6-GARCH模型分析與應(yīng)用解析

1、第六章 GARCH模型分析與應(yīng)用學習目標了解金融市場序列的ARCH過程；掌握GARCH模型、EGARCH模型和TGARCH模型的形式及其含義；熟悉GARCH類模型的檢驗與估計；掌握GARCH模型在金融數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用。 GARCH模型分析與應(yīng)用第一節(jié) ARCH過程第二節(jié) GARCH類模型的檢驗與估計第三節(jié) GRACH類模型的擴展第一節(jié)ARCH過程ARCH模型（autoregessive conditonally heteroscedastic，ARCH），即自回歸條件異方差模型，它是金融市場中廣泛應(yīng)用的一種特殊非線性模型。按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)

2、的特點。但在時間序列數(shù)據(jù)中，會不會出現(xiàn)異方差呢？會是怎樣出現(xiàn)的？ 恩格爾和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時間序列模型中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預(yù)測誤差會大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測誤差的方差取決于后續(xù)擾動項的大小。從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預(yù)測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預(yù)測能力隨時期的不同而有相當大的變化。預(yù)測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府

3、貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預(yù)測誤差的方差中有某種相關(guān)性。 為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差（ARCH）模型。ARCH的主要思想：時刻 t 的t 的方差（= t2 ）依賴于時刻(t 1)的殘差平方的大小，即依賴于 2t-1 。 1983年，1986年，Bollerslev在Engle的ARCH模型基礎(chǔ)上對方差的表現(xiàn)形式進行了線性擴展，并形成了更為廣泛的GARCH模型。后來，該類模型也得到了很大的發(fā)展，形成了如EGARCH, IGARCH,GARCH-M等模型。一、金融時間序列的異方差性特征 p197現(xiàn)實金融市場上，許多金融時間序列并沒有恒定的均值，大多數(shù)序列在呈現(xiàn)出階段

4、性的相對平穩(wěn)的同時，往往伴隨著出現(xiàn)劇烈的波動性。金融市場中，波動率（volatility）是金融時間序列最重要的特征之一，因而模擬和預(yù)測股票市場的波動性已經(jīng)成為眾多理論和實證研究的重要領(lǐng)域。然而，金融市場時間序列存在非平穩(wěn)性，樣本均值并不恒定，有明顯的異方差性特征。因此，傳統(tǒng)線性結(jié)構(gòu)模型（以及時間序列模型）并不能很好地解釋金融數(shù)據(jù)的重要特征，這包括：尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融資產(chǎn)收益呈現(xiàn)厚尾（fat tails）和在均值處呈現(xiàn)過度波峰，即出現(xiàn)過度峰度分布的傾向；波動叢聚性（clustering）：金融市場波動往往呈現(xiàn)簇狀傾向，即波動的當期水平往往與它最近的前些時期水平存在正相

5、關(guān)關(guān)系。杠桿效應(yīng)（leverage effects）：指價格大幅度下降后往往會出現(xiàn)同樣幅度價格上升的傾向 Engle(1982)提出的ARCH模型，正是在不使用特定變量xt 或數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換的情況下，同時對序列的均值和方差進行建模。要理解Engle的方法，首先我們要估計平穩(wěn)ARCH模型 yt=a0+a1yt-1+t，并預(yù)測yt+1，則 yt+1的條件均值為 Etyt+1=a0+a1yt ,若我們用這個條件均值去預(yù)測yt+1，則預(yù)測誤差方差為Et(yt+1-a0-a1yt )2= Et(t+1)2 =2。 若用 表示模型 yt=a0+a1yt-1+t 的殘差估計值，那么yt+1 的條件方差為： var

6、(yt+1|yt)=Et(yt+1-a0-a1yt )2= Et(t+1)2 二、ARCH過程 p199現(xiàn)在假設(shè)條件方差不定，一個簡單的處理方法就是用殘差估計值的平方將條件方差建模為AR(q)過程為：其中，vt是一個白噪聲過程。類似于上式的被稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型。 ARCH過程Engle提出的乘法條件異方差模型中最簡單的一例為ARCH(1) 模型，即： 更一般地，Engle提出的ARCH模型的高階ARCH（q）過程為： 可見，Engle(1982)提出ARCH模型的核心思想是：殘差項 的條件方差依賴于它的前期值的大小 。Bollerslev廣義自回歸條件異方差(Generali

7、zed ARCH,GARCH)模型。GARCH類模型最早是Engle提出的ARCH模型，即自回歸條件異方差模型。設(shè)標的資產(chǎn)時間序列為yt， Engle年建立了回歸模型ARCH(q)其中，是因變量，是解釋變量的向量，是未知參數(shù)的向量, 假設(shè) 在給定(t-1) 時間內(nèi)的信息 滿足正態(tài)分布 （，），但其條件方差為：GRACH模型 p201GRACH模型Bollerslev(1986)擴展了Engle（1982）的原始模型，引入了一種允許條件方差轉(zhuǎn)化為一個ARMA過程的方法。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的假設(shè)：一個是條件均值；一個是條件方差。標準的GARCH(1,1)模型為： （6.13） （6

8、.14）其中，方程（6.13）是均值方程，它是一個帶有殘差項的外生變量的函數(shù)；方程（6.14）是條件方差方程，它是根據(jù)前期信息為基礎(chǔ)向前預(yù)測方差，因此 ht 又稱條件方差。同時，0、1和是待估參數(shù) GRACH模型進一步擴展，可以得到高階GARCH（p,q）模型。高階GARCH模型可以包含多個ARCH項和GARCH項，它的條件方差表示為：其中，參數(shù)q是ARCH項的階數(shù)，p是自回歸GARCH項的階數(shù)00，10，j0。實證案例6-1上證指數(shù)的GARCH（1，1）模型為說明GARCH（1，1）模型，在此我們以上證指數(shù)為例，時間區(qū)間為1990年12月19日至2006年8月31日，共3855個觀測數(shù)據(jù)。其

9、中，圖6-3、圖6-4為上證指數(shù)收益率序列和殘差序列波動圖，表6-1是該指數(shù)的GARCH（1，1）檢驗結(jié)果。圖6-3 上證指數(shù)收益率波動序列圖6-4： 上證指數(shù)收益率的殘差序列四、GACRCHM模型除了刻畫殘差項t 的方差方程之外，還可以將殘差項的條件方差特征作為影響序列yt 本身的解釋變量之一，引入序列的yt 的均值方差，并利用條件方差預(yù)測風險，我們將這類模型稱為ARCH均值（GARCH-in-mean)模型，即GARCH-M模型。GARCH-M模型最先是Engle等人在1987年引入的，以此模型來描述風險溢價隨時間的變化。GARCH-M(1,1)模型如下：當風險（波動性）增加，收益水平增加

10、時，方程中對應(yīng)的條件方差的系數(shù) 0；當風險增加，收益水平減少時，對應(yīng)的條件方差系數(shù)0。第二節(jié)GARCH類模型的檢驗與估計 p205一、ARCH效應(yīng)檢驗檢驗一個模型是否存在一個ARCH效應(yīng)，通常有兩種方法：ARCH LM檢驗和殘差平方相關(guān)圖檢驗。1、ARCH_LM檢驗1982年，Engle提出檢驗殘差序列是否存在ARCH效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗（Lagrange multiplier test），即ARCH LM檢驗。GARCH類模型的檢驗與估計ARCH LM檢驗統(tǒng)計量是一個輔助檢驗統(tǒng)計量，即ARCH效應(yīng)是通過一個輔助的回歸檢驗計算出來的。為檢驗原假設(shè) ：殘差序列中直到q階不存在ARCH效應(yīng)，即

11、= = =0。為此，我們需要進行如下檢驗： 從檢驗結(jié)果，我們會得到兩個統(tǒng)計量：（1）F統(tǒng)計量：對所有殘差滯后的聯(lián)合檢驗，用于檢驗所有滯后殘差平方項都聯(lián)合顯著；（2）TR2統(tǒng)計量：觀測樣本個數(shù)T乘以回歸檢驗的擬合優(yōu)度R2。GARCH類模型的檢驗與估計2、殘差平方相關(guān)圖殘差平方相關(guān)圖顯示殘差平方序列任意指定滯后階數(shù)的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，并且計算相應(yīng)滯后階數(shù)的Ljung-Box Q統(tǒng)計量。殘差平方相關(guān)圖可用于檢驗殘差序列中是否存在效應(yīng)。如果殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)在所有的滯后階數(shù)都為，并且統(tǒng)計量也不顯著；否則，就說明序列中存在ARCH效應(yīng)。使用Eviews

12、軟件進行GARCH估計由于ARCH類模型是非線性的，不能應(yīng)用OLS進行估計。原因在于OLS可使得殘差平方和（RSS）最小化，而RSS僅取決于條件均值方程的參數(shù)，而不是條件方差。為估計GARCH類模型，為此應(yīng)用極大似然法（maximum likelihood）的技術(shù)方法。極大似然估計法是一種估計回歸參數(shù)的常用方法，它既可以用來估計線性模型，又可以用來估計非線性模型。從本質(zhì)上而言，這種方法是通過在給定的實際數(shù)據(jù)中尋找最有可能的參數(shù)值進行的，更確切地說，要形成一個對數(shù)似然方程和尋找最大化的參數(shù)值，對線性和非線性模型運用極大似然估計來尋找參數(shù)。在EViews中估計ARCH模型 估計GARCH和ARCH

13、模型，首先選擇Quick/Estimate Equation或Object/ New Object/ Equation，然后在Method的下拉菜單中選擇ARCH，得到如下的對話框。 (EViews4.0)的對話框 (EViews5)的對話框與選擇估計方法和樣本一樣，需要指定均值方程和方差方程。 （一）均值方程 在因變量編輯欄中輸入均值方程形式，均值方程的形式可以用回歸列表形式列出因變量及解釋變量。如果方程包含常數(shù)，可在列表中加入C。如果需要一個更復(fù)雜的均值方程，可以用公式的形式輸入均值方程。 如果解釋變量的表達式中含有ARCHM項，就需要點擊對話框右上方對應(yīng)的按鈕。EViews4.0中，只有

14、3個選項： 1.選項None表示方程中不含有ARCHM項； 2.選項Std.Dev.表示在方程中加入條件標準差； 3.選項Variance則表示在方程中含有條件方差 2。 而EViews5中的ARCH-M的下拉框中，除了這三個選項外，還添加了一個新的選項：Log(Var)，它表示在均值方程中加入條件方差的對數(shù)ln( 2)作為解釋變量。 （二）方差方程EViews5的選擇模型類型列表（1）在model下拉框中可以選擇所要估計的ARCH模型的類型。 （2）在Variance欄中，可以根據(jù)需要列出包含在方差方程中的外生變量。由于EViews在進行方差回歸時總會包含一個常數(shù)項作為解釋變量，所以不必在變

15、量表中列出C。（3）設(shè)定了模型形式以后，就可以選擇ARCH項和GARCH項的階數(shù)。缺省的形式為包含一階ARCH項和一階GARCH項的模型，這是現(xiàn)在最普遍的設(shè)定。 例，為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性，選擇了滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列(這是因為上海股票市場不僅開市早，市值高，對于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感，具有一定代表性)。在這個例子中，選擇的樣本序列sp是1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計時，對sp進行自然對數(shù)處理，即將序列l(wèi)og(sp)作為因變量進行估計。 由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位

16、根過程隨機游動（Random Walk）模型描述，所以本例進行估計的基本形式為： 首先利用最小二乘法，估計了一個普通的回歸方程，結(jié)果 （15531） R2= 0.994 對數(shù)似然值 = 2874 AIC = -5.51 SC = -5.51 可以看出，這個方程的統(tǒng)計量很顯著，而且，擬和的程度也很好。但是對這個方程進行異方差的White和ARCHLM檢驗，發(fā)現(xiàn) q = 3 時的ARCH-LM檢驗的相伴概率，即P值接近于0，White檢驗的結(jié)果類似，其相伴概率，即P值也接近于0，這說明誤差項具有條件異方差性。滯后階數(shù)p = 3時的ARCH LM檢驗結(jié)果： 此處的P值為0，拒絕原假設(shè)，說明殘差序列存

17、在ARCH效應(yīng)。還可以計算殘差平方的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下： 股票價格指數(shù)方程回歸殘差 觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些較長的時間內(nèi)非常?。ɡ?000年），在其他一些較長的時間內(nèi)非常大（例如1999年），這說明殘差序列存在高階ARCH效應(yīng)。重新建立序列的GARCH（1, 1）模型，結(jié)果如下：均值方程： （23213）方差方程： （11.44） （33.36） 對數(shù)似然值 = 3006 AIC = -5.76 SC = -5.74 ARCH估計的結(jié)果可以分為兩部分：上半部分提供了均值方程的標準結(jié)果；下半部分，即方差方程包括系數(shù)，

18、標準誤差，z統(tǒng)計量和方差方程系數(shù)的P值。在方程中ARCH的參數(shù)對應(yīng)于1，GARCH的參數(shù)對應(yīng)于 （6.14式）。在表的底部是一組標準的回歸統(tǒng)計量，使用的殘差來自于均值方程。 方差方程中的ARCH項和GARCH項的系數(shù)都是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明這個模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。再對這個方程進行條件異方差的ARCHLM檢驗，相伴概率為P = 0.924，說明利用GARCH模型消除了原殘差序列的異方差效應(yīng)。ARCH和GARCH的系數(shù)之和等于0.982，小于1，滿足參數(shù)約束條件。由于系數(shù)之和非常接近于1，表明一個條件方差所受的沖擊是持久的，即它對所有的未來預(yù)測

19、都有重要作用，這個結(jié)果在高頻率的金融數(shù)據(jù)中經(jīng)?？梢钥吹?。例 估計我國股票收益率的ARCHM模型選取1998年1月3日至2001年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù)sp，股票的收益率是根據(jù)公式：ARCHM模型：估計結(jié)果：對數(shù)似然值 = 3006 AIC = -5.77 SC = -5.74在收益率方程中包括 t 的原因是為了在收益率的生成過程中融入風險測量，這是許多資產(chǎn)定價理論模型的基礎(chǔ) “均值方程假設(shè)” 的含義。在這個假設(shè)下， 應(yīng)該是正數(shù)，結(jié)果 = 0.27，因此我們預(yù)期較大值的條件標準差與高收益率相聯(lián)系。估計出的方程的所有系數(shù)都很顯著。并且系數(shù)之和小于1，滿足平穩(wěn)條件。均值方程

20、中t 的系數(shù)為0.27，表明當市場中的預(yù)期風險增加一個百分點時，就會導(dǎo)致收益率也相應(yīng)的增加0.27個百分點。 第三節(jié) GRACH類模型的擴展 p213自從GARCH模型提出以來，就出現(xiàn)了非常多的模型加以擴展和變化。這些擴展模型大多數(shù)是對GARCH有關(guān)條件的改變，從而產(chǎn)生了不同的條件異方差的表達方式，因而產(chǎn)生了不同的GARCH類擴展模型。 一、非對稱GARCH模型GARCH模型的一個主要約束是它們對正的或負的沖擊做出對稱反應(yīng)。然而，對于金融時間序列而言，負的沖擊往往比相同程度的正的沖擊引起更大的波動。這種非對稱性，是受到杠桿效應(yīng)（leverage effects）的影響。因為較低的股價減少了股東

21、權(quán)益，從而引起公司債務(wù)對股權(quán)比率的上升，這會導(dǎo)致承受公司剩余風險的公司股東覺察到它們未來的現(xiàn)金流具有更大的風險。為解釋這一現(xiàn)象，Engle和Ng(1993)繪制了好消息和壞消息的非對稱信息曲線，認為資本市場的沖擊是一種非對稱性沖擊 TARCH模型TARCH或者門限(Threshold)ARCH模型由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)獨立的引入。條件方差指定為：其中，當 ut 0)和壞消息(ut 0 ，我們說存在杠桿效應(yīng)，非對稱效應(yīng)的主要效果是使得波動加大；如果 0時，Dt=0；否則，Dt=1。在模型中，好消息 t-10 和壞消息 t-10

22、，我們說存在杠桿效應(yīng)；如果 0 ，則信息是非對稱的。GRACH類模型的擴展 p214實證案例6-2應(yīng)用TGARCH模型對中國上海與英國倫敦期貨市場的杠桿效應(yīng)進行檢驗高輝（2005）應(yīng)用TGARCH模型對中國上海與英國倫敦期貨市場的杠桿效應(yīng)進行估計，估計區(qū)間為1998年2月4日至2004年12月31日。兩市銅期貨市場的TARCH模型估計結(jié)果為：兩市鋁期貨市場的TARCH模型估計結(jié)果為：從上述估計結(jié)果中可以看出，啞變量前的系數(shù)均為負值，但是均不夠顯著，說明兩市存在的“杠桿效應(yīng)”均不顯著，市場利好消息的影響不能明顯強于利空消息的影響。這是中國上海期貨交易所金屬期貨市場的波動性的重要特征。由于對于金屬

23、銅來說，兩市的影響因素的來源相似，因此，兩市波動性的非對稱性程度基本一致（由啞變量的系數(shù)大小可以看出），表示兩市的投資者在對待消息面的沖擊的反應(yīng)上具有基本相同的應(yīng)變態(tài)度，但是對于金屬鋁來說，兩市的影響因素存在一定的差異，兩市波動性的非對稱性程度存在一定的差異。 Nelson的EGARCH模型指數(shù)GARCH（Expoential GARCH），其條件方差為：這里，若，則說明存在杠桿效應(yīng)。只要，沖擊的影響就是非對稱的。更高階的EGARCH表達為：GRACH類模型的擴展EGARCH(1,1)和GARCH(1,1)的信息沖擊曲線對比圖 二、單整GARCH（IGARCH）模型在GARCH(p,q)模型進

24、行金融時間序列估計時，GARCH模型中的參數(shù)i 和j要服從一定的條件?？梢宰C明：若干擾項服從GARCH(p,q)過程，則其方差為：干擾項t的方差 Var(t)，無窮大的方差說明序列是不穩(wěn)定的。因此，通常將 成立時的GARCH（p,q）模型稱為單整GARCH（integrated GARCH，IGARCH）模型?？死锼雇?Christie，1982)的研究認為，當股票價格下降時，資本結(jié)構(gòu)當中附加在債務(wù)上的權(quán)重增加，如果債務(wù)權(quán)重增加的消息泄漏以后，資產(chǎn)持有者和購買者就會產(chǎn)生未來資產(chǎn)收益率將導(dǎo)致更高波動性的預(yù)期，從而導(dǎo)致該資產(chǎn)的股票價格波動。因此，對于股價反向沖擊所產(chǎn)生的波動性，大于等量正向沖擊產(chǎn)生

25、的波動性，這種“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非對稱性，在美國等國家的一些股價指數(shù)序列當中得到驗證。 例 那么在我國的股票市場運行過程當中，是否也存在股票價格波動的非對稱性呢？利用滬市的股票收盤價格指數(shù)數(shù)據(jù)，我們估計了股票價格波動的兩種非對稱模型，結(jié)果分別如下： TARCH模型：均值方程： (19689.6) 方差方程： z (5.57) (7.58) (5.31) (45.43) 對數(shù)似然值 =3012.5 AIC = -5.77 SC = -5.75杠桿效應(yīng)項由結(jié)果中的(RESID0)*ARCH(1)描述，它是顯著為正的，所以存在非對稱影響。在TARCH模型中，杠桿效應(yīng)項的系數(shù)顯著大

26、于零，說明股票價格的波動具有“杠桿”效應(yīng)：利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動：出現(xiàn)“利好消息”時，即當 時，有 的沖擊；出現(xiàn)“利空消息”時，即當 時， 有 的沖擊。 EGARCH模型：均值方程： (19897.8) 方差方程： (-7.26) (9.63) (-5.63) (123.29) 對數(shù)似然值 =3020.3 AIC = -5.79 SC = -5.76 這個例子中，利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動的結(jié)果在EGARCH模型中也能夠得到印證，在EGARCH模型中， ，其非對稱項 的系數(shù)小于零，當 時，有 倍沖擊；當 時，有 倍沖擊。在EViews4.0的EGARCH模型結(jié)果