【學(xué)習(xí)課件】第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)中的三種基本運算1邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2邏輯代數(shù)的基本定理3邏輯函數(shù)及其表示方法4邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換6邏輯函數(shù)的化簡方法5思 考 題1邏輯代數(shù)與普通代數(shù)運算規(guī)則不同處2邏輯代數(shù)為什么要進行化簡3邏輯代數(shù)表達式類型為什么要轉(zhuǎn)換第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)基本概念邏輯：事物的因果關(guān)系邏輯運算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)： 邏輯代數(shù)在二值邏輯中的變量取值： 0/12.1 邏輯代數(shù)中的三種基本運算與（AND） 或（OR） 非（NOT）以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；以B=1表示開關(guān)B合上，B=0表示開關(guān)B斷開； 以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；三種電路的因果關(guān)系不同：

2、與條件同時具備，結(jié)果發(fā)生Y=A AND B = A&B=AB=ABA BY0 000 10 00 11或條件之一具備，結(jié)果發(fā)生Y= A OR B = A+BA BY0 000 11 01 11非條件不具備，結(jié)果發(fā)生 A Y0 110幾種常用的復(fù)合邏輯運算與非 或非 與或非幾種常用的復(fù)合邏輯運算異或A BY0 000 11 01 10幾種常用的復(fù)合邏輯運算同或A BY0 010 10 00 112.2.1 基本公式表2.3.1為邏輯代數(shù)的基本公式，也叫布爾恒等式表2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式2.2 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式A 0 = 0A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 12.

3、 交換律、結(jié)合律、分配律a. 交換律： AB= BA A + B=B + Ab. 結(jié)合律：A（BC） =（ AB）C A +（ B C）= （AB） + Cc. 分配律：A( B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)1.關(guān)于變量與常數(shù)關(guān)系的定理邏輯代數(shù)的基本公式說明：由表中可以看出a. 互補律：b. 重疊律：A A = A A + A = Ac. 非非律：d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A e. 摩根定律：注：以上定律均可由真值表驗證3.邏輯函數(shù)獨有的基本定理邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式表2.3.1 邏輯代數(shù)的

4、基本公式表2.3.2 常用公式2.2.2 若干常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3 邏輯代數(shù)的基本定理2.3.1 代入定理 任何一個含有變量A 的等式，如果將所有出現(xiàn) A 的位置都用同一個邏輯函數(shù)G來替換，則等式仍然成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式2.3.1 代入定理應(yīng)用舉例： 式 A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD)= (A+B)(A+C)(A+D)？應(yīng)用舉例： 2.3.1 代入定理利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式2.3 邏輯代數(shù)的基本定理2.3.2

5、反演定理 若已知邏輯函數(shù)Y的邏輯式，則只要將Y式中所有的“.”換為“+”, “+”換為“.”,常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所有原變量（不帶非號）變成反變量，所有反變量換成原變量，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)Y的反函數(shù)（補函數(shù)） 。2.3 .2 反演定理2.3.2 反演定理 -對任一邏輯式 變換順序 先括號，然后乘，最后加不屬于單個變量的上的反號保留不變2.3.2 反演定理應(yīng)用舉例：2.3.2 反演定理解：由反演定理例 若 Y（A B） CD +C，求反函數(shù)2.3 邏輯代數(shù)的基本定理2.3.3 對偶規(guī)則 設(shè)Y是一個邏輯函數(shù)，如果將Y中所有的“+”換成與“”， “.”換成與“+” ，“1”

6、換成與“0”， “0” 換成與“1”，而變量保持不變，則所得的新的邏輯式 YD 稱為Y的對偶式。如：2.3.3 對偶規(guī)則對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)Y和G相等，則其對偶式Y(jié)D和GD也必然相等。利用對偶式可以證明一些常用公式例 試?yán)脤ε家?guī)則證明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立證明：設(shè)Y ABC，G (A+B)(A+C)，則它們的對偶式為由于故YG，即ABC=(A+B)(A+C)2.3.3 對偶規(guī)則證明：設(shè)則它們的對偶式為由于故YG，即試?yán)脤ε家?guī)則證明吸收律AABAB 式子成立2.4 邏輯函數(shù)及其表示方法真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖邏輯函數(shù)及其表示方法各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換真 值

7、 表輸入變量A B C輸出Y1 Y2 遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值YBA011101110000輸出輸入邏輯式 將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。 如異或關(guān)系的邏輯函數(shù)可寫成 YA B AB 邏 輯 式邏輯圖 用邏輯圖形符號表示邏輯運算關(guān)系，與邏輯電路的實現(xiàn)相對應(yīng)。 下圖表示的是異或關(guān)系的邏輯圖邏 輯 圖ABY波形圖 將輸入變量所有取值可能與對應(yīng)輸出按時間順序排列起來畫成時間波形，也稱時序圖。如波 形 圖卡 諾 圖 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來以2n個小方塊分別代表 n 變量的所有最小項，并將它們排列成

8、矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式最小項之和 最大項之積兩變量A，B的最小項三變量A，B，C的最小項邏輯函數(shù)的最小項之和的形式最小項舉例：最小項的編號最小項取值對應(yīng)編號A B C十進制數(shù)0 0 00m00 0 11m10 1 02m20 1 13m31 0 04m41 0 15m51 1 06m61 1 17m7邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成最小項之和的形式例：利用公式可將任何一個函數(shù)化為邏輯函數(shù) 最小項之和的形式邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成最小項之和的形式例：卡 諾 圖 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和

9、的以圖形的方式表示出來以2n個小方塊分別代表 n 變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。 表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換真值表 邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表A=0，B=1，C=1使 ABC=1A=1，B=0，C=1使 ABC=1A=1，B=1，C=0使 ABC =1這三種取值的任何一種都使Y=1,所以 Y= ? ABCY00000010010001111000101111011110真值表 邏輯式：找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值

10、組合。每組輸入變量取值對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得 Y。各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換例2.5.2 已知真值表如表2.5.2所示，試寫出輸出的邏輯函數(shù)解：其輸出的邏輯函數(shù)為各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換真值表 邏輯式：找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得 Y。 把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列出真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換例2.5.3 寫出邏輯函數(shù)YAB C 的真值表解：其真值表如表2.5.3所示輸入輸出ABCY000011110011001

11、10101010110101110表2.5.3各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換邏輯式 邏輯圖1. 用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換例2.5.4 畫出邏輯函數(shù)Y(AB+C ) ( AC ) B) 的邏輯電路解：其實現(xiàn)電路如圖2.5.3所示各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換邏輯式 邏輯圖1. 用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。2. 從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯 運算式。 各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換例2.5.5 已知邏輯電路如圖2.5.4，試寫出輸出端的邏輯函數(shù)式。解：輸出的邏輯式為各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換波形圖 真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換 將每個時間段內(nèi)輸入變量和輸出的取值對應(yīng)列表

12、，即可得到函數(shù)的真值表。波形圖 真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換例2.5.6 已知圖所示是某個邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該真值表，并判斷其邏輯功能YBA111001010100輸出輸入波形圖 真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換例2.5.9 已知邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.9所示，試畫出輸入輸出波形。輸入輸出ABCY00001111001100110101010111001000表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖2.5.9所示卡諾圖 真值表各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換根據(jù)真值表得到其卡諾圖如表2.6.6所示輸入輸出ABCY00001111001100110101010100110001表2.6.5

13、卡諾圖 邏輯式各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換卡諾圖用于化簡邏輯函數(shù)式真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換2.5 邏輯函數(shù)的化簡法邏輯函數(shù)的最簡形式 最簡與或 -包含的乘積項已經(jīng)最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。2.5 邏輯函數(shù)的化簡法邏輯函數(shù)的化簡有兩種方法公式化簡法卡諾圖化簡法 公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的一些定理、公式和運算規(guī)則，消去多余的乘積項和多余的因子。將邏輯函數(shù)的真值表圖形化，將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來，然后完成相鄰最小項的合并。反復(fù)應(yīng)用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。 例： 2.5.1 公式化簡法一般化簡需要各種方法

14、綜合起來。化簡需要技巧和經(jīng)驗，需多練習(xí)。另外最后的結(jié)果是否為最簡，難以判斷。2.5.2 卡諾圖化簡法將函數(shù)表示為最小項之和的形式 。在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。用卡諾圖表示邏輯函數(shù)表示最小項的卡諾圖二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖4變量的卡諾圖最小項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。全體最小項之和為1 。任何兩個最小項之積為0 。兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。 -相鄰：僅一個變量不同的最小項 如 最大項之積最大項M：M是相加項；包含n個因子。n個變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次。如：兩變量A, B的最大項對于

15、n變量函數(shù)2n個最大項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0；全體最大項之積為0；任何兩個最大項之和為1；只有一個變量不同的最大項的乘積等于各相同變量之和。最大項的編號最大項取值對應(yīng)編號A B C十進制數(shù)1 1 17M71 1 06M61 0 15M51 0 04M40 1 13M30 1 02M20 0 11M10 0 00M0設(shè)有三變量A、B、C的最小項，如m5 ABC，對其求反得由此可知對于n 變量中任意一對最小項 mi 和最大項Mi ，都是互補的，即最小項與最大項的關(guān)系若某函數(shù)寫成最小項之和的形式為則此函數(shù)的反函數(shù)必為如表2.5.15中最小項與最大項的關(guān)系利用反演定理可

16、得上式或?qū)懗勺钚№椗c最大項的關(guān)系最小項與最大項的關(guān)系例2.5.12 試將下列函數(shù)利用真值表轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式解：其真值表如表2.5.16所示邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)或與型為則邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或型為邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標(biāo)準(zhǔn)形式用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 00 01 1 1 1 00011111101ABC 用卡諾圖化簡函數(shù)依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來?？ㄖZ圖化簡的原則化簡后的乘積項應(yīng)包含函數(shù)式的所有最小項，即覆蓋圖中所有的1。乘積項的數(shù)目最少，即圈成的矩形最少。每個乘積項因子最少，即圈成的矩形最大。 為了使圈成的矩形

17、最大，可以在不同的圈中反復(fù)圈 入某一項。 邊邊相連，角角相連。合并最小項的原則：兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子 用卡諾圖化簡函數(shù)例： 00 01 1 1 1 001ABC 用卡諾圖化簡函數(shù)例： 00 01 1 1 1 00011111101ABC 用卡諾圖化簡函數(shù)例： 00 01 1 1 1 00011111101ABC 用卡諾圖化簡函數(shù)例：化 簡 結(jié) 果 不 唯 一 用卡諾圖化簡函數(shù)例 用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù)解:11111111111 用卡諾圖化簡函數(shù)例：0001111000011110AB

18、CD 用卡諾圖化簡函數(shù)例：00011110001001011001111111101111ABCD 用卡諾圖化簡函數(shù)注： 以上是通過合并卡諾圖中的“1”項來簡化邏輯函數(shù)的，有時也通過合并“0”項先求F的反函數(shù)，再求反得Y例如上面的例題,圈“0”情況如表所示，可得111111111111 用卡諾圖化簡函數(shù)a.任意項：輸入變量的某些取值對電路的功能沒影響，這些項稱為任意項。 例如8421BCD碼取值為0000 1001十個狀態(tài)，而10101111這六個狀態(tài)不可能出現(xiàn)，故對應(yīng)的函數(shù)取“0”或取“1”對函數(shù)沒有影響，這些項就是任意項。2、化簡時，根據(jù)需要任意項可以作為“1”也可作“0”處理，以得到相鄰

19、最小項矩形組合最大（包含“1”的個數(shù)最多）為原則。1、將任意項在卡諾圖相應(yīng)位置用“ ”表示最小項的表達式為其中d為任意項無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡例 用卡諾圖簡化下列邏輯函數(shù)，并寫成最簡與或式解：根據(jù)Y的卡諾圖則最簡與或式為111111無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡b.約束項 ：在邏輯函數(shù)中，輸入變量的取值不是任意的，受到限制。對輸入變量取值所加的限制稱為約束，被約束的項叫做約束項。例如有三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止。若A1表示電動機正轉(zhuǎn)，B1表示電動機反轉(zhuǎn)，C1表示電動機停止，則其ABC的只能是100、010、001，而其它的狀態(tài)如000、011、101、1

20、10、111是不能出現(xiàn)的狀態(tài)，故ABC為具有約束的變量，恒為0。可寫成這些恒等于“0”的最小項稱為約束項例 試簡化下列邏輯函數(shù)，寫最簡成與或式解：約束條件為則Y的卡諾圖如所示最簡與或式為11111無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡 將約束項和任意項統(tǒng)稱為無關(guān)項 。即把這些最小項是否寫入卡諾圖對邏輯函數(shù)無影響 含有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的表示方法最小項的表達式為其中d為無關(guān)項也可以寫成利用無關(guān)項可以使得函數(shù)進一步簡化無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡化簡步驟： 1、用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 2、合并的最小項 矩形圈上所有的1 矩形圈要最大，圈數(shù)要最少 有無關(guān)項用“ ”表示，可作“1”也可作“0” 3、化簡后的乘積項相加 用卡諾圖化簡函數(shù)2.6 邏輯函數(shù)表達式類型的轉(zhuǎn)換 邏輯函數(shù)表達式的形式有很多種，如與或式、或與式、與非式、與或非式等，不同的表達形式可由不同的門電路來實現(xiàn)。一般的邏輯函數(shù)為與或式（乘積和），這樣需要轉(zhuǎn)換成其它的形式，利用卡諾圖可以很方便的實現(xiàn)轉(zhuǎn)換。與或式轉(zhuǎn)換成與非式1. 與或式轉(zhuǎn)