幾何定值及極值問(wèn)題

1、-. z 幾何定值和極值 1. 幾何定值問(wèn)題 (1)定量問(wèn)題：解決定量問(wèn)題的關(guān)鍵在探求定值，一旦定值被找出，就轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何證明題了。探求定值的方法一般有運(yùn)動(dòng)法、特殊值法及計(jì)算法。 (2)定形問(wèn)題：定形問(wèn)題是指定直線、定角、定向等問(wèn)題。在直角坐標(biāo)平面上，定點(diǎn)可對(duì)應(yīng)于有序數(shù)對(duì)，定向直線可以看作斜率一定的直線，實(shí)質(zhì)上這些問(wèn)題是軌跡問(wèn)題。 2. 幾何極值問(wèn)題：最常見(jiàn)的幾何極值問(wèn)題大體包括：有關(guān)線段的最大最小問(wèn)題；三角形面積的最大最小問(wèn)題；角的最大最小問(wèn)題等?！纠}分析】例1. 的兩邊的中點(diǎn)分別為M、N，P為MN上的任一點(diǎn)，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于D、E，求證：為定值。分析：用運(yùn)動(dòng)法探求

2、定值，先考慮特殊情況，令P在MN上向M運(yùn)動(dòng)，此時(shí)D點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M時(shí)，D點(diǎn)將與A點(diǎn)重合，而AMMB，于是，于是轉(zhuǎn)入一般證明。證明：連結(jié)AP例2. 兩圓相交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P任作兩直線與交一圓于A、B，交另一圓于、，AB與交于點(diǎn)C，求證：為定值。分析：設(shè)兩圓為O、，現(xiàn)從運(yùn)動(dòng)極端分析，因?yàn)橹本€與都是以P為固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的。當(dāng)與重合時(shí)，便成了左圖的情況，而AC和分別成了兩圓的切線。且，QA、分別為直徑。容易求得這就是所求的定值。證明：如右圖，連結(jié)PQ、BQ、則有例3. 在定角*OY的角平分線上，任取一點(diǎn)P，以P為圓心，任作一圓與O*相交，靠近O點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與OY相交，遠(yuǎn)離O點(diǎn)的交點(diǎn)為B，則為

3、定角。分析：先探求定值，根據(jù)特殊化求定值，一般證明的原則，先看圖(2)，如果以角平分線上任意一點(diǎn)P為圓心，以O(shè)P為半徑作圓，此時(shí)，A點(diǎn)與O點(diǎn)重合，證明：如圖(1)，作例4. E、F分別是四邊形ABCD的AB、CD邊上的中點(diǎn)求證：分析：此題即證EF的最大值為，因此可先考慮特殊情況，以找出等號(hào)成立的條件，再證一般情況。證明：(1)當(dāng)四邊形中AD/BC時(shí)，如左圖EF是梯形ABCD的中位線 (2)當(dāng)AD不平行BC時(shí)，如右圖連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)G，再連結(jié)EG、FG在中，在中，又中，綜合(1) (2)，得【考點(diǎn)解析】例1. 如圖，AD是O的直徑，B是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE切O于點(diǎn)E，交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，

4、假設(shè)，弦EG交AD于點(diǎn)F。求證：。證明：連結(jié)AE、ED點(diǎn)評(píng)：此題用到了垂徑定理的推論，圓周角、弦切角、直徑所對(duì)的圓周角、直角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)。例2. 如圖，在中，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓與AC切于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，假設(shè)AD2，AE1，求的值和四邊形BCDE的面積。分析：求的值，需要用轉(zhuǎn)化的思想，因?yàn)椴皇侵苯侨切?，所以要轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決問(wèn)題。因?yàn)?，所以可以把?wèn)題轉(zhuǎn)化到中解決問(wèn)題。求四邊形可以用割補(bǔ)的方法，把四邊形分割成和等腰兩個(gè)三角形分別求解。解：連結(jié)BD，過(guò)D點(diǎn)作于點(diǎn)F點(diǎn)評(píng)：此題主要運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，把求轉(zhuǎn)化到了中來(lái)解決?？疾炝讼嗨迫切?、

5、弦切角、圓周角、勾股定理等知識(shí)?！灸M試題】一. 幾何定值問(wèn)題 1. 求證：正三角形一點(diǎn)到三邊距離之和為定值。 2. 在正方形ABCD的外接圓的AD上任取一點(diǎn)P，則(PCPA)：PB為定值。 3. 在正方形ABCD，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)作且，設(shè)這個(gè)角的兩邊分別交正方形的邊BC、CD于、F，自E、F分別作正方形對(duì)角線AC的垂線，垂足為P、Q。求證：過(guò)B、P、Q所作圓的圓心在BC上。 4. CD是半徑為R的O的直徑，AB是動(dòng)弦，AB與CD相交于E，且成角，求證：為定值。二. 幾何極值問(wèn)題 5. 在中，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，試證明的面積不超過(guò)的面積之和。的周長(zhǎng)6. 如圖，中，D、E分

6、別是BC、AB上的點(diǎn)，且，如果依次是m、，證明：。 7. P為平行四邊形ABCD的AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DP的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線相交于Q，問(wèn)P點(diǎn)在什么位置時(shí)，使得的值最??？ 8. 設(shè)AB是O的動(dòng)切線，與通過(guò)圓心O而互相垂直的兩直線相交于A 、B，O的半徑為r，求OAOB的最小值。【疑難解答】 A.教師自己設(shè)計(jì)問(wèn)題： 1 . 本周的模擬試題為什么沒(méi)有選擇題和填空題？ 2 . 解答題的8個(gè)題各屬于幾何定值和極值的哪種類(lèi)型？它們的解題思路是什么？ B. 對(duì)問(wèn)題的解答： 1. 本周的幾何定值和極值問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，而且一般都在解答題中出現(xiàn)，選擇題和填空題出現(xiàn)極少，因此本周的模擬試題都是解答題。 2. 答

7、：解答題的第1題、第2題和第4題是幾何定值中的定量問(wèn)題；第3題是幾何定值中的定形問(wèn)題；第5到第8題是幾何極值問(wèn)題。下面就這8個(gè)題的解題思路分別作以下的說(shuō)明。第1題：P為正任意一點(diǎn)，它到BC、CA、AB的距離分別為PE、PF、PD，求證：PDPEPF為定值。分析：點(diǎn)P可以在三角形任意運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，顯然就是正三角形的高，因此，PDPEPF必取定值，這個(gè)定值，就是的高h(yuǎn)。證明：連結(jié)PA、PB、PC顯然有：第2題：分析：用運(yùn)動(dòng)法令P與D重合，則(PCPA)： PB變?yōu)?DA DC)：DB，顯然其定值為。由于圖中直角比擬多，所以可做垂線構(gòu)造相似形證明。證明：由A引第3題：此題屬

8、于定形問(wèn)題，要證B、P、Q三點(diǎn)所確定的圓的圓心在BC上，假設(shè)命題正確，則B點(diǎn)就是半徑的端點(diǎn)，且，AB就是圓的切線， APQ是割線，則必有，證明即可。證明：如圖，得AB是過(guò)B、P、Q三點(diǎn)所作圓的切線，BC過(guò)切點(diǎn)B垂直于AB，它必通過(guò)圓心，也就是過(guò)B、P、Q所作圓的圓心在BC邊上。第4題：這是定值問(wèn)題，既然AB是O的動(dòng)弦，而且與O的定直徑CD保持夾角為，則可把這些動(dòng)弦視為一組平行移動(dòng)的弦，顯然，做一條過(guò)圓心且平行于AB的弦，則E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，這時(shí)，于是探求到定值為，這里的是特殊位置，一般情況就比擬好證了。第5題：分析：因?yàn)镈ADB，所以就可以拼合成一個(gè)四邊形，然后再去與比擬面積的大小。證明：(1)

9、如圖(1)，以D為對(duì)稱中心，把旋轉(zhuǎn)，易知四邊形是凸四邊形，連結(jié)，而且 (2)當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到與A重合時(shí)，如圖(2) (3)當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到與B重合時(shí)，如圖(3)綜合(1)、(2)、(3) 總能成立。第6題：分析：初看此題不好下手，但仔細(xì)想來(lái)有兩條路可走，一是把分別用同一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的代數(shù)式表示，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求極值；另一是將的和，分別求其代數(shù)式再求極值。證明：設(shè)BCa，ACb，ABc，則mabc第7題：分析：P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)隨P的運(yùn)動(dòng)而動(dòng)，題中涉及兩個(gè)未知量的和。BQ隨AP的變化而變化，所以可用AP的代數(shù)式來(lái)表示。這樣，我們?cè)O(shè)所求兩線段之和為線段AP的函數(shù)，即可用代數(shù)法求解。解：設(shè)AP*，

10、ABm，ADn，APBQy，易證把(1)式變形為即y的最小值是，用代入(2)式解得，當(dāng)AP的長(zhǎng)為平行四邊形ABCD的比例中項(xiàng)式，APBQ的值最小。第8題：分析：設(shè)OA*，OBy觀察圖形可看出中，斜邊AB上的高OPr為定值，則AB越小，其面積越小，當(dāng)OAOB時(shí)，面積最小，此時(shí)，也最小，的最小值為。動(dòng)態(tài)幾何中的定值問(wèn)題開(kāi)場(chǎng)白：同學(xué)們，動(dòng)態(tài)幾何類(lèi)問(wèn)題是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，題目靈活、多變，能夠全面考察同學(xué)們的綜合分析和解決問(wèn)題的能力。這類(lèi)問(wèn)題中就有一類(lèi)是定值問(wèn)題，下面我們來(lái)看幾道題：【問(wèn)題1】一等腰直角三角形的兩直角邊AB=AC=1，P是斜邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PEAB于E，PFAC于F，則PE+

11、PF=。方法1：特殊值法：把P點(diǎn)放在特殊的B點(diǎn)或C點(diǎn)或BC中點(diǎn)。此種方法只適合小題。方法2：等量轉(zhuǎn)化法：這是絕大局部同學(xué)能夠想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3：等面積法：連接AP，總結(jié)語(yǔ)：這雖然是一道動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，難嗎？不難，在解決過(guò)程中方法2抓住了邊長(zhǎng)AB 的不變性和PE,PF與BE,AE的不變關(guān)系；方法3抓住了面積的不變性，使得問(wèn)題迎刃而解。設(shè)計(jì)：大局部學(xué)生都能想到方法2，假設(shè)其他兩種方法學(xué)生沒(méi)有想到，也不要深究，更不要自己講掉。此題可叫差生或中等偏下的學(xué)生答復(fù)賽比艷，艾科設(shè)計(jì)意圖：由簡(jiǎn)到難，讓程度最差的同學(xué)也有在課堂上展示自我的時(shí)機(jī)。過(guò)渡：這道題太簡(jiǎn)單

12、了，因?yàn)榈妊苯侨切翁厥饬耍壹僭O(shè)把等腰直角三角形換成一般的等腰三角形，問(wèn)題有沒(méi)有變化，又該如何解決？請(qǐng)看：【變式1】假設(shè)把問(wèn)題1中的等腰直角三角形改為等腰三角形，且兩腰AB=AC=5，底邊BC=6，過(guò)P作PEAB于E，PFAC于F，則PE+PF還是定值嗎？假設(shè)是，是多少？假設(shè)不是，為什么方法1：三角形相似進(jìn)展量的轉(zhuǎn)化板書(shū)M為BC中點(diǎn)解題要點(diǎn)：等腰三角形中，底邊上的中線是常作的輔助線，抓住這條線的長(zhǎng)度是不變量這個(gè)特點(diǎn)，建立PE,PF與AM之間的聯(lián)系，化動(dòng)為靜方法2：等面積法：M為BC中點(diǎn) 板書(shū)解題要點(diǎn)：抓住三角形面積是個(gè)不變量，用等面積法求解，這是在三角形中求解與垂線段有關(guān)的量的常用方法。

13、(假設(shè)學(xué)生想不到，可提示：在此題中，不變的東西是什么？不變的這個(gè)量和變量PE,PF之間有什么聯(lián)系，能不能用一個(gè)等式來(lái)表示？學(xué)生會(huì)三角形的邊長(zhǎng)，角度，周長(zhǎng)，面積等都是不變量。設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，引出求垂線段長(zhǎng)度的常用方法：等面積法教師行為：出示題之后，讓學(xué)生做，教師下去看。叫用方法1的同學(xué)先站起來(lái)答復(fù)，然后再叫用方法2的同學(xué)。以到達(dá)過(guò)渡到下一題的目的。問(wèn)：我把題中的5改為a，6改為b，PE+PF還是定值嗎？你能求出這個(gè)定值嗎？答：是定值，求解方法不變。問(wèn)：由這題，你能得出等腰三角形的一個(gè)一般性結(jié)論嗎？結(jié)論：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為定值PE+PF=(a為腰長(zhǎng),b為底邊長(zhǎng),h為

14、的邊上的高)等面積法可以求解，注意當(dāng)頂角為鈍角的情況問(wèn)題：通過(guò)前面幾題，你能說(shuō)說(shuō)在解答動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)解題的關(guān)鍵是什么？應(yīng)該注意什么問(wèn)題？答：不要被動(dòng)、變迷惑，通過(guò)觀察，分析，動(dòng)中窺靜，變化之中求不變，從而明確圖形之間的在聯(lián)系，找到不變量或不變關(guān)系，找到解題的途徑。在解題過(guò)程中要注意點(diǎn)或線在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否需要討論。過(guò)渡：上面兩題中的動(dòng)點(diǎn)都是在一定線段或直線上運(yùn)動(dòng)，有些同學(xué)可能還是覺(jué)得不夠刺激，下面再來(lái)一道刺激一點(diǎn)的，讓點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)看：【變式2】P為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC任意一動(dòng)點(diǎn)， P到三邊的距離分別為h1,h2,h3,則P到三邊的距離之和是否為定值？為什么？由上題的啟示，學(xué)生可

15、能很容易想到等面積法 為定值 M為BC中點(diǎn) 板書(shū)可以用幾何畫(huà)板度量長(zhǎng)度，進(jìn)展演示過(guò)渡：研究完了P在三角形部運(yùn)動(dòng)的情況，我們不防降低對(duì)P點(diǎn)的約束，讓這個(gè)好動(dòng)的點(diǎn)P動(dòng)到三角形外部去，情況又會(huì)有何變化？【變式3】P為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC外任意一點(diǎn)，P到三邊的距離分別為h1,h2,h3,則P到三邊的距離之間有何關(guān)系？為什么？圖1 圖2 圖3 在幾何畫(huà)板中操作，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P移出三角形時(shí)，h1h2h3發(fā)生改變，則h1,h2,h3有沒(méi)有什么一定的關(guān)系呢？等面積法還可以用嗎？PAB，PBC，PAC的面積有何關(guān)系？這三個(gè)三角形的面積和不變的三角形ABC的面積有何關(guān)系？直需講解一種情況，其它讓學(xué)生自己去補(bǔ)充圖

16、1：為定值 板書(shū)圖2：為定值 只把結(jié)論板書(shū)圖3：為定值 只把結(jié)論板書(shū)圖1 圖2 圖3圖1：為定值 板書(shū)圖2：為定值 只把結(jié)論板書(shū)圖3：為定值 只把結(jié)論板書(shū)分類(lèi)討論幾個(gè)三角形之間的面積關(guān)系。過(guò)渡：前面我們研究的都是以三角形為背景的動(dòng)態(tài)幾何定值問(wèn)題，下面再看一道以圓為背景的定值問(wèn)題。【問(wèn)題2】：弧AB為120度，在以AB為弦的弓形劣弧上取一點(diǎn)M(不包括A、B兩點(diǎn))，以M為圓心作圓M和AB相切，分別過(guò)A，B作M的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.求證：ACB有定值，并求出這個(gè)定值.分析：?jiǎn)枺哼@個(gè)圖形中不變的是什么？不變的角是那一個(gè)？答： 此題中的不變量是弧AB，因此AMB也是不變量；不變關(guān)系是相切。問(wèn)：直線

17、和圓已經(jīng)相切，我們會(huì)想到什么？答：連接圓心與切線方法1：?jiǎn)枺阂CACB有定值，可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值？答：要證ACB有定值，只需證CAB+CBA是定值，只需證MAB+MBA是定值，只要AMB是定值即可。證明：在ABC中，MAB+MBA=180AMB，M是ABC的心，CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180CAB+CBA=1802(180AMB)= 2AMB18060.ACB有定值60.方法2：?jiǎn)枺阂CACB有定值，可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值？答：要證ACB有定值，只需證EMF是定值，只需證EMD+FMD是定值，只要AMD+BMD即AMB是定值即可。證明：在四邊形CEMF中，C+EMF=1

18、80，M是ABC的心，DMA=EMA, FMB=DMBEMD+FMD=2AMB =240EMF=120C =180-EMF=60總結(jié)：假設(shè)要證的不變量比擬困難，你可以先找找題中比擬容易看出的不變量，然后建立兩者之間的聯(lián)系。多角度，多方位地研究動(dòng)態(tài)幾何中的定值問(wèn)題，此題以圓為背景，研究角的定值問(wèn)題。過(guò)渡：上題是道有關(guān)定值的證明題，也就是已經(jīng)明確方向肯定是定值了，假設(shè)不是證明題呢？【問(wèn)題3】：O是如圖同心圓的圓心,AB是大圓的直徑點(diǎn)P是小圓上的一動(dòng)點(diǎn),大小圓半徑分別為R與r問(wèn):PA2PB2是否有定值,假設(shè)有,求出定值;假設(shè)沒(méi)有,說(shuō)明理由.分析：這道題是探索定值的問(wèn)題，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。點(diǎn)P放在直徑AB上.得PA2PB2Rr2. Rr22R2r2.點(diǎn)P放在與直徑AB垂直的另一條直徑上也可得PA2PB2 R2r2R2r22R2r2.說(shuō)明PA2PB2非常有可能是定值，而且這個(gè)值為2R2r2證明：直角三角形計(jì)算法PA2PB2HA2PH2+PH2HB22PH2(OH+R)2+(R-OH)22PH22OH2+2R2=2(PH2OH2) +2R2=2r22R2解答動(dòng)態(tài)幾何定值探索問(wèn)題的方