健康者感染)的人數(shù)。2) q退出率，為SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。3) l(流入)流出人口占本地總?cè)丝诘谋嚷省?) e1處于潛伏期的病人

10、的日發(fā)病率。5) p流入人口中帶菌者所占的比例。共五十四頁21控前方程(fngchng)的建立共五十四頁22參數(shù)(cnsh)的確定1) l1根據(jù)醫(yī)學(xué)資料和有關(guān)數(shù)據(jù)推導(dǎo)而得。2) q由該城市的醫(yī)療水平和已知的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析，求其統(tǒng)計(jì)平均值。3) l由經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度和交通狀況決定。4) e1根據(jù)醫(yī)學(xué)研究(ynji)和調(diào)查的有關(guān)結(jié)果和該城市的疫情發(fā)展?fàn)顩r可得。5) p由流入該城市人群的地區(qū)分布情況和各其他地區(qū)的疫情決定。共五十四頁232.4 控制后的傳播模型的相關(guān)假設(shè)1.由于對(duì)人口流動(dòng)加以了限制，假設(shè)此階段無病源的輸人和輸出2.設(shè)每個(gè)病人單位時(shí)間有效接觸的人數(shù)l2可視為常數(shù)。3.在控制后階段，因與非典傳

11、染源或疑似非典傳染源接觸而被隔離的人群視作健康者。這部分人在隔離期限過去后又重新進(jìn)行正常的社會(huì)活動(dòng)，相當(dāng)于又進(jìn)人了傳染鏈中，故可將他們作為健康者處理。4.考慮(kol)到采集到的數(shù)據(jù)，將人群分為五類:共五十四頁24健康者(易受感染者):用S表示健康者在人群中的比例.病人(已受感染者):用I表示病人在人群中的比例.退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”):用R表示退出者在人群中的比例.自由帶菌者:不可控的病毒攜帶者(未被發(fā)現(xiàn)的病人,有傳染性)。用M來表示這部分人在人群中的比例.疑似(y s)者:所有被疑似為非典病的非健康者。包括已出現(xiàn)有關(guān)癥狀但未確診的被隔離者，未出現(xiàn)癥狀但已疑似帶菌的被隔離者:用

12、Y表示疑似者在人群中所占比例.共五十四頁25控后模型(mxng)的建立補(bǔ)充參數(shù)(cnsh)設(shè)定1) y1疑似中每日被排除人數(shù)占疑似人數(shù)的比例;2) y2疑似者中每日確診的人數(shù)占疑似人數(shù)的比例;3) e每個(gè)自由帶菌者轉(zhuǎn)化為病人的日轉(zhuǎn)化率;4) l2每個(gè)自由帶菌者發(fā)病后到被收治前平均每天感染的有效人數(shù);5) a被自由帶菌者有效感染的人中可以控制的比率。共五十四頁26控后方程(fngchng)的建立經(jīng)分析(fnx)得到如下的方程組(II)共五十四頁27 此模型的優(yōu)點(diǎn):(1)明確了疑似者所指的范圍;(2)可從現(xiàn)有數(shù)據(jù)中分析出所需的參數(shù)和變量初值;(3)將l2定義為“有效接觸人數(shù)(rn sh)”既有利于

13、數(shù)據(jù)的分析也可減少未知參數(shù)的數(shù)量。參數(shù)的確定(qudng)(以北京為例來說明參數(shù)分析方法)a) y1疑似者的日排除比例共五十四頁28b) y2疑似(y s)轉(zhuǎn)化為病例的日轉(zhuǎn)化比:c) q的計(jì)算公式d) e從數(shù)據(jù)(shj)可推算出其值在12% -30%之間，經(jīng)過分析取e=20 %e) a與城市的人口密度、生活習(xí)慣等因素有關(guān)，由于在強(qiáng)化控制階段對(duì)人員流動(dòng)控制得相當(dāng)嚴(yán)格，還采取了諸如封校、小區(qū)隔離、公共場(chǎng)合的關(guān)閉、減少聚集活動(dòng)等有效措施，故我們可估計(jì)a=70% 90%共五十四頁294)模型(mxng)的求解:無解析(ji x)解，可由Matlab求數(shù)值解。共五十四頁30考慮(kol)自愈的SARS的

14、傳播模型該文根據(jù)對(duì)SARS傳播的分析，把人群分為5類:易感類、潛伏期類、患病未被發(fā)現(xiàn)類、患病已被發(fā)現(xiàn)類和治愈及死亡(swng)組成的免疫類，并考慮自愈因素，提出了兩個(gè)模型:微分方程模型和基于Small-World Network的模擬模型。對(duì)微分方程模型，以香港為例討論了自愈的影響，在一定意義下說明自愈現(xiàn)象在SARS傳播中是普遍存在的。共五十四頁311 基本假設(shè)(jish)與符號(hào)1.1 基本假設(shè)(2) 假設(shè)人們被感染后需先進(jìn)入潛伏期，在潛伏期內(nèi)不具備傳染性;(3) 假設(shè)SARS患者被發(fā)現(xiàn)后就立即被隔離，被隔離者不具備傳染性，SARS患者只在被發(fā)現(xiàn)前可以傳染他人;(4) 假設(shè)SARS康復(fù)者不會(huì)被

15、再次感染，并且不具備傳染性;(5)不考慮在SARS傳播期間人口的自然出生和自然死亡;(6)所研究(ynji)地區(qū)的人口總量一定，不考慮該段時(shí)間內(nèi)人口的遷入遷出;共五十四頁321.2 符號(hào)說明N我們所研究區(qū)域的人口總數(shù);S易感類，該類成員沒有染上SARS，也沒有免疫能力，可以被傳染(chunrn)上SARS;E潛伏期類，該類成員已經(jīng)感染了SARS病毒，但尚處于潛伏期，還不是SARS患者，不能把病毒傳染給S類成員;Iu患病未被發(fā)現(xiàn)類，該類成員已經(jīng)成為真正的SARS患者，能夠把病毒傳染給S類成員;Ii患病已被發(fā)現(xiàn)類，該類成員雖然是SARS患者，但由于發(fā)現(xiàn)后立即被嚴(yán)格隔離，不能傳染給S類成員;共五十四

16、頁332 微分方程模型2.1 模型建立我們把一個(gè)封閉區(qū)域內(nèi)的人群完備的分成5類: S類、E類、Iu類、Ii類和R類，設(shè)第t天時(shí)五類成員(chngyun)的人數(shù)分別為S(t), E(t), Iu(t), Ii( t ), R ( t)，該地區(qū)總?cè)丝跒镹?？紤]自愈因素，則各類成員之間的流動(dòng)情況如下圖所示:R免疫類，該類成員為SARS康復(fù)者或因患SARS死亡，已經(jīng)具有免疫力，不再對(duì)其它成員產(chǎn)生任何(rnh)影響;H潛伏期天數(shù); L傳染期天數(shù);共五十四頁34S(t)E(t)R(t)Iu(t)Ii(t)sIuSgEzIucIimE共五十四頁35其中(qzhng): s是患病人群每天接觸并傳染易感人群的比

17、例系數(shù);g是SARS感染者的日發(fā)病率，m是SARS感染者的日自愈(z y)率;z是患病人群每天被隔離的比率，c是免疫率;借鑒以往微分方程建立傳染病模型的思想，我們得到如下的關(guān)于SARS傳播的SEIuIiR微分方程模型:共五十四頁362.2 模型求解及結(jié)果(ji gu)分析2 .2 .1 參數(shù)(cnsh)意義及確定(1) s是患病人群每天接觸并傳染易感人群的比例系數(shù)易知s=lq. 其中，l為一天內(nèi)一個(gè)患病者與他人的接觸率，q為一個(gè)易感者接觸一個(gè)患病者后被感染的概率(2) g是SARS感染者的日發(fā)病率，m是SARS感染者的日自愈率.假定每個(gè)SARS感染者的實(shí)際潛伏期天數(shù)服從區(qū)間1,H上的均勻分布。

18、也就是說，SARS感染者以均等的概率在這H天之中的任何一天發(fā)病或者自愈。(H為潛伏期天數(shù)上限)容易得到:共五十四頁37(4)c是免疫率，也就是患病(hun bn)人群每天病死率和治愈率之和?？梢愿鶕?jù)實(shí)際數(shù)據(jù)得到(d do)。(由每天數(shù)據(jù)計(jì)算出當(dāng)天c值，其平均值即為所求)(3) z是患病人群每天被隔離的比率，反映了社會(huì)的警覺程度及政府措施的力度。2.2.2 模型求解及結(jié)果分析共五十四頁人口(rnku)增長模型共五十四頁39為簡(jiǎn)單起見只考慮自然的出生(chshng)與死亡，不計(jì)遷移等社會(huì)因素的影響。1、基本(jbn)符號(hào)：一、人口模型發(fā)展方程共五十四頁40共五十四頁412、數(shù)學(xué)(shxu)推導(dǎo)：共五十四頁42共五十四頁43定解條件(tiojin)：初始密度(md)函數(shù)嬰兒出生率（可由人口調(diào)查資料得到）（對(duì)人口預(yù)測(cè)和控制起重要作用）共五十四頁44連續(xù)型人口發(fā)展(fzhn)方程：共五十四頁45化為常微分方程(wi fn fn chn)求解共五十四頁46共五十四