空間問(wèn)題基本理論

1、關(guān)于空間問(wèn)題的基本理論第一張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第七章 空間問(wèn)題的基本理論 在空間問(wèn)題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個(gè)，且均為x,y,z的函數(shù)。 空間問(wèn)題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問(wèn)題相似的。因此，許多問(wèn)題可以從平面問(wèn)題推廣得到。第二張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月取出微小的平行六面體， 考慮其平衡條件:(a) (b)平衡條件7-1 平微分方程第三張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 由x 軸向投影的平衡微分方程 , 平衡微分方程得因 x , y , z軸互相垂直

2、，均為定向，量綱均為L(zhǎng)，所以x , y , z 坐標(biāo)具有對(duì)等性，其方程也必然具有對(duì)等性。所以式(a)的其余兩式可通過(guò)式(c)的坐標(biāo)輪換得到。第五張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由三個(gè)力矩方程得到三個(gè)切應(yīng)力互等定理，。(x, y , z) (d) 空間問(wèn)題的平衡微分方程精確到三階微量平衡微分方程第六張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題 在圖中，若點(diǎn)o的x向正應(yīng)力分量為 ，試表示點(diǎn)A , B的正應(yīng)力分量。第七張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 在空間問(wèn)題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量 ，來(lái)求出斜面(法線 ）上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力7-2 物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力第八張，P

3、PT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月斜面全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量:p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力第九張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds, 則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。 由四面體的平衡條件 ，得出坐標(biāo)向的應(yīng)力分量,1. 求第十張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十一張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2. 求將向法向 投影，即得第十二張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 從式(b)、(c )可見(jiàn),當(dāng)六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量確定之后，任一斜面上的應(yīng)力也就完全確定了。第十三張，PPT

4、共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)在 邊界上，給定了面力分量 則可將微分四面體移動(dòng)到邊界點(diǎn)上，并使斜面與邊界重合。這時(shí)，斜面應(yīng)力分量 應(yīng)代之為面力分量 ，從而得出空間問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件:3. 在 上的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件第十四張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 式(b), (c) 用于V內(nèi)任一點(diǎn)，表示斜面應(yīng)力與坐標(biāo)面應(yīng)力之間的關(guān)系； 注意: 式(d)只用于 邊界點(diǎn)上，表示邊界面上的面力與坐標(biāo)面的應(yīng)力之間的關(guān)系，所以必須將邊界面方程代入式(d)。第十五張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.假設(shè) 面(l , m , n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標(biāo)向的應(yīng)力分量為 代入 ,

5、得到斜面應(yīng)力7-3 主應(yīng)力 最大與最小的應(yīng)力第十六張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月考慮方向余弦關(guān)系式,有式(a) , (b)是求主應(yīng)力及其方向余弦的方程。(b)第十七張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2. 求主應(yīng)力 將式(a)改寫(xiě)為求主應(yīng)力第十八張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 上式是求解l , m , n的齊次代數(shù)方程。由于l , m , n不全為0，所以其系數(shù)行列式必須為零，得展開(kāi)，即得求主應(yīng)力的方程,求主應(yīng)力第十九張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月( c )求主應(yīng)力第二十張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.應(yīng)力主向 設(shè)主應(yīng)力 的主向?yàn)?。代入

6、式(a)中的前兩式，整理后得應(yīng)力主向第二十一張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由上兩式解出 。然后由式(b)得出應(yīng)力主向再求出 及 。第二十二張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4. 一點(diǎn)至少存在著三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力（證明見(jiàn)書(shū)上）。第二十三張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.應(yīng)力不變量 若從式(c) 求出三個(gè)主應(yīng)力 ，則式(c)也可以用根式方程表示為， 因式(c) 和( f )是等價(jià)的方程，故 的各冪次系數(shù)應(yīng)相等，從而得出應(yīng)力不變量第二十四張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(g)應(yīng)力不變量第二十五張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 分別稱(chēng) 為第一、二、

7、三應(yīng)力不變量。這些不變量常用于塑性力學(xué)之中。 式(g)中的各式，左邊是不隨坐標(biāo)選擇而變的； 而右邊各項(xiàng)雖與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，但其和也應(yīng)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。 第二十六張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6.關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)論：六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量完全確定一點(diǎn) 的應(yīng)力狀態(tài)。只要六個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力 分量確定了，則通過(guò)此點(diǎn)的任何面上的 應(yīng)力也完全確定并可求出。(2)一點(diǎn)存在著三個(gè)互相垂直的應(yīng)力主面及 主應(yīng)力。一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)第二十七張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(3) 三個(gè)主應(yīng)力包含了此點(diǎn)的最大和最小 正應(yīng)力。 （4）一點(diǎn)存在三個(gè)應(yīng)力不變量（5）最大和最小切應(yīng)力為 ， 作用于通過(guò)中間 主

8、應(yīng)力、并且“平分最大和最小正應(yīng) 力的夾角”的平面上。設(shè)第二十八張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題1.試考慮：對(duì)于平面問(wèn)題若 則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為 ,切應(yīng)力均 為0，即存在無(wú)數(shù)多的主應(yīng)力。2. 試考慮：對(duì)于空間問(wèn)題若 則此點(diǎn)所有的正應(yīng)力均為 ,切應(yīng)力均 為0，即存在無(wú)數(shù)多的主應(yīng)力。第二十九張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 空間問(wèn)題的幾何方程，可以從平面問(wèn)題推廣得出：(a)幾何方程7-4 幾何方程及物理方程第三十張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 從幾何方程同樣可得出形變與位移之間的關(guān)系： 若位移確定，則形變完全確定。幾何方程 從數(shù)學(xué)上看，由位移函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是完全確

9、定的，故形變完全確定。第三十一張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月沿x , y , z 向的剛體平移； 若形變確定，則位移不完全確定。 由形變求位移，要通過(guò)積分，會(huì)出現(xiàn)待定的函數(shù)。若 ，還存在對(duì)應(yīng)的位移分量為 (b)幾何方程繞x , y , z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。第三十二張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 若在 邊界上給定了約束位移分量 ，則空間問(wèn)題的位移邊界條件為( c )位移邊界條件第三十三張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(d)其中由于小變形假定，略去形變的二、三次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為第三十四張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 空間問(wèn)題的物理方程 可表示

10、為兩種形式： 應(yīng)變用應(yīng)力表示，用于按位移求解方法：( x ,y ,z ) (e)物理方程第三十五張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 應(yīng)力用應(yīng)變表示，用于按應(yīng)力求解方法： (x ,y , z) ( f )由物理方程可以導(dǎo)出（g） 是第一應(yīng)力不變量，又稱(chēng)為體積應(yīng)力。 稱(chēng)為體積模量。第三十六張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 結(jié)論： 空間問(wèn)題的應(yīng)力，形變，位移等十五個(gè)未知函數(shù)，它們都是(x ,y ,z)的函數(shù)。這些函數(shù)在區(qū)域V內(nèi)必須滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方程，并在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力或位移的邊界條件。結(jié)論第三十七張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題 若

11、形變分量為零， 試導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的位移分量（7-17）。第三十八張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 采用柱坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 如果彈性體的幾何形狀，約束情況和所受的外力都為軸對(duì)稱(chēng)，則應(yīng)力，形變和位移也是軸對(duì)稱(chēng)的。7-5 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基本方程第三十九張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)于空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：所有物理量?jī)H為(,z)的函數(shù)。應(yīng)力中只有(a)形變中只有位移中只有軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題第四十張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月而由得出為 。平衡微分方程：第四十一張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 幾何方程：其中幾何方程為第四十二張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于202

12、2年6月物理方程：應(yīng)變用應(yīng)力表示：(d)第四十三張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 應(yīng)力用應(yīng)變表示：其中第四十四張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月邊界條件： 一般用柱坐標(biāo)表示時(shí)，邊界面均為坐標(biāo)面。所以邊界條件也十分簡(jiǎn)單。 在柱坐標(biāo)中，坐標(biāo)分量 的量綱，方向性，坐標(biāo)線的性質(zhì)不是完全相同的。因此，相應(yīng)的方程不具有對(duì)等性。第四十五張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題 試由空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基本方程，簡(jiǎn)化導(dǎo)出平面軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基本方程。第四十六張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第七章例題例題1例題2例題3例題第四十七張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題 1設(shè)物

13、體的邊界面方程為F（x, y, z) = 0 , 試求出邊界面的應(yīng)力邊界條件；若面力為法向的分布拉力q(x, y, z), 應(yīng)力邊界條件是什么形式？第四十八張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（x, y, z)其中解：當(dāng)物體的邊界面方程為F（x, y, z) = 0 時(shí)，它的表面法線的方向余弦 為第四十九張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)面力為法向分布拉力q時(shí)，(x, y, z)因此，應(yīng)力邊界條件為代入應(yīng)力邊界條件，得(x, y, z)第五十張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題 2 試求圖示彈性體中的應(yīng)力分量，(a)正六面體彈性體置于剛體中，上邊界受均布?jí)毫作用，設(shè)

14、剛性體與彈性體之間無(wú)摩擦力。(b)半無(wú)限大空間體，其表面受均布?jí)毫的作用。第五十一張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月qqooxxzz圖7-4第五十二張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：圖示的(a),(b)兩問(wèn)題是相同的應(yīng)力狀態(tài)：x向與y向的應(yīng)力、應(yīng)變和位移都是相同的，即等。對(duì)于(a)，有約束條件，；對(duì)于(b)，有對(duì)稱(chēng)條件。而兩者的，因此，由物理方程，第五十三張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月即可解出第五十四張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題 圖示的彈性體為一長(zhǎng)柱形體，在頂面z=0上有一集中力F作用于角點(diǎn)，試寫(xiě)出z=0表面上的邊界條件。xyobbaaz圖7

15、-5P第五十五張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解：本題是空間問(wèn)題，z=0的表面是小邊 界，可以應(yīng)用圣維南原理列出應(yīng)力的邊界條件。即在z=0的表面邊界上，使應(yīng)力的主矢量和主矩，分別等于面力的主矢量和主矩，兩者數(shù)值相等，方向一致。 由于面力的主矢量和主矩是給定的， 因此，應(yīng)力的主矢量和主矩的數(shù)值，應(yīng)等于面力的主矢量和主矩的數(shù)值；第五十六張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 而面力主矢量和主矩的方向，就是應(yīng)力主矢量和主矩的方向。應(yīng)力主矢量和主矩的正負(fù)號(hào)和正負(fù)方向，則根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)號(hào)和正負(fù)方向來(lái)確定。 對(duì)于一般的空間問(wèn)題，列積分的應(yīng)力邊界條件時(shí)，應(yīng)包括六個(gè)條件。對(duì)于圖示問(wèn)題這六個(gè)積分的

16、邊界條件是：第五十七張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十八張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7-1 答案7-2 提示： 原(x,y,z)的點(diǎn)移動(dòng)到(x+u,y+v,z+w)位置，將新位置位置代入有關(guān)平面、直線、平行六面體和橢球面方程。7-3 見(jiàn)本書(shū)的敘述。第七章 習(xí)題的提示和答案第五十九張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7-4 空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題比平面軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 增加了一些應(yīng)力、形變和位移，應(yīng) 考慮它們?cè)趯?dǎo)出方程時(shí)的貢獻(xiàn)。7-5 對(duì)于一般的空間問(wèn)題，柱坐標(biāo)中的全 部應(yīng)力、形變和位移分量都存在，且 它們均為 的函數(shù)。在列方程時(shí) 應(yīng)考慮它們的貢獻(xiàn)。第六十張，PPT共六十九頁(yè)

17、，創(chuàng)作于2022年6月 (一)本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)及要求 1. 研究彈性力學(xué)問(wèn)題,可以從一般問(wèn)題到特殊問(wèn)題,如從空間問(wèn)題到平面問(wèn)題。也可以由特殊問(wèn)題到一般問(wèn)題。本書(shū)就是先研究平面問(wèn)題，然后再研究空間問(wèn)題的。這樣可以由淺入深，循序漸進(jìn)，便于理解。 第七章 教學(xué)參考資料第六十一張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 彈性力學(xué)中的各種問(wèn)題，都具有相似性，其未知函數(shù)，基本方程和邊界條件，以及求解的方法都是類(lèi)似的。我們可以把空間問(wèn)題看成是平面問(wèn)題的推廣。 2. 直角坐標(biāo)系(x,y,z)中一般的空間問(wèn)題，包含有15個(gè)未知函數(shù)（6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量及3個(gè)位移分量），且它們均為三個(gè)坐標(biāo)變量(x,y,z)的

18、函數(shù)。區(qū)域內(nèi)的基本方程也是15個(gè)，即3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)幾何方程及6個(gè)物理方程。在邊界上的應(yīng)力邊界條件或位移邊界條件均為3個(gè)。這些第六十二張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月方程和邊界條件當(dāng)然可以根據(jù)有關(guān)條件導(dǎo)出，但也可以從平面問(wèn)題推廣而來(lái)。 3.在柱坐標(biāo)系 中的空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，也可以看成是平面軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的推廣?？臻g軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題包含有十個(gè)未知函數(shù)（4個(gè)應(yīng)力分量，4個(gè)應(yīng)變分量及2個(gè)位移分量）,它們都是 的函數(shù)。在空間軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中，區(qū)域內(nèi)共有十個(gè)基本方程（2個(gè)平衡微分方程，4個(gè)幾何方程及4個(gè)物理方程），在邊界上個(gè)有兩個(gè)應(yīng)力或位移邊界條件。第六十三張，PPT共六十九頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (二）本章內(nèi)容提要 1. 直角坐標(biāo)系(x,y,z)中的一般空間問(wèn)題，其基本方程及邊界條件具有對(duì)等性，可將下標(biāo)、導(dǎo)數(shù)和物理量等按（ x,y,z ）輪換的方式得出其余表達(dá)式。