高中數(shù)學選修第一冊：選擇性必修第一冊第一章 1.4.1 第2課時 空間中直線、平面的平行

1、第2課時空間中直線、平面的平行學習目標熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系知識點一線線平行的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1l2u1u2R，使得u1u2.知識點二線面平行的向量表示設(shè)u是直線 l 的方向向量，n是平面的法向量，l，則lunun0.知識點三面面平行的向量表示設(shè)n1 ，n2 分別是平面，的法向量，則n1n2R，使得n1n2 .思考怎么利用向量證明或判定直線和平面的位置關(guān)系？答案證明或判定直線和平面的位置關(guān)系有兩類思路(1)轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，然后利用兩個向量的關(guān)系進行判定；(2)利用直線的方向向量和平面的法向量進行判定1已知直線l的方向向

2、量為a(1,2,0)，平面的法向量為n(2,1，1)，則()Al BlCl Dl或l答案D2若平面，且平面的一個法向量為neq blc(rc)(avs4alco1(2，1，f(1,2)，則平面的法向量可以是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，f(1,4) B(2，1,0)C(1,2,0) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，2)答案A3若兩個不同平面，的法向量分別為u(1,2，1)，v(4，8,4)，則平面，的位置是_答案解析ueq f(1,4)v，.一、證明線線平行例1在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，點

3、M在棱BB1上，且BM2MB1，點S在DD1上，且SD12SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點求證：MNRS.證明方法一如圖所示，建立空間直角坐標系，根據(jù)題意得Meq blc(rc)(avs4alco1(3，0，f(4,3)，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq blc(rc)(avs4alco1(0，4，f(2,3).則eq o(MN,sup6()，eq o(RS,sup6()分別為MN，RS的方向向量，所以eq o(MN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(3，2，f(2,3)，eq o(RS,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(3，2，f(2

4、,3)，所以eq o(MN,sup6()eq o(RS,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq o(RS,sup6()，因為MRS，所以MNRS.方法二設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，eq o(AA1,sup6()c，則eq o(MN,sup6()eq o(MB1,sup6()eq o(B1A1,sup6()eq o(A1N,sup6()eq f(1,3)caeq f(1,2)b，eq o(RS,sup6()eq o(RC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DS,sup6()eq f(1,2)baeq f(1,3)c.所以eq o(

5、MN,sup6()eq o(RS,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq o(RS,sup6().又RMN，所以MNRS.反思感悟利用向量證明線線平行的思路證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可跟蹤訓練1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點求證：四邊形AEC1F是平行四邊形證明以點D為坐標原點，分別以eq o(DA,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(DD1,sup6()為正交基底建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(1,2)，C1(

6、0,1,1)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，eq o(FC1,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，eq o(EC1,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq o(FC1,sup6()，eq o(EC1,sup6()eq o(AF,sup6()，eq o(AE,sup6()

7、eq o(FC1,sup6()，eq o(EC1,sup6()eq o(AF,sup6()，又FAE，F(xiàn)EC1，AEFC1，EC1AF，四邊形AEC1F是平行四邊形二、證明線面平行例2在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中點證明：PA平面EDB.證明如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設(shè)PDDCa.連接AC，交BD于點G，連接EG，依題意得D(0,0,0)，A(a，0,0)，P(0,0，a)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2).方法一設(shè)平面BDE的法向量為n(x，y，z)，又eq o(DE

8、,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，eq o(EB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，f(a,2)，則有eq blcrc (avs4alco1(no(DE,sup6()0，,no(EB,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(f(a,2)yz0，,ablc(rc)(avs4alco1(xf(y,2)f(z,2)0，)即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,2xyz0.)令z1，則eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)所以n(1，1,1)，又eq o(PA,

9、sup6()(a，0，a)，所以neq o(PA,sup6()(1，1,1)(a，0，a)aa0.所以neq o(PA,sup6().又PA平面EDB，所以PA平面EDB.方法二因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點G的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，0)，所以eq o(EG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0，f(a,2).又eq o(PA,sup6()(a，0，a)，所以eq o(PA,sup6()2eq o(EG,sup6()，這表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面

10、EDB.方法三假設(shè)存在實數(shù)，使得eq o(PA,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(EB,sup6()，即(a，0，a)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，f(a,2)，則有eq blcrc (avs4alco1(aa，,0f(a,2)f(a,2)f(a,2)，,af(a,2)f(a,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(1，,1.)所以eq o(PA,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(EB,sup6()，又PA平面EDB，所以PA平面EDB.反思感悟證明

11、線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)跟蹤訓練2在如圖所示的多面體中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中點，求證：AB平面DEG. 證明EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA兩兩垂直以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系由已知得，A(0,0,2)，B(2,0

12、,0)，C(2,4,0)，F(xiàn)(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，eq o(ED,sup6()(0,2,2)，eq o(EG,sup6()(2,2,0)，eq o(AB,sup6()(2,0，2)設(shè)平面DEG的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(o(ED,sup6()n0，,o(EG,sup6()n0，)即eq blcrc (avs4alco1(2y2z0，,2x2y0，)令y1，得z1，x1，則n(1,1，1)，eq o(AB,sup6()n2020，即eq o(AB,sup6()n.AB平面DEG，AB平面DEG.三、證明面面平行例3已知正方體

13、ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：平面ADE平面B1C1F.證明建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以eq o(FC1,sup6()(0,2,1)，eq o(DA,sup6()(2,0,0)，eq o(AE,sup6()(0,2,1)，eq o(C1B1,sup6()(2,0,0)，設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1eq o(DA,sup6()，n1eq o(AE,sup6()，即eq blcrc

14、(avs4alco1(n1o(DA,sup6()2x10，,n1o(AE,sup6()2y1z10，)得eq blcrc (avs4alco1(x10，,z12y1.)令z12，則y11，所以可取n1(0，1,2)同理，設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量由n2eq o(FC1,sup6()，n2eq o(C1B1,sup6()，得eq blcrc (avs4alco1(n2o(FC1,sup6()2y2z20，,n2o(C1B1,sup6()2x20，)解得eq blcrc (avs4alco1(x20，,z22y2.)令z22，得y21，所以n2(0，1,2)因為n1n2

15、，即n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.反思感悟證明面面平行問題的方法(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明跟蹤訓練3在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，F(xiàn)是棱AB的中點試用向量的方法證明：平面AA1D1D平面FCC1. 證明因為AB4，BCCD2，F(xiàn)是棱AB的中點，所以BFBCCF，所以BCF為正三角形因為ABCD為等腰梯形，AB4，BCCD2，所以BADABC60.取AF的中點M，連接DM，則DMAB，所以DMCD.以D為原點，DM為x軸，DC為y

16、軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(eq r(3)，1,0)，F(xiàn)(eq r(3)，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，所以eq o(DD1,sup6()(0,0,2)，eq o(DA,sup6()(eq r(3)，1,0)，eq o(CF,sup6()(eq r(3)，1,0)，eq o(CC1,sup6()(0,0,2)，所以eq o(DD1,sup6()eq o(CC1,sup6()，eq o(DA,sup6()eq o(CF,sup6()，所以DD1CC1，DACF，又DD1DAD，CC1CFC，DD1，DA平面AA1D1D

17、，CC1，CF平面FCC1，所以平面AA1D1D平面FCC1.面面平行之探究 典例如圖所示，在正方體AC1中，O為底面ABCD中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ平面PAO.解如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，在CC1上任取一點Q，連接BQ，D1Q.設(shè)正方體的棱長為1，則Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(1,2)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，則Q(0,1，z)，則eq o(OP,s

18、up6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,2)，eq o(BD1,sup6()(1，1,1)，eq o(BD1,sup6()2eq o(OP,sup6()，eq o(OP,sup6()eq o(BD1,sup6()，OPBD1.eq o(AP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，eq o(BQ,sup6()(1,0，z)，當zeq f(1,2)時，eq o(AP,sup6()eq o(BQ,sup6()，即APBQ，又APOPP，BQBD1B，AP，OP平面PAO，BQ，BD1平面D1BQ，則有平面PAO平面

19、D1BQ，當Q為CC1的中點時，平面D1BQ平面PAO.素養(yǎng)提升(1)求點的坐標：可設(shè)出對應(yīng)點的坐標，根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線，進而建立與所求點的坐標有關(guān)的等式(2)由結(jié)論推應(yīng)具備的條件的逆向推理是邏輯推理中的一種基本形式，通過應(yīng)用推理的方式與方法，能較好的培養(yǎng)學生的合乎邏輯的思維品質(zhì) 1已知向量 a(2,4,5)，b(3，x，y) 分別是直線 l1，l2 的方向向量，若 l1l2 ，則()Ax6，y15 Bx3，yeq f(15,2)Cx3，y15 Dx6，yeq f(15,2) 答案D解析由題意得，eq f(3,2)eq f(x,4)eq f(y

20、,5)，x6，yeq f(15,2) .2如果直線l的方向向量是a(2,0,1)，且直線l上有一點P不在平面上，平面的法向量是b(2,0,4)，那么()Al BlCl Dl與斜交答案B解析直線l的方向向量是a(2,0,1)，平面的法向量是b(2,0,4)，ab4040，直線l在平面內(nèi)或者與平面平行，又直線l上有一點P不在平面上，l.3若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)答案D解析若l，則an0.而A中an2，B中an156，C中an

21、1，只有D選項中an330.4設(shè)平面，的一個法向量分別為u(1,2，2)，v(3，6,6)，則，的位置關(guān)系為_答案平行解析v3(1,2，2)3u，.5已知直線l平面ABC，且l的一個方向向量為a(2，m，1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)則實數(shù)m的值是_答案3解析l平面ABC，存在實數(shù)x，y，使axeq o(AB,sup6()yeq o(AC,sup6()，eq o(AB,sup6()(1,0，1)，eq o(AC,sup6()(0,1，1)，(2，m，1)x(1,0，1)y(0,1，1)(x，y，xy)，eq blcrc (avs4alco1(2x，,my，,1xy，

22、)m3.1知識清單：(1)線線平行的向量表示(2)線面平行的向量表示(3)面面平行的向量表示2方法歸納：坐標法、轉(zhuǎn)化化歸3常見誤區(qū)：通過向量和平面平行直接得到線面平行，忽略條件直線不在平面內(nèi)1與向量a(1，3,2)平行的一個向量的坐標是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1，1) B(1，3,2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，1) D(eq r(2)，3，2eq r(2)答案C解析a(1，3,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，1).2若平面，的一個法向量分別為meq blc(rc)

23、(avs4alco1(f(1,6)，f(1,3)，1)，neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，3)，則()A BC與相交但不垂直 D或與重合答案D解析因為n3m，所以mn，所以或與重合3已知直線l的方向向量是a(3,2,1)，平面的法向量是u(1,2，1)，則l與的位置關(guān)系是()Al BlCl與相交但不垂直 Dl或l答案D解析因為au3410，所以au.所以l或l.4(多選)若直線l的一個方向向量為d(6,2,3)，平面的一個法向量為n(1,3,0)，則直線l與平面的位置關(guān)系是()A垂直 B平行C直線l在平面內(nèi) D不能確定答案BC解析dn62300，dn，直線l與平面的

24、位置關(guān)系是直線l在平面內(nèi)或平行5已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，則的值是()Aeq f(10,3) B6 C6 D.eq f(10,3)答案B解析，的法向量與的法向量也互相平行eq f(2,4)eq f(3,)eq f(1,2)，6.6已知平面內(nèi)的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一個法向量為n(1，1，1)，且與不重合，則與的位置關(guān)系是_答案解析eq o(AB,sup6()(0,1，1)，eq o(AC,sup6()(1,0，1)，neq o(AB,sup6()(1，1，1)(0,1，1)10(1)1(1)(1)0，neq o(A

25、C,sup6()(1，1，1)(1,0，1)110(1)(1)0，neq o(AB,sup6()，neq o(AC,sup6().n也為的一個法向量，又 與不重合，.7若aeq blc(rc)(avs4alco1(x，2y1，f(1,4)是平面的一個法向量，且b(1,2,1)，ceq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2)，2)均與平面平行，則向量a_.答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,52)，f(1,26)，f(1,4)解析由題意，知eq blcrc (avs4alco1(ab0，,ac0，)即eq blcrc (avs4alco1(x4yf(9,4)0，,

26、3xy0，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(9,52)，,yf(27,52)，)所以aeq blc(rc)(avs4alco1(f(9,52)，f(1,26)，f(1,4).8已知，為兩個不重合的平面，設(shè)平面與向量a(1,2，4)垂直，平面與向量b(2,4，8)垂直，則平面與的位置關(guān)系是_答案平行解析由題意得a，b分別為，的一個法向量，又ab，.9如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ABBC，E，F(xiàn)分別為A1C1和BC的中點求證：C1F平面ABE.證明如圖，以B為坐標原點，分別以BC，BA，BB1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)BCa，

27、ABb，BB1c，則B(0,0,0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(b,2)，c).所以eq o(AB,sup6()(0，b，0)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(b,2)，c).設(shè)平面ABE的一個法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(AE,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(by0，,f(a,2)xf(b,2)y

28、cz0，)令x2，則y0，zeq f(a,c)，即neq blc(rc)(avs4alco1(2，0，f(a,c).又eq o(C1F,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0，c)，所以 neq o(C1F,sup6()0，又C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.10已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是A1C1，A1D和B1A上任意一點求證：平面A1EF平面B1MC.證明如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，則eq o(A1

29、C1,sup6() (1,1,0), eq o(B1C,sup6() (1,0，1), eq o(DA1,sup6()(1,0,1), eq o(B1A,sup6()(0，1，1)，設(shè)eq o(A1E,sup6()eq o(A1C1,sup6()，eq o(A1F,sup6()eq o(A1D,sup6(),eq o(B1M,sup6()veq o(B1A,sup6()(，vR，且均不為0)設(shè)n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分別是平面A1EF與平面B1MC的法向量，可得 eq blcrc (avs4alco1(n1o(A1E,sup6()0，,n1o(A1F,sup6()0，

30、)可得eq blcrc (avs4alco1(n1o(A1C1,sup6()0，,n1o(DA1,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1y10，,x1z10，) 所以可取n1(1,1, 1)由eq blcrc (avs4alco1(n2o(B1M,sup6()0，,n2o(B1C,sup6()0，)可得eq blcrc (avs4alco1(n2o(B1A,sup6()0，,n2o(B1C,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(y2z20，,x2z20，) 可取n2(1,1，1)，所以n1n2，所以n1n2，所以平面A1EF平面B1MC.11.如

31、圖，在正方體AC1中，PQ與直線A1D和AC都垂直，則直線PQ與BD1的關(guān)系是()A異面直線B平行直線C垂直不相交D垂直且相交答案B解析設(shè)正方體的棱長為1，取D點為坐標原點建系后，eq o(DA1,sup6()(1,0,1), eq o(AC,sup6()(1,1,0)，設(shè)eq o(PQ,sup6()(a，b，c)，則eq blcrc (avs4alco1(ac0，,ab0，)取eq o(PQ,sup6()(1,1，1)，eq o(BD1,sup6()(0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)eq o(PQ,sup6() ，eq o(PQ,sup6()eq o(BD1,sup6() ，PQBD

32、1.12.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，ABeq r(2)，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.則M點的坐標為()A(1,1,1) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3)，f(r(2),3)，1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)，f(r(2),4)，1)答案C解析方法一以C為原點，建立空間直角坐標系如圖所示則C(0,0,0)，D(eq r(2)，0,0)，B(0，eq r(2)，0)，E(0,0,1)，A(eq r(2)，

33、eq r(2)，0)，eq o(DE,sup6()(eq r(2)，0,1)，eq o(BD,sup6()(eq r(2)，eq r(2)，0)，設(shè)M(a，a，1)，平面BDE的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(no(DE,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(r(2)xz0，,r(2)xr(2)y0，)令zeq r(2)，則x1，y1，所以n(1,1，eq r(2)，又eq o(AM,sup6()(aeq r(2)，aeq r(2)，1)，eq o(AM,sup6()naeq r(2)aeq r(2)eq r(2)0，aeq f(r(2),2)，即Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1).方法二設(shè)AC與BD相交于O點，連接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，所以AMEO，又O是正方形ABCD對角線交點，所以M為線段EF的中點在空間直角坐標系中，E(0,0,1)，F(xiàn)(eq r(2)，eq r(2)，1)由中點坐標公式，知點M的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1).13(多選)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱A