信度理論課件

1、第七章信度理論因此，信度理論就是研究這種加權(quán)過程的理論，包括信度權(quán)重公式的推導(dǎo)，以及對公式中出現(xiàn)的參數(shù)進行估計等內(nèi)容。當Z的值接近1時，表明實際損失數(shù)據(jù)提供的信息相當充分，據(jù)此足以獲得正確的估費。而當Z的值接近0時，則只能基于先驗信息估計，得到先驗保費的估計值。特別的，當Z=1時，稱為完全信度（Full Credibility）。此時，只需根據(jù)實際損失數(shù)據(jù)，利用區(qū)間估計的方法計算保險費。一般的，當0Z1時，稱為部分信度（Partial Credibility）。在此種情況下，就需要研究如何合理確定Z值。信度理論（Credibility Theory）萌芽于20世紀20年代，至今已有80年的歷史

2、。最早的信度理論被意外險精算師應(yīng)用于計算勞工賠償保險費率。信度理論泛指在獲得索賠記錄時系統(tǒng)地調(diào)整保險費率的各種概念和方法。當從一組保險合同中獲得的數(shù)據(jù)不充分，因而無法提供風險費率的可靠估計時，就需要用到信度理論的方法。信度理論在非壽險精算理論與實務(wù)中具有重要地位。非壽險合同是補償性合同，非壽險的損失與每個賠案的具體情況以及相應(yīng)的法規(guī)情況密切相關(guān)，因而損失經(jīng)驗需要經(jīng)常修正以適應(yīng)不斷變化的外部環(huán)境。非壽險精算師在厘定費率時，既要依據(jù)過去的經(jīng)驗（先驗信息），也要根據(jù)風險情況的新變化加以調(diào)整。這是由非壽險經(jīng)營的連續(xù)性所決定的。同時，在非壽險精算中，一般不要求所有的估計都是無偏估計，只要求若干個估計的總

3、合是無偏的，這就是需要采用信度方法對各個估計進行合理的加權(quán)。信度理論在精算科學中的應(yīng)用可分為兩種類型第一類是橫向應(yīng)用，即在估計某個保險人、某風險類別或某個地區(qū)的索賠頻率、索賠額或總損失時，若最相關(guān)的數(shù)據(jù)不充分，則可將該數(shù)據(jù)與從更為廣泛的群體中得到的輔助性數(shù)據(jù)加以求和，這種輔助性數(shù)據(jù)可由其它風險類別、地區(qū)或其他保險人的經(jīng)驗得到。第二類是縱向應(yīng)用，也就是將信度方法用于時間序列，將序列本身早期的數(shù)據(jù)作為輔助性數(shù)據(jù)，與最新的觀察值作加權(quán)平均，得到我們所需要的估計值。例如，在汽車損失險中，保險公司將上一年度損失頻率和原有費率利用信度方法進行加權(quán)平均，得到更適應(yīng)新情況的費率。信度理論有兩種基本方法： 有限

4、波動（Limited Fluctuation）信度，旨在控制數(shù)據(jù)中隨機波動對估計的影響。最大精度（Greatest Accuracy）信度，試圖使估計誤差盡可能的小。在最大精度信度方法中發(fā)展最完善的方法是最小平方信度（Least Squares Credibility），它力圖使估計誤差平方的期望值最小。值得注意的是，在現(xiàn)代統(tǒng)計理論中也有許多用數(shù)據(jù)來調(diào)整更新前期估計的方法，如貝葉斯分析（Bayesian Analysis）方法。信度理論和貝葉斯分析一樣，也同樣用于修正先驗信息，因此，信度尤其是最小平方信度有時也稱為貝葉斯信度。7.2 平衡 模型 組間平方和（記為SSB ）問題：方法：方差分析（

5、ANOVA）組內(nèi)平方和（記為SSW ）檢驗統(tǒng)計量 例7.2.1 （一個非齊次保單組合）設(shè)我們有如下的對3 個組5 年的觀測數(shù)據(jù)：結(jié)論是這些數(shù)據(jù)表明每組的平均理賠不全相等模型改進：把理賠統(tǒng)計量作如下分解其 中 和，是兩個獨立的隨機變量，滿足我們稱這樣的模型為方差分量模型 模型中每個分量的解釋如下： 1 是總平均，它等于該保單組合中任何一個保單持有人的理賠額的期望值2. 表示第 j 個合同 j 的理賠與第 個合同理賠均值之間的隨機偏差 .3. 分量 ,表示理賠偏離長期平均值的大小 定理7 . 2 . 2 （平衡 模型；齊次估計量）設(shè)合同J 在時間段t 的理賠額 可以表示為如下的獨立隨機分量之和：

6、的最佳無偏預(yù)報量等于信度保費其中是最優(yōu)信度因子 是 m 的整體估計，且是 m 的組內(nèi)估計值。這個關(guān)于z的二次多項式當在z取如下值時達最?。荷厦孀詈笠粋€等號可以通過檢驗或補充如下一些必要的協(xié)方差的形式來證明 注7.2.3（最優(yōu)信度因子的漸近性） 其中 這個均方誤差可以改寫成如下方差加上平方偏差之和：估計量必然是無偏的 右邊的第一項可以被改寫為它有一個最優(yōu)值例7 . 2 . 5 （例7.2.1中的信度估計） EMSB=aT+s2EMSW=s2例7.2.1最終的信度因子 注7 . 2 . 6 （估計風險保費） 對每一個隨機變量Y ，我們有7 . 3 更一般的信度模型注7.3.3 （通過一些風險參數(shù)來

7、參數(shù)化）方差分量模型,即使在放松了一些獨立性假設(shè)后在實際應(yīng)用中有時仍顯過于苛刻 這是一個交叉分類模型 7 . 4 模型( 模型）我們需要用到下面一些記號: 這些最優(yōu)值給出了風險保費 的最小均方誤差估計量如下 該最優(yōu)值是 和 的估計量分別基于下面的組間加權(quán)平方和 以及組內(nèi)加權(quán)平方和下面的定理要推導(dǎo)出一些無偏估計量，它們不依賴于通常未知的這些參數(shù) 定理7.4.2 （無偏參數(shù)估計）在 模型中,統(tǒng)計量是對應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的無偏估計量證明: 的證明是顯然的 對于 我們有注7.4.3（估計量的負性） 7.5 關(guān)于汽車保險理賠次數(shù)的負二項模型可以證明,在伽瑪 - 泊松模型中，和的極大似然估計 和為且 是如下方程的解：利用本節(jié)的模型，我們想盡可能準確地預(yù)測一個保單持有人在接下來的時間段 產(chǎn)生的理賠次數(shù) 接下來一年理賠次數(shù)的最佳預(yù)報量是 的后驗期望：預(yù)報（7.56