第1章電磁場有限元分析理論基礎(chǔ)

1、第一有限元方法筒介11有限元方法概況工程應(yīng)用基礎(chǔ)理論中的許多空間分布規(guī)律，在數(shù)學(xué)物埋方法上都可歸結(jié)為邊值問題(BoundaryProblems)的求解。如理論力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)中的受力及應(yīng)力分布，熱物理學(xué)中的熱傳導(dǎo)流體力學(xué)中的流動情況，電磁理論中的相互作用.都是邊值問題的具體體現(xiàn).本書僅就電氣工程方面電磁裝置、電磁作用及其電敢計算的邊值向當(dāng)采用有限無法求解,進(jìn)行全面論述及深入探討。值得指出的是，隨著計算機(jī)資源的不斷擴(kuò)大，可提供的計算能.力的不斷增長,以及工程應(yīng)用中財設(shè)計精確度要求的不斷提高，在電氣工程方面，學(xué)科范疇的界限越來越顯得模糊.在電氣工程的具體應(yīng)用中，著種物理現(xiàn)象之間錯綜笈雜的聯(lián)系，使得必

2、須把它們綜合起來同時考邀，才能達(dá)到現(xiàn)代設(shè)計的要求標(biāo)準(zhǔn)。例如,在常規(guī)電機(jī)設(shè)計中，電磁作用、傳熱及應(yīng)力分布的獲得，是計算叁數(shù)及性能指標(biāo)的關(guān)鍵.在電機(jī)中，傳熱及抵導(dǎo)致的溫度分布不均勻，不僅會影響各處金屬材料的電導(dǎo)串，從而直接影響電磁計算的精確度.并進(jìn)一步影響傳熱計尊的精確度，而且，也會影晌材料由于螭變而對其應(yīng)力要求的變化.又如，新型的碳流體發(fā)電方式中高溫等離子體的傳熱、流動及在強(qiáng)磁場下的電磁作用的定立計算，是探索其工程應(yīng)用途徑的核心何題.僅此兩例便充分體現(xiàn)了各種物理現(xiàn)象之間的相互作用、相互影響。然而,在具體應(yīng)用的分析中，正是這些不同物理現(xiàn)象中相同或相似的變化規(guī)律，既具有相同的或相似的邊值何超1乂為在

3、對其進(jìn)行統(tǒng)一考慮時.帶來了極大的便利之處.特別是在作有限元法計算時，它們的許多處理環(huán)節(jié)及參數(shù)都是相同的.這在當(dāng)今有限元法電磁計算中被稱作所謂的輛合同麴(CoupledProblems屋因此，本書雖然言明其內(nèi)容所在僅為電磁計算，然而，就其中的數(shù)學(xué)處理方法，特別是對于某些方法的實際徑驗，乃可為其他物理現(xiàn)象邊值問題求解所借鑒.采用有限元法求解電磁分布規(guī)律的邊值向改，從本質(zhì)上說，屬于對電磁裝置或電磁作用的探討及分析，是對工程應(yīng)用設(shè)備及其電磁作用原理的數(shù)值計算，是對這種物理現(xiàn)象的定量描述，是*客觀規(guī)律的研究,所以是一個被動過程，即對已存在的電磁裝置或電夠作用物理現(xiàn)象進(jìn)行定審計算，但是從歷史發(fā)展和近期展望

4、的角度來看，電ifi變化規(guī)律邊值問題的有限元法求解，巳不僅僅同于上述低念，它被廣泛應(yīng)用于電氣設(shè)備產(chǎn)品開發(fā)的前期研究，直接指導(dǎo)俊計過程,包括對產(chǎn)品性能要求條件苛刻的設(shè)計方案的實現(xiàn)；眾多的各種設(shè)計方案的比較；設(shè)計方案指導(dǎo)思想的調(diào)整,設(shè)計方案具體內(nèi)容的優(yōu)化及改進(jìn)等.從而突破了以往“設(shè)計、試制一修正”的那種舊的產(chǎn)品設(shè)計制造方法。在產(chǎn)品設(shè)計階段就能就其所被使用的系統(tǒng)進(jìn)行情確計算及性能頸測.可節(jié)省大量的設(shè)計試驗費用.在經(jīng)濟(jì)可比性上也進(jìn)一步確立了其優(yōu)勢的主動性地位.特別是采用人工智能及專家系統(tǒng)(KnowledgeBasedMethods)等現(xiàn)代方法，將能進(jìn)一耳提供實現(xiàn)更優(yōu)化或鼠優(yōu)化設(shè)計方案的手段，這也是當(dāng)今

5、有限元法電破計算中的一個新的發(fā)展方向。布限元法電磁計算的廣泛應(yīng)用以及廣腦發(fā)展前景的展望，首先來自于工程應(yīng)用發(fā)屣的尿力.如嚴(yán)皓制造規(guī)模的不斷擴(kuò)大即設(shè)備的大型化；產(chǎn)品歿計制造的復(fù)雜性和難度的不斷增加，即設(shè)備的集成性，對產(chǎn)品性能指標(biāo)要求的不斷提高，即設(shè)備的高技術(shù)含*1以及產(chǎn)品應(yīng)用花闈的不斷擴(kuò)充，即產(chǎn)品種類的多樣化。這些都要求時電氣設(shè)備或其部件進(jìn)行高精確度的定量計算和優(yōu)化設(shè)計.設(shè)備大型化是電氣設(shè)備高效率要求的必然結(jié)果,飛速發(fā)艇的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，提供r設(shè)備大量化的條件和基硼.電氣產(chǎn)品就其容置的增長傳數(shù)幾乎超過了年代的墻閾，例如在過去的十年內(nèi)，大型發(fā)電機(jī)最大單機(jī)容量增氏了十倍多，在交夜得建領(lǐng)域中電機(jī)最大容量

6、的增長達(dá)近百倍.由于設(shè)備的大型化.其總的造價越來越大.以致于不允許產(chǎn)超的設(shè)計及制造存在任何缺陷.甚至對于一些尚屬于研究性的大型項目，由于其大規(guī)模及高虢投入也不允許出現(xiàn)失限.例如對于象磁懸浮尚速鐵路交通方式的研究、磁減體發(fā)電方式的研究等.由于必須達(dá)到一定的規(guī)模程度？因此，前期的方案可行性論證顯得*重要.設(shè)備集成件是實現(xiàn)高性能指標(biāo)并提高其系統(tǒng)適應(yīng)性的天星途徑.在現(xiàn)代電氣設(shè)備中往往結(jié)合r許多控制、側(cè)節(jié)及保護(hù)環(huán)節(jié),然而最核心的還是實現(xiàn)大功率轉(zhuǎn)換的電敲部件，對其進(jìn)行有限元法電能計算，不僅可為這些控制、調(diào)節(jié)提供實現(xiàn)手段而且通過設(shè)計階段的分析及優(yōu)化可達(dá)到合理和完整的設(shè)備系統(tǒng)組合，如電動輪汽車.由于其電機(jī)集中

7、在車輪內(nèi)徑處決小的空間，設(shè)計難度大.此外各車輪間協(xié)墀的控制導(dǎo)向也是突出的難點，這些都依賴于對電機(jī)羯件的電磁計算及分析，又如大瑁汽輪發(fā)電機(jī)簡馀復(fù)雜的保護(hù)系統(tǒng)的建立也依賴于對電機(jī)內(nèi)電磁提律、熱傳導(dǎo)、流體情況、機(jī)械應(yīng)力及板動等物提現(xiàn)象的分析計算及綜合研究設(shè)備的高技術(shù)含量是現(xiàn)代化電氣設(shè)番的標(biāo)志之一，也是提高設(shè)備在系統(tǒng)中的適應(yīng)能力的關(guān)區(qū)手段.無論是電氣設(shè)備的優(yōu)化改進(jìn)或智能化實現(xiàn).還是新聞設(shè)備的設(shè)計制近都依翰其某些部件中物理現(xiàn)象的邊侑問題的有限無法求解.新設(shè)計概念的提出，新的俊計制造方法的引人.以及新材料的采用和新的應(yīng)用范僧的開拓，更離不開對其電磁燒律的邊值向翹有限元法求解分析.例如，用于核磁共藤成像醫(yī)療

8、設(shè)備的大型水磁磁體的設(shè)計制造便是一個衣限元法電磁計算的應(yīng)用照范.通過有限元法求解磁場邊值問題、設(shè)計滋屏藏、布置梯度樸然線凰和勻場線陰，可使較大的空間達(dá)到高場強(qiáng)并且具有高均勻度。乂如電塞作用物體發(fā)射系統(tǒng)，也是高技術(shù)含我裝置的n體體現(xiàn),在設(shè)計階段必須采用有限元法進(jìn)行電賦計笄.電氣設(shè)備的產(chǎn)品多樣化，是普遍應(yīng)用于現(xiàn)代社會中的電力能獴與其他能源形式轉(zhuǎn)換的必然要求.如今各種各樣、種類繁多的電氣設(shè)名的訂貨過程可實現(xiàn)快速高效的計算機(jī)輔助設(shè)計(CAD,ComputerAidedDesign),其核心也是對其內(nèi)部電磁及傳蒸,機(jī)械運(yùn)動等邊值何超的有限元法求解。此外，有限元法的廣泛應(yīng)用也是各種電氣產(chǎn)品設(shè)計精確度的有效

9、保障目前有限元法在電氣工程中的廣泛應(yīng)用,已確立了其住電磁分布邊值問題求解領(lǐng)域中的無可爭議的絕對優(yōu)勢地位.從歷史發(fā)展的整個過程來看，電磁分布邊債向窟求餅共有圖解、模擬、解析和數(shù)值計算等四種方法.只有當(dāng)有限元法引入后.這個領(lǐng)域才出現(xiàn)r逼速且龐大的發(fā)展，圖第法(GraphicalMethods)的應(yīng)用由來已久，有百年歷史.由于其方法的局限.只能用于二維場域上拉普拉斯方程的求解。即使非常仔細(xì)，其精度對于現(xiàn)代工程設(shè)計的要求是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。但其結(jié)果比較直觀，特別是對場域代表的部件之結(jié)構(gòu)選擇的設(shè)計者來說,通過這科直接的方法，可獲得較強(qiáng)的設(shè)計能力的培養(yǎng).此外，圖解法也適合于場域為開城的情況.當(dāng)今有限元法電磁計算

10、中的可視化后處理手段，在某種程度上.便受圖解法的啟發(fā).模擬法(AnalogueMethods逋過試驗測量具有相同場域方程、相同邊界條件和交界條件下的橫擬量,實現(xiàn)對電磁分布規(guī)律的求解.這種方法只能用于二維和三雒場域上拉普拉斯方程的求解，它不能考慮具有各向異性介質(zhì)或非線性介質(zhì)場域情況F的求解問題，特別是對于三維場域情況.其造價昂貴、工作非常繁重且適用范圍被小.在數(shù)值計算之前,解析法(An由ticalMethod)的發(fā)展比較成熟和完善，主要原因是當(dāng)時關(guān)于電磁分布的邊值問題的主要研究內(nèi)容就是解析法.有些解析方法或其結(jié)果至今仍應(yīng)用于工程設(shè)計中，如分離變量法、保用變換法等.還有一些當(dāng)時流行的其他方法，如積

11、分方程法、變分法.以及針對各神具體實際問題的特殊求解方法.加鏡像法、逑問題方法.但后者這些方法只能用于簡單的場域形狀和單一介質(zhì),并需要運(yùn)用對稱條件等。分座變量法(SeriesSolutionMethods或VariableSeparationMethods)主要用于二維或三維拉普拉斯方程的求解，并能考慮時變問題.然而它對邊界條件和交界條件的限制比較嚴(yán)格，因而常常難于滿足要求.在實際使用中，其坐標(biāo)的選取也至關(guān)里曼.其最終求解需要運(yùn)用貝察爾函敷、稠圜函數(shù)等特殊函數(shù)對于如帕松方程等非齊次方程.需要對其作面枳或體積積分變換，轉(zhuǎn)化成齊次形式.而往往很難找到這種積分變換的解析形式，需要較高的技巧.保角變換

12、法(CorifornialMappingMethods)是另一類大量應(yīng)用的解析求解方法。只能用于二維場域拉普拉斯方程的求解，但能適應(yīng)比較茂雜的場域情況.關(guān)鍵在于對場域函數(shù)的積分形式的獲得，這也是其局限所在，為此還發(fā)展r一些與之相關(guān)的坐標(biāo)變換方法，盡管其推導(dǎo)過程相當(dāng)繁瑣和困難，解析法的發(fā)展相當(dāng)龐大，包括各種具有普建性的或特殊性的算法.俯析法的主要不足是缺乏通用性，并且，主要還局限于穩(wěn)態(tài)二維場的求解，通常需要較多的算法才能獲得最終結(jié)果。對于非齊次問題或韭線性問題僅限于非常簡單的特殊情況,往往解析法的推導(dǎo)過程需要較高的技巧及難點的突破?？傊跀?shù)值計算方法出現(xiàn)之前，盡管進(jìn)行了大量的工作，但從其結(jié)果來

13、看，電磁分布邊值何融的求解只是非常有限的范圍，數(shù)值計其方法止好彌補(bǔ)r這個不足，米用效值計算法，能實現(xiàn)幾乎所有的電磁分布邊值問題的求解分析,特別是結(jié)合所謂的時變問映,結(jié)合如熱傳導(dǎo)、應(yīng)力分布等其他物理現(xiàn)象的所謂輛合問題，以及其他一些具有較大難度的特殊應(yīng)用問題.如天線，電磁物體發(fā)射等，只有當(dāng)數(shù)值計算法引入后才有實現(xiàn)求解的可能.另外，采用數(shù)值計算法以后，針對實際工程問題處理的思想方法也有了明顯的改變.過去是盡量簡化物理和數(shù)學(xué)模型以求獲解,現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)是達(dá)到更合理的模型選擇以保證解的精確度，往往選擇比較復(fù)雜的模型。電磁分布邊值問題的數(shù)值計算方法包括有有限差分法、有限元法、積分方程法和邊界無法等四種基本類型

14、.以及近幾年來發(fā)展產(chǎn)生的宥限元法和邊界元法相結(jié)合的所謂混合法.其中.有陽元法占有絕對主要的地位，具有較大的應(yīng)用范圍。目前.有限元法的這種優(yōu)勢越來越顯著.有限差分法(FDM,FiniteDifferenceMethods)的基礎(chǔ)是對求解區(qū)域內(nèi)解一個節(jié)點上偏微分方程的泰勤級數(shù)近似.將連續(xù)的場域圈散成一些以節(jié)點為核心的小區(qū)域，對偏微分方程的微分格式進(jìn)行近似處理，并考慮邊界條件和交界條件的約束,獲得一絹以節(jié)點變?yōu)槲粗獢?shù)的代數(shù)方程，進(jìn)行求解。一般地這些小區(qū)域為長方形.對于場喊內(nèi)變鼠變化急劇的地值阿霆，要求網(wǎng)格劃分比較密集這便限制了有限差分法的應(yīng)用他圍。此外.有限差分法必須對所有的邊界條件和交界條件進(jìn)行算

15、法處理，特別是對復(fù)雜的邊界和場域內(nèi)各種介質(zhì)的交界的處理有一定的困難,也難于實現(xiàn)自動處理方式。盡管卻此，直到加年代.最早的許多大型工程應(yīng)用問題，如大瑁電機(jī)、感應(yīng)爐等的電磁數(shù)值計算都是采用有限差分法，并取得了令人難忘的、極價值的成果。目前在流體的邊值同胭中.有限整分法還有較大的應(yīng)用.基于遢遼金或變分原理的有限無法(FEM,FiniteElementMethods),最早產(chǎn)生于力學(xué)計算中，自從在加速器磁極和直通電機(jī)磁場等電磁計算中被采用開妁，至今在電氣_L程中的每一個方面都得到了廣泛的應(yīng)用，也是當(dāng)今電氣工程中研究的一個主要熱點.有限元法將由偏微分方程表征的連續(xù)函數(shù)所在的封閉場域劃分成有限個小區(qū)域，短

16、一個小區(qū)域用一個選定的近似函數(shù)來代替.于是整個場域上的函數(shù)被寓散化，由此援舟一組近似的代數(shù)方程，并聯(lián)立求解,以獲得該場域中函數(shù)的近似數(shù)值.通常對于二維問題的處理，這些小區(qū)域為三角形，由于三角形具有較大的自由度進(jìn)行拼接.所以場域的劃分比較方便，特別是對不規(guī)則的邊界形狀的處理也很方便.此外，它還能適合于場域內(nèi)函數(shù)變化劇烈程度差別較大的情況，特別適合于場域內(nèi)介質(zhì)種類較多、交界形狀豆雜的情況、交界條件自動稠足。在每個小區(qū)域上所采用的近似函數(shù)通常為線性函數(shù)，如二維場情況F是坐標(biāo)的雙線性函數(shù)。當(dāng)然這些函數(shù)的選取自由度也是較大的，如近年來出現(xiàn)的高除插值函數(shù)的研究，高階插值也為目前有限元法中產(chǎn)生的熱門課題.裨

17、格自適應(yīng)剖分提供r基礎(chǔ)、此外，最近開始出現(xiàn)的邊聯(lián)有限元法.其實質(zhì)泡是一種單元小區(qū)域上高精度函數(shù)的選取方法.有限元速最主嚶的特點是根據(jù)該方法編制的軟件系統(tǒng)對于各種各樣的電磁計算同就具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，通過前處理過程能有效地形成方程并求解,它能方便地處理非線性介質(zhì)特性.如鐵藏田和特性等.它所形成的代數(shù)方程具有系數(shù)矩陣對稱正定、希麻等特點，所以求解容場、收斂性好、占用計算機(jī)內(nèi)。網(wǎng)也較少這些正是有限無法能成為電氣設(shè)備計算機(jī)輔助設(shè)計核心模塊的優(yōu)勢所在.有限元法的主要缺點是對于形狀和分布史雜的三維問題,由于其變出多和招分要求細(xì)住往因計笄機(jī)內(nèi)存向殳限制、特別是包含開城自由空阿的電磁計算阿肱,其建模及求解比較困

18、難。如近年來發(fā)展起來的所謂膨張技術(shù)，便是為了解決有限元法處理開域問題:有限差分法和有限無法電磁計算是基于邊值問題的微分彩式方程的離散化數(shù)值處理，而積分方程法及邊界無法則是在邊值問題的積分形式方程的基胡上建立起來的。由于積分方程息證形或僅與產(chǎn)生電破分布場域中的場源有關(guān).因此在作數(shù)假化處理過程中，只需考慮場獴區(qū)域的離敬。所以，方程的階數(shù)較低，這也上適應(yīng)如三維電磁場計算等的需要，枳介方程欣(VUEM.Voltirnt!IntegralEquationMeihcxis)的基礎(chǔ)拒麥克斯韋方程的積分形式.滔過對揚(yáng)中源區(qū)的離散，便可獲得對應(yīng)的代數(shù)方程、并數(shù)值求解，然后，再根據(jù)畢奧薩伐定律求解場城中品個點場量

19、的數(shù)值.由于方法本身的特點,枳分方程法對于線性問題具行較高的精確度。特別適合尸域情況并且由于僅需對場源及M線性區(qū)迸行剖分，因此,利分?jǐn)?shù)據(jù)鹿齋簡單，代數(shù)方程求解工作貴小及占用計算機(jī)內(nèi)存量也較小,但是，對于乖找性何潁真最終形成的代數(shù)方程具有非對林性、非稀疏性的半教矩陣，特別是該矩陣中各元京是由二堇積分或三血:積分而荻得的，具有超越函數(shù)或描隔函數(shù)等復(fù)雜形式，計算盤較大.隨著計算機(jī)資混的不斷擴(kuò)充，特別是并行討克機(jī)的發(fā)展，積分方程法的這個難點是可以克服的。邊界無法(BIEM.BoundaryIn:egnilEquationMethods)也是以枳分方程為基硅的.它果用分部積分如格林定理等，在一定條件下把

20、該枳分方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊界的荻分方程，并據(jù)此迸行離散，獲得相應(yīng)的代畋方程，求解這些變量的具體數(shù)值，然后再求出場域中變量的數(shù)值.它的特點是數(shù)值方法與傅析方正相結(jié)合，盡管增加r數(shù)學(xué)處理過程的復(fù)跳性，但起到了降維的作用。求解域被處理到該域的一個或多個邊界上，象飄潼問題中是處理到導(dǎo)體的表面上、怏部件的邊界上等，并且，其代數(shù)方程系數(shù)矩陣的形成吸取了有限元法的插僮方式，總少了復(fù)雜佐和參數(shù)計算工作置。因此，邊界元法近年來在電磁數(shù)值計算中獲得了極大的關(guān)注.然而，這種方法用于非找件情況時失去了身有高精度的特點，不均勻分布的非線性問題越嚴(yán)富.這種局限性越明顯e比外，它僅適合于相對來說比較簡單的場域情況.萬隰無法和勁

21、界元法桎結(jié)合產(chǎn)生的混合法(HybridMethods),即是在包含非線性材料介質(zhì)和品雜區(qū)域邊界及交界的場域內(nèi)采用有限元法求解.在其余區(qū)域，特別如開域部分采用邊界元法求解。它綜合了這西種方法的優(yōu)點,也使有限元法的應(yīng)用范國得以進(jìn)一步擴(kuò)大，即適應(yīng)廣開城問題的求解.并只有利于克服三維場問題求解要求計算機(jī)內(nèi)存量大、消耗機(jī)時長等曜或。然而，我副作用是使得所求解的代數(shù)方程之系數(shù)矩陣失去了對稱性和稀疏性等特點.從當(dāng)前電磁計算的前沿發(fā)展來看,有限元法不僅本身在應(yīng)用方面具有很大的潛力.而且結(jié)合其他理愴和方法還有廣何的發(fā)展前景.這些前沿性發(fā)展包括一些已經(jīng)取得了較大進(jìn)展，井行相當(dāng)?shù)膽?yīng)用范圉的成果，如自適應(yīng)網(wǎng)格創(chuàng)分、三

22、維場建模求解、I合問48、開城問題、離磁性材料及具有滯及飽和非線性特性介庚的處理等.它們進(jìn)一步開拓了有限元法的應(yīng)用范困.也適應(yīng)了更復(fù)雜的、精確度要求更高的問吆求解之需要.此外.這些前沿性發(fā)展還包括了一些尚處于探索性階段的工作，如逆向跳、人工智能和專家系統(tǒng)在電磁裝置優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用、邊穌有限元法等.自適應(yīng)網(wǎng)格剖分(A癡ptiveMeshGeneration)及其加鴦技術(shù)是近年來有限元法電磁計算中發(fā)展比較快和比較完整的內(nèi)容.它來源于對電磁數(shù)值計算方法的諛差分析，并有較高的實用價值，特別適合于對電磁場數(shù)值計算不太熟悉的研究和設(shè)計人員使用有限元法電磁計算軟件。自適應(yīng)網(wǎng)格加密技木的前提是網(wǎng)格的白動剖分,

23、然而.自動削分主要是根掰場城的幾何結(jié)構(gòu)來進(jìn)行的，同時也帶4軟件設(shè)計者的經(jīng)驗,自適應(yīng)網(wǎng)格剖分是在此基礎(chǔ)上根據(jù)對場*分布求解后的結(jié)果對網(wǎng)格進(jìn)行增加其剖分彎度的胭贅。此外，還可根據(jù)分布情況對網(wǎng)格宙集區(qū)采用高階插信函數(shù)，以進(jìn)一步提高精確度.前者由于是基于線性招值函數(shù)，系數(shù)矩陣形成箭單,但需矍重新對網(wǎng)格參數(shù)進(jìn)行計算,工作量較大，此外對于場域內(nèi)分布變化劇烈區(qū)部分，這種加府過程需要多次反熨，高階推值可相當(dāng)可觀地提高精確度，但由于出現(xiàn)了抽值函數(shù)的不一致，因此須考慮高低階播值函數(shù)單元間的過渡銜接，即所謂的整艮單元問題，增加了復(fù)雜性.在三維(3D,ThreeDimension)場情況下，不僅有解的唯一性問題，需要

24、選取適當(dāng)?shù)亩谭都右韵拗?，更主要的是得求未知?shù)較多，由于計算機(jī)賁源的限制，以致于對于渦魘時變場等的數(shù)值計算,將確度成為比較突出的同碰0針對不同的介質(zhì)區(qū)域采用不同的場量表征形式，可以達(dá)到就少未知數(shù)個數(shù)的目的，為此產(chǎn)生了各種各樣的方法，這是在三維場有限元法計算中一個比較明顯的特點.目前，三維電磁場數(shù)值計算的發(fā)展還是相當(dāng)成熟的，已經(jīng)有一批商業(yè)化軟件被應(yīng)用干不同的電磁計算中.如在醫(yī)療設(shè)備核磁共振成像系統(tǒng)的磁體，這樣一些三維靜磁場的計算中,最高精度已達(dá)千分之一.耦合問題(CoupledProblems)是從琮合考慮在實際工程應(yīng)用中各種物理現(xiàn)象間相互影響的角度來提高電磁計算箱確度.首先便是因為有限元法的應(yīng)用

25、提供這樣一個基此,即一般地單純一入場的數(shù)值計算已達(dá)到了較高精確度以致于必須同時考慮其他物理現(xiàn)象的影晌，例加,電破計算結(jié)果獲得受力分布和損耗分布，其中受力分布作為應(yīng)力數(shù)值分析的外源，招耗分布作為熱傳導(dǎo)溫度場數(shù)值計算的輸入條件。而溫度場數(shù)值計算的結(jié)果又可用于調(diào)整電磁場數(shù)值計算由叁數(shù)的選取，盡管溫度場隨時間變化速度相對于電磁變化比較緩慢,但其分布中的數(shù)值差異在較大程度上影響電磁計算的精篇度，特別對于那些如感應(yīng)加為、電動機(jī)等應(yīng)用中度分布差異較大的情況,這種影響顯著，由此可相當(dāng)程度地提高電微計算的精確度。應(yīng)力場與電陳場的變化速度比較接近.因此也必須耦合起來考慮.由于有噩元法只能適合于具有封閉邊界區(qū)域匕的

26、電磁計虢.對于開城情況便需要加以一定的處埋.最早的處埋方法是把離主要場區(qū)較遠(yuǎn)的開城處場強(qiáng)設(shè)為零，但其誤差較大，匕不能翳足要求.目前所采用的處理方法主要勺括梟用有限元法與邊界元法相結(jié)合的混合法，所謂的底技術(shù)(BallooningTechiqu。、等效邊界變換和漸近邊界條件等.通過這些方法，可使感興趣區(qū)域內(nèi)的場量求解精確度進(jìn)一步提高.同時也使有陽元法也破計算的適用范州進(jìn)一步拓寬.有限元法電磁計算的逆向題(InverseProblem),用于場域尺寸、電流及導(dǎo)體位置安放等的優(yōu)化設(shè)計，以達(dá)到場的形狀、參數(shù)及力的分布等的優(yōu)化之目標(biāo)，近年來在二維場方面開始被進(jìn)行研究.實際應(yīng)用背景包括具有高均勻度的核磁共振

27、成像系統(tǒng)磁體的設(shè)計，具有高次萌波畸變的粒孑加趣器磁極的設(shè)計，凸極電機(jī)磁極及氣隙磁場的設(shè)計等。優(yōu)化設(shè)計包含了對具有電庭、焦、機(jī)械力計算的目標(biāo)函數(shù)的分析.這些目標(biāo)函數(shù)可以是簡單的，如材料的寬量、損耗的大小或場的形狀等，也可以是比較復(fù)雜的，如作為位移的函數(shù)的力的線性分布，需要通過一系列的電磁數(shù)值計算才能獲得，優(yōu)化方法有直接搜索法、隨機(jī)過程方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論以及人工智能及專家系統(tǒng)等優(yōu)化方法.通過這些研究，為有限元法電磁計算在電磁裝置的設(shè)計中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)U邊基有限元法(EdeMethod)不同于傳統(tǒng)的以節(jié)點變量及其幅值函數(shù)為基礎(chǔ)的有限元法,后者在介成邊界或交界處場矢量不連續(xù)情也下會產(chǎn)生多值同題.

28、邊基有限元法的出發(fā)點是將待求的未知變置于電元的邊上，而非節(jié)點上.這時只有平行于邊的分量為變量，其余的分量均為常量，并可推導(dǎo)獲得.邊基有限元法有多種基本插值函數(shù)形式，還能達(dá)到較熟的場數(shù)值計算精度，也能處理場域中有奇異點的情況，并隹減少最終代數(shù)方程的階數(shù)。其坂范的選取也比較容易，適合了三維場發(fā)展的需要.12有限元法應(yīng)用目前.有限元法電磁計算在電氣工程中的應(yīng)用作常廣泛，包括其各個方面.內(nèi)容極其豐寓,如電機(jī)的電磁分布、巴破力、變形，轉(zhuǎn)戶運(yùn)動，動態(tài)變化過程以及與電力電子裝置相結(jié)合等情況卜.的分析和特性葫測及電機(jī)參數(shù)的計算等。有近年來較新的內(nèi)容加傳動調(diào)節(jié)瞪的計算等,還有變樂器以及其他電力系統(tǒng)元件，如高壓絕

29、緣子.高壓線圖、輸電線電纜、接地系統(tǒng)，電線和配電線的外部磁場，電率等的分析v有感應(yīng)加熱，電磁攪拌、冷螺過程的電磁分離選料.具有分布式參數(shù)的天線的計算等。還有一些較新的產(chǎn)品開發(fā)和研究項目，如核6磁共振成像系統(tǒng)磁體、磁流體發(fā)電、磁懸浮列車.電磁物體發(fā)射以及電磁對人體影響等的計算分析.這些應(yīng)用各具特色，它們的計算分析方法也不盡相同.總起來說，可根據(jù)這些應(yīng)用中電破現(xiàn)象的變化快慢程度分為三大類型，即岸磁場，洞流場和高頻場等。三維靜磁場計算目前還是比較成熟的.三維渦流場的計算目前的主要目標(biāo)是如何越少計算量同時提高計算精確度。高頻場的計算有其特殊性，出現(xiàn)了相應(yīng)的一些新的方法C三維靜壽場(StaticMagn

30、eticField)的計算方法比較明確，在無源區(qū)采用一個標(biāo)量位，在有源區(qū)則分解成一個標(biāo)量位和另一部分與外加電源對應(yīng)的除場強(qiáng)度等效值。這些被用于一些特殊結(jié)的電魅裝置的參數(shù)計算，也用于如電機(jī)端部和變樂器中的屏蔽設(shè)計,變壓器內(nèi)三維場的分析,特別值得指出的是核磁共振成像系統(tǒng)磁體的三維計算中對精度千分之一以上的產(chǎn)樣要求也能滿足，足以說明這方面段用的發(fā)展還是相當(dāng)成尊的.渦流場(EddyCurrentField)問題，特別是包含較多零線性材料區(qū)域的情況下,必須采用矢量磁位作為場量.在二維場情況下，由于矢量磁位只有一個方向分量，應(yīng)用起來比較方便,在三維場情況下,矢量fi&位具有三個方向未知分量，它會使褥最終形

31、成的代教方程的階數(shù)較高,為此產(chǎn)生了一系列的方法,主要目的是通過采取一些措施，使矢量位的區(qū)域盡量限制得比較小，或通過變換用簡化的、未知數(shù)個數(shù)少的變量來表征場的分布，進(jìn)行求解。這時對位函數(shù)規(guī)范的選取也很重要，它可以避免多值解問題。由于許多工程應(yīng)用電氣設(shè)備中大量采月快磁材料實現(xiàn)聚碳目的.而佚破材料具有飽和現(xiàn)象等車線性特點，因此為達(dá)到一定精確度，采用有限元法還是十分必要的。值麴指出的是，對于單一頻率的電磁計算問題，可采用反數(shù)法手段轉(zhuǎn)化為穩(wěn)態(tài)場形式進(jìn)行求解.故被稱為似稔場.然而.隨著工程應(yīng)用中對精確度要求的提高，這種方法對于鐵磁飽和現(xiàn)象.由于僅考慮了一個周期中變化的平均值，已滿足不了要求，因此還需用時步

32、瞬變的方法加以處理。對于高領(lǐng)場CHighFrequencyField),位移電流不能忽及。其有限元法計算采用矢量磁位.仍具有介質(zhì)交界處連續(xù)的特點，因此介質(zhì)交界條件自動滿足。不用考慮.對于再頒場的處理有兩種方法，一種類似于渦流場情況，這時求解獲得的是對應(yīng)某個頻率下的場景分布，另一種專門用于高頻場的分析.即為特征值和將征矢量的計算.通過對特征值的計算分析，既能獲得對于某個頻率下場分布的完整的解,面11也能考察系統(tǒng)的其他一些特點如共振特性等。它特別適合于諧振腔、天線等裝置設(shè)備的電融計算.目前在工程應(yīng)用中還有一個比較突出的問題是場域內(nèi)介質(zhì)間相對的運(yùn)動問題CMotxmProblem或MotionalEf

33、ket。，常見于電機(jī)、電破物體發(fā)射及渦流則等電磁裳JS.在旄轉(zhuǎn)電機(jī)中定轉(zhuǎn)孑間的相對運(yùn)動主要使得氣隙網(wǎng)格變化，與之有關(guān)的參數(shù)主耍是轉(zhuǎn)子的位置.在直線電機(jī)、電磴物體發(fā)射等裝置中，主要是要考慮運(yùn)動引起的切割電勢部分，由于數(shù)值計算求解，容易引起斛的不稔定，特別是對于電磁物體發(fā)射那樣，速度高、速度變化快的過程，這種現(xiàn)象更嚴(yán)重，原至?xí)?dǎo)致錯謖的結(jié)果，為此，采用了一種所謂的逆流方法，這種方法可避免上述由數(shù)通計算引起的假性不稔定振蕩現(xiàn)象，然而，它也會減低解的精度，為此，還要適當(dāng)調(diào)整網(wǎng)格剖分.13有限元法商業(yè)軟件有限無法在電磁計算中的廣泛應(yīng)用，除前述有限元法本身的特點外，還來自于各種有限元法電磁計算商業(yè)化軟件的

34、不斷推陳出新以及其獲得的越來越多的用戶v有限元法商業(yè)化軟件作為工程設(shè)計、科學(xué)研究和教學(xué)等的使用工具，具有明確的目標(biāo)及鮮明的特點.其中最主要的一點是服務(wù)對象明確，使用者僅需對所需計算的問題作出答復(fù)，作為輸入,便能獲得所苗結(jié)果,并能在此基礎(chǔ)上不斷對結(jié)果進(jìn)行進(jìn)步的開發(fā)使用，而并不需費了斛有限元法求解的詳細(xì)過程.如網(wǎng)格剖分、方程形成及求解等，更不需要掌握有關(guān)的技巧.由于采用模塊化結(jié)構(gòu)，組合性強(qiáng)，用戶可隨意選用其中某些檬塊，并能方便地進(jìn)入某些過程，從而進(jìn)行控制,因此，可適應(yīng)不同層次使用者的各種需要，最大限度地為他們減輕了素地的工作量。此外，在后處理方面的大量投入，也提高了此類軟件的使用價值，特別是可視化

35、程度的不斷提高，使用戶野心應(yīng)手，達(dá)到了在設(shè)計階段便能對電磁裝置或設(shè)備中電磁場的分布及各種性能指標(biāo)一目了然的程度，易于進(jìn)行方案修正及優(yōu)化設(shè)計.此外，有限元法本身適應(yīng)性強(qiáng)的特點，也使得商業(yè)化軟件具有很強(qiáng)的通用性，能適合了各種應(yīng)用問題。通常有限元法電磁計算商業(yè)化軟件包含場域幾何尺寸處理模塊、介質(zhì)物理參數(shù)選擇模塊、網(wǎng)格剖分生成模塊、方程形成及求解模塊、后處理及用戶界面模塊等五個主要部分.在當(dāng)前的商業(yè)化軟件中，基本上都包含了二維成三維電磁場計算選擇、外源激勵的處理、非線性介質(zhì)物理參數(shù)的數(shù)據(jù)庫、網(wǎng)格的自適應(yīng)剖分、線性或非線性以及磁旗或滿元方程組的自動優(yōu)化處理、位函數(shù)場量與所需分析量的轉(zhuǎn)化及與溫度場應(yīng)力場的

36、耦合處理等功能.此外，還具有與計算機(jī)輔助設(shè)計軟件的接口，并設(shè)有多種讓用戶參與的通道.因此，既減輕r用戶采用有限元法的大部分工作量,乂為用戶提供了大量的選擇余地.被大程度地方便了用戶。目前.國外專門從事有限無法電磁計算商業(yè)化軟件開發(fā)的轉(zhuǎn)的專業(yè)公司有三,多家。下面就其中主要的幾家及其出品的常見軟件作的介紹，并就它們的功能作簡單比較:美國MacNealSchwendlertCorp.公司推出的MSC/EMAS軟件目前已有第三版(Verion3)井相應(yīng)地配合廣增強(qiáng)顯示功能軟件MSC/ARIESVersionC.1.1版。其中.MSC/EMASVersions包含ELECTROSTATICS,MAGNE

37、TCSTATICS,CURRENTFLOW.FREQUENCYDOMAIN.TIMEDOMAIN,MOTION等程序。MSC/ARTESVersion6.1.1包含SOLIDS.MATERIALS,FEM,RESULTS,PARAMETRICS等程序.從這些程序的名字，便可知道其功能或作用。此外，該軟件系統(tǒng)還包含了73個應(yīng)用實例，例解了備種應(yīng)用情況下的處理過程和手段，便于用戶操作使用，加拿大IntegratedEngineeringSoftwareInc.公司的系列軟件，如用于二維情況的ELECTRO,MAGNETO,AMPERES,OERSTED和三維情況卜的COULOMB.FARADAY等

38、其中僅OERSTED售價6000美元。美國Ma衿)ftCorp.公司有FLUX2D,FLUX3D,PHT3D,以及覆機(jī)用MICROFLUX,后者售價最高達(dá)6萬美元.英美VectorFieldsLimited公而有OPERA及用于三維場的TOSCA,ELEKTRA,SOPRANO,SCALA等軟件.美國SwansonAnalysisSystemsInc.公司有軟件ANSYS的系列產(chǎn)品，其中為適合于微機(jī)上應(yīng)用而開發(fā)的軟件售價880美元左右，都能適合于應(yīng)力分布、傳熱等的數(shù)值計算，并能部分實現(xiàn)優(yōu)化.此外，還有英國和加拿大InfolyticaCorp.公司的MagNet軟件，英國Rnh大學(xué)軟件中心的Me

39、g軟件.以及美國Ansoft(orp.公司的Maxveil軟件等.我1-1列出了在1991年第五次IEEE電磁會議上對戶一些6限元法電愚計算商業(yè)化軟件開發(fā)今業(yè)公司產(chǎn)品的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，顯示I當(dāng)時這些公而軟件的一喂特點卻蒙異.但時至今日，這些公司的軟件都已達(dá)到了這些指標(biāo).目前主要懸艷月環(huán)境如計算譏機(jī)型適用范圍上的差異，特別是向微機(jī)上的移植等.一些公司軟件功能比較我II靜暖場似他場時空場公司抑止運(yùn)刈沛U：)4線性非線性續(xù)件非線性線性拿戰(zhàn)性線性-0蚱較件/件j+奴性L-融;年我也ANSOFT二堆王T*金，I1MacNealSch./idler二雄三覆i廿4人:i-.TntestedEngincerin

40、RSnhwArr二境三猾U-XWth大學(xué)-*4三推:亡亡女L色口4*.2、J於1Tnfolytica二維三堆:女U流過單位電潴（A）的導(dǎo)體所受到的作用力，即；8=的（2.1-1）式中a作用在戴流導(dǎo)體匕的力（N）,書為不同導(dǎo)體方向的作用力的最大值；1導(dǎo)體中流過的電流（A）；L導(dǎo)體的長度m）。力F5罐通磷變B及有向電流呈有悌旋方向，描述陂場特性的另外一個物理量為磁場強(qiáng)度H（里位為A/m,即Amperes/meter或安/米.它用來說明微場激勵的大小.磁場強(qiáng)度H與破油密度B的關(guān)系由磁場介質(zhì)的特件來確定、如下式所示：B=2.1-5）我中，為介質(zhì)的磁導(dǎo)率（單位為H/m,即HcnTys/mcter或亨/米

41、）。真空的導(dǎo)磁率為“=為=4X10-（H/m）,*有時也近似稱為空氣迸導(dǎo)率。為了方便起見，磁介質(zhì)的假導(dǎo)率父常常用基于幺空礁導(dǎo)率的相對值來表示，稱為介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率出：(2.1-5)吃氣的相對徽導(dǎo)親為1.0000004,相對破導(dǎo)率小于1的介質(zhì)秫為抗磁介質(zhì)，例如胴或鋁；用對磁導(dǎo)率梢析大于1的介質(zhì)稱為順磁介質(zhì)；相對磁導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大1的介質(zhì)通常稱為鐵磁介質(zhì).這類材料常常含有鐵、鉆、探等元素，般綱材料的相對感導(dǎo)率都為幾千，有些鐵磁材料的卻對磁號率甚至島達(dá)一百萬.一般來說，鐵磁材料都為非線性材料，印其相對微號率隨磁場強(qiáng)度而變化，并日其B-H持性油常？現(xiàn)磁滯垮性，即磔通密度B不但取法干瞬時破場儲度田2,卜1怏畿

42、材*1的磁滯胤撥及磁化曲緩H.而且還取決F材刈過去的罐化歷史。個弛T!的佚堿材料晌磁滯特性曲戰(zhàn)如圖2.11所示,山圖可見，at沛回線與磁場的淑功亦關(guān),而且B不是H的單值炳數(shù).B的取值取決TH的當(dāng)前值以及磁化為史。在電匚學(xué)中常將這些對應(yīng)于不同激勵的磁滯回線的最高點用一條由我連接起來，川以表示該材料的平均俄化丸應(yīng)，如圖2.1T第一象限中的粗實線所示，該曲線通霍稱為材料的掩化曲線或8曲緩。在有限元中,不同材料的超化曲線邪以效據(jù)文件的膨式存貯在計算機(jī)電，幾種典型磁件材料的磁化曲線在圖2.1-2中給出.傳導(dǎo)電潼密度位標(biāo)電流面需度，傳導(dǎo)電流需取用J表示（單位為Ampercs/meic/或安/米Z）,并定義

43、為單位面積所流過的曲流。血為強(qiáng)度K與傳導(dǎo)電流空度J的關(guān)系如下式所樂:(2.1-7)式中。一一介質(zhì)電導(dǎo)率（單位為S,即SimKns/mcicr或西/米）.電導(dǎo)率的倒愁為電阻率（單位為所即Ohmmeters或歐米）o式（2.1-7）為微分形式的歐姆定律，在電路中常用的歐姆定律形式為：I=GuJ（2.1-6）式中U電壓；G電導(dǎo)f單位為S,即SiemensR電阻（單位為。.坪Ohms或歐）.留2. 12三件帙祐4科的就化曲線如果介質(zhì)的物理特性（即E、川和在各點都保持一致，即物理特件與俏段無關(guān)，那么該介質(zhì)虬稱為均勻介質(zhì)，杏眥就稱之為非均勻介質(zhì).如果介質(zhì)的物理持性在各個方向都保持一致，即物理特葉與方向無關(guān)

44、，那么該介質(zhì)即稱之為各向同性介質(zhì).否則就林之為各向異性介質(zhì),如果介質(zhì)的物理特性不隨時間變化，那么該介質(zhì)則評為時不變介質(zhì)否則就稱之為時變介質(zhì)。如果介質(zhì)的物理特性不隨電蹴激勵而變化，即、幺和。保持常值，那么該介慣則稱為線性介質(zhì).否則就稱之為非線性介質(zhì).本書為簡弟起見,只寫眼r個向同性卻時不變介質(zhì).在工程問題中，多數(shù)材料都可以用各向同性和時不變的介質(zhì)來表示或近似玄示.高斷電通定律（乂簡稱為高斯定律）在電場中,K論電介航行電通密度矢量分布如何，穿出任何一個閉合曲面的電通（即電通密涉關(guān)后對該閉介也而何有向枳分）,等于這,閉合前而所包圍的電荷量，即,=（2.1-9）式中P電荷體密度或筒窗電荷部度（單位為C

45、/m,即Cgombmcter，或體/米$）；V閉合曲面S所包圍的三維區(qū)域.以上枳分方程也可用情分方程的形式來表示：D=p（2.1-10）式中矢星散度的定義可參見附錄的式4-1）,高斯電通定律友明，電荷可以產(chǎn)生電場，也就是說電荷是巾，場的源，井H電場方回（也可形象的用電力找來表示）起始手市的電荷向終出于負(fù)的電荷。高斯磁通定律（又際為磁通連續(xù)性原理）花磁場中,不論應(yīng)介質(zhì)與微通密度矢量分布如何，穿出任何個閉合由面的磁通量（乂荀禰噌通，即帷通擊度矢層對該閉合曲面的有司職分）恒等于本.即:.1dS-O（2.1-11）該積分方程也有用應(yīng)的麒分方程形式，即：VB=0（2.1-12）高斯黑渡定律表明.穿過任何

46、一個表面的磁通是連續(xù)的，這展示了磁場與也場的一項重要區(qū)別C法拉第定律ersred）用試瞼證實了電流可以產(chǎn)生磁場：法拉第則證實變化的蹴場可以產(chǎn)生電場。這些關(guān)系可以用以下積分方程來去示：pf）11bE-dl=-92.1-13）JrJJn#相底的微分方程為：VXE=？（2.M4）a式（2.113）中的有則為對曲面。所做的曲面積分.左側(cè)為沿用合曲線（由此而n所確.定）,所ift行的線枳分，由面法同方向即燃的方向和曲線r的曉行方向符合6手螺旋定則。式（新幽鮑樵一/!”=71禹明電卡定律一一I。dSUr出二DdSro5sdds=J高斯造通定律I-,*5dShO4BdS=0多聲K=0如,和”-11rt”,好

47、0尤鏟邪！Bvxg-號UfVD=078=。L_靜態(tài)場VXE-0XH=JVDrV-BJ。稔含場VKF-、1XH-(0卜*)E(V2=pgr=j表21-2骨分影式的麥克斯韋方程2.2電磁場微分方程的一般形式由前一節(jié)可知，電感場服從麥克斯書方程卯.因此出碳問題可以用這些微分方程或枳分方程所描述,并為相應(yīng)問題的邊界條件和初始條件所限定.股說米，大力數(shù)工程問題的求解都很筑雜.都需要借助于數(shù)值什克的方法來求用較值解-有限元法為其士非常行效和,為應(yīng)用的一種.由麥克斯韋方程組可以看出，電道變隹足相互交織在一起的，這樣就更增加了對問題求解的瞇皮,為了筒化同咫，人町常常借助于定義個標(biāo)量電勢和個矢最破勢的方法，將電

48、場變量和磁場變量分肉開來,從而形成一個獴立的電場或磁場的偏微分方程以悵用十?dāng)?shù)值計算中去，這一節(jié)的的就是安逋過定義電勢和雨勢.推導(dǎo)出用于電磁場的偏微分方程,并總結(jié)出上程詞題的常用邊界條件.這啜需要說明的是，假如不引入標(biāo)量電勢和矢沙磁勢的慨念,而宜接應(yīng)用電場和雨場的物理量如電場強(qiáng)度和遨場頸,度等.也可以將電場和做場的偏微分方程分刷開來c在實際問題中.求解以勢函數(shù)表示的偏微分方程更為容易一些,因此我們籽介紹電磁物的勢函數(shù)方程,TJ.求解出電儆場的勢函數(shù)之后.其它電截物理量都可以由此導(dǎo)出，這些算法將在第五堂中杵作介紹“2.2-1電磁場的勢函數(shù)方程為廣電卜求解電破場舊題.我們需要料電會吊與磁交時分圖開來

49、.從而導(dǎo)出描述電場的和遮場的編微分力杜。雖然枳分力程也可以用來求解電磁場向他，也是在有限元計算中.大都采用微分方程的形式,囚而在下文中我幻都將采用麥克斯韋方程組的微分形式“為r實現(xiàn)分離變曷的目的,首先引入矢,磁勢A(單位為Wb.，m,或韋/米)和標(biāo)量電勢。(單傳為V即Volt或伏).磁勢A可以定義為：B-VXA(2.21)EI借勢的旋度為破通阜法度。如果磁場的激勵源為百流電源，等方向不變的電流，那么矢討磁勢A的方向與電流密度J的方向一致、且其幅值正比FL按照式(2.2-1)所定義的礁勢并不唯，也就是說:有很多矢3函數(shù)都能滿足式(2.2-1)。以后我仰還要對A加以限制，以保證它的唯一性。造勢作為

50、磁場的一個中間變量，一般說來不具有特定的物理意義.引入它的H的是為了簡化電磁方程,但這樣定義的詼勢也應(yīng)滿罡麥克凱韋電被場方程組，在以下的柜導(dǎo)過程中，我們將由碳勢構(gòu)成的微分力程不斷電加以具體化.最終使得該微分方程與麥克斯韋電微方程致.從附錄的矢量等式(A-6)可以看出.對個關(guān)量求旋度再求儂度.其結(jié)果恒為零，矢M施勢作為一個薦殊的矢殳也不例外，即：V(VXA)=0(2.2-2)由A的定義式(2.2-1)可期,其旋度即為磁通密2B.那么式(2,2-2)則演變成高斯疏通定律亦即式(2.1-12)：V.-0式(2.21)相式(2.2-2)表明,如此定義的速勢能白動地滿足高斯磁通定律.但同時該豉勢A也應(yīng)該

51、滿足考克廝韋力.程珥的K他二個方程式卜.疝我的逐個考察軻卜的那三個方程式。將矢量破勢的定義式2.2-D代入法拉第定律(2.1-14),健對以得到，VXE=-VXA(2.2-3)TcC雙上式精!川變換,即將方程右倒各項卷到方程的左側(cè)便寫成4齊次方皆的形式：X(E+=)=0(2.2-4)由附錄一的矢量等式(A-7)可知,對任何一個J微分的標(biāo)量函數(shù)6求梯度再求旋度，所得到的結(jié)果為岑,即:VX(V=0那么在式(2.24)左側(cè)的矢量函數(shù)式中加入個峰度矢量相當(dāng)于加入了一個相.為零的矢量,該等式依然成立:X(F+=0(2.2-5)Xnl3從下文中可以發(fā)現(xiàn)，上式所引入的標(biāo)域函數(shù).實際上就是大家所熟忝的電勢函數(shù)

52、，上式中括號里的兒個函數(shù)都是位置的一般函數(shù),欲保證它們的旋度為零.則要求這幾個函數(shù)之和本身為零。那么式(2,2-5)中的旋度作用便可以去等.從而得到法拉第定律的種變形表達(dá)式.式中磁通密度B被矢星跋勢A和一個標(biāo)量函數(shù)放所代怦.即：E十空十8。(2.2-6)rK或者tE-T$(2,27)nt當(dāng)考慮靜電場時.時間變化員為零,上式便筒化成：E=-Vji(2.2-8)這就是普通物理學(xué)中的電勢與電場里度之間的關(guān)系。按此式(2.27)所定義的標(biāo)量函數(shù)3就培標(biāo)量電勢，其單位為伏特(V),至此為止，我們發(fā)現(xiàn)矢埼磁勢A和標(biāo)量也勢族能自動地滿足高斯磁通定律和法拉第定律,卜面將A和力應(yīng)用于安培外路定律.為簡化推導(dǎo)過程

53、，假設(shè)所號電的介質(zhì)為均勻介質(zhì),這侔夾，遨導(dǎo)率和批號率都不是位置的曲數(shù).將式(221)和(2.2-7)代入安培環(huán)路定律(2.116)中去，并應(yīng)用附錄中的失量等式CA-8),便可以得到，左惻：VXH-=1-VXB-=-VXVXA=V(VA)-V2A(2.2-9)mhy叢右側(cè)iJ+6粵7e粵-力22-1。)(!LdtJL；式(2.29)中的為拉普拉斯算子(LaplacianOperator)(5+1)2-1D至此為止，我們已經(jīng)考察新定義的矢量磁勢A和標(biāo)量電勢。對高斯磁通定律，法拉第定律和安培壞路定坤妁適用性.觀察式229)和式(2.2-1。,可以發(fā)現(xiàn)，到目前為止電場變玷和磁場變城仍然交織在方程中。俏

54、得注意的是，如式(2.2-1)所述的那樣，僅僅限定一個矢量的旋度并不輪唯一電確定該矢量(這里為碳場矢屬A，為了保證矢量破勢的唯一性還應(yīng)該對它的散度加以限制。因此下面需栗引入一個限定條件來定義A的散度，從數(shù)學(xué)的角度來看,該限定條件可以任意選??；從實切,叵陽的星度來講，則應(yīng)選取合適的限定條件，從而簡化微分方程，該限定條件最好共有其物理意義，以便于理解。一個自然而簡單的限定條件為：VA=0(2.212)該跟定條件稱為庫侖條件，盡管庫侖條件2-12：，所施定的限定條件本身非腎簡單，但由此得到的時變電場減分方程行診場微分方程常常不對稱，也就是說，電場微分方程和甌場微分方程外有不同的形式，因而便式(2.2

55、-12)的應(yīng)用受到了限制。法拉第方程(2-27)中的場量函數(shù)步也是獨立的，因比在逸取磁勢限定條件時，可以枸18造一個函數(shù)，將A和標(biāo)量函數(shù)，聯(lián)系起來，勞倫茲（Lorenu）條件就是這樣的一個限定條件,勞倫茲限定條件可以表達(dá)為，VA=W?2.243）勞倫孩條件可以推導(dǎo)出形式匕完全對稱的電場前磁場告函數(shù)方程，也就足說，.將矢號磁勢A和標(biāo)培電勢被代入安培環(huán)路定律和高斯電速定律時，所得豹的電場和磁場表達(dá)式在形式上相同。因而勞倫茲條件游到L泛的應(yīng)用。由于在麥克斯韋電磁方程組中,速勢A與電流密度J行關(guān)，而也勢夕與電荷密度p有關(guān),因此勞倫茲條件實際上襲明了時變情況下電流的連續(xù)性，因此適用十時變場中電流連續(xù)的場

56、合。對于靜態(tài)場來晚，電好的時間變化也為零.勞倫茲條件波簡化為式（2.2-12）.在時變場中的無電荷區(qū)域里,電流密度的做度為害.在:這種情況下一應(yīng)使用式（2212）作為限定條件.對這一點讀者可參閱文獻(xiàn)將勞倫茲條件（2.2-13）代入安培定律的表達(dá)式（2.2-9）和（2.2-10）中,使得式（2.2-9）中的第一項與大22】。）中的第二項合并為零，因而可以得到磁場的偏微分方程VA一夕疥:一貝（2.2-14）式（2.2-14）中71有滋場變封即矢量鎏壞，而不包括電場變量，從而使場他描述方程得到就化。該安達(dá)式為磁場的一般方程，它表明破勢出電流激勵J府產(chǎn)，匕并是忖間、位窗和材料卿介質(zhì)的函依V以上我們討論

57、了麥克斯韋方程組中的疝斯磁池東律、法拉第定州和安培定律，期下的高斯電通定律亦可用以匕所定義的標(biāo)量電勢6來龍示，將式（2.2-7）和2.2-13）代入高斯電通定律表達(dá)式（2.110）中去.我們可以得釗：eVEs-VA-6=，比學(xué)一*=。（2.2-15）t*UL即土T2.216）上.式哀明電勢由電荷激勵.產(chǎn)生，并是時間、位置和材料（此介質(zhì)）的函數(shù)。方程（2.2-J4）和（2.2-16）分別為描述磁場和電場的偏微分方程、并用式（2.2-1）和勞倫斯條件（2.2-13）醐定的矢量破勢A和標(biāo)量小玲*分別表求.自推導(dǎo)過程可見,這兩個方程滿足麥克斯右方程組。視察這兩個方坪可以看出，磁場方程電場方程是對稱的，

58、即方程形式相同，從數(shù)學(xué)的角度來看,相同形式的微分方程可以用同樣的數(shù)值解法來求解這樣一來,對電場和磁場的求解便得到了進(jìn)步的徜化觀察方程2-2-14）和（2.2-16）還可以發(fā)現(xiàn)，方程右側(cè)表示電磁激勵（電流空度或也荷梆度3即我市電避場的源，而電勢和磁勢的分布與位置、時間和材料置關(guān)。用有限無法可以求解方和4）和（2.215）.從而得到電儆場的分布，亦即得到電勢和場勢在空間每一點的時間變化的分布值（偏微分方程的求解方法將在第三章和第四章中加以介紹。利用這些分布函數(shù)以及礁勢和電勢的定義，便可以洱到電場和磁場各個其它變量的分布,并由此導(dǎo)出電場和盍場的各種物理參數(shù).這些導(dǎo)出量的if和方法在有限元中通常稱為有

59、限元解后處理方法.關(guān)廣有限兀解行處理方法，我們將在第五審加以介紹.幾種典型的電偌場方程在實際用攜中，根羽不同的介質(zhì)、激勵和邊界情況，包或場的一般方程常?？梢缘玫胶喕耙圆房朴懻搸追N特殊的電磁場以及相應(yīng)的特殊形式體勢函數(shù)方程，拉普拉斯方程對于處于無源空間里的靜電場.激勵項如電漉和電荷都為零，各變量的時間變叱率也為零,那么相應(yīng)的各項都會從麥克斯韋搬方程組中消失.因而電破場方程具有一卷最簡單的形式，這種形式的方程在數(shù)學(xué)上稱為拉普拉斯方程，對應(yīng)于電場和磁場的拉普拉斯斤程可以由式2.214)和式2,2-16)分別簡化而得到：V2A=CC2.2-17)Pb()12.2-18)以上方程中的拉普拉斯算子已在式

60、(2.2-11)定義過廣。帕松方程對于靜態(tài)揚(yáng)，麥克斯韋一般方程組中的時變項均為零，對于低頻及變場，由于其變化速率很小，一般方程中的時變項也可以近似地忽略(即認(rèn)為是零),仍然由方程式(2.2-14)和(2.2-1Q可知，這種具布電流或電荷激勵項的靜態(tài)或低版信態(tài)電磁場可以用帕松方程(Poison)表示，晅5-川(2.2-19)*=7(2-2-20)這里假設(shè)屯介質(zhì)和做介質(zhì)都為均勻介質(zhì).如果介質(zhì)的物理性質(zhì)是位置的函數(shù)則也磁場方程變得更為復(fù)雜,有興趣他讀者可以參考其他詳細(xì)討論電候場理論的書籍。為完整起見.下而給出r車均勻介植中的怕也方程：V(VAr.-J(2.2-21)*力=-p(2.2-22)穩(wěn)態(tài)時變