2022年三角形中考?jí)狠S題精選

1、中考專(zhuān)題三角形1（2022.賀州）如圖, A、B、C 分別是線(xiàn)段A 1B,B 1C,C1A 的中點(diǎn),如 的面積是 1,那么 A 1B 1C1 的面積三解答題（共 5 小題）2（2022.昭通）已知 為等邊三角形, 點(diǎn) D 為直線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn) （點(diǎn) D 不與 B、C 重合）,以為邊作菱形 （A 、D、 E、F 按逆時(shí)針排列） ,使 60,連接（1）如圖 1,當(dāng)點(diǎn) D 在邊上時(shí),求證： ； ；（2）如圖 2,當(dāng)點(diǎn) D 在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上且其他條件不變時(shí),結(jié)論是否成立？如不成立,請(qǐng)寫(xiě)出、之間存在的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由；（3）如圖 3,當(dāng)點(diǎn) D 在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上且其他條件不變時(shí),補(bǔ)全圖形,并直接寫(xiě)出、 、之間

2、存在的數(shù)量關(guān)系3（2022.于洪區(qū)一模）如圖1,在 中, 為銳角,點(diǎn)D 為射線(xiàn)上一點(diǎn),連接,以為一邊且在的右側(cè)作正方形（1）假如, 90, 當(dāng)點(diǎn) D 在線(xiàn)段上時(shí)（與點(diǎn)B 不重合）,如圖 2,線(xiàn)段、所在直線(xiàn)的位置關(guān)系為,線(xiàn)段、的數(shù)量關(guān)系為； 當(dāng)點(diǎn) D 在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖3, 中的結(jié)論是否仍舊成立,并說(shuō)明理由；（2）假如 , 是銳角,點(diǎn) D 在線(xiàn)段上,當(dāng) 滿(mǎn)意什么條件時(shí),（點(diǎn) C、F 不重合）,并說(shuō)明理由4（2022.河南）如圖 1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置,其中90, 30（1）操作發(fā)覺(jué)如圖 2,固定 ,使 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn) 線(xiàn)段與的位置關(guān)系是；D 恰好落在邊上時(shí),填空：

3、設(shè) 的面積為 S1, 的面積為 S2,就 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系是（2）猜想論證當(dāng) 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到如圖3 所示的位置時(shí),小明猜想（1）中 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系仍舊成立,并嘗試分別作出了 和 中、邊上的高,請(qǐng)你證明小明的猜想（3）拓展探究已知 60,點(diǎn) D 是角平分線(xiàn)上一點(diǎn),4, 交于點(diǎn) E（如圖 4）如在射線(xiàn)上存在點(diǎn)F,使 S ,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的的長(zhǎng)5（2022.常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰 , , 90,連接, M 是的中點(diǎn),連接、 （1）如圖 1,當(dāng)與在同始終線(xiàn)上時(shí),求證： ；（2）如圖 1,如, 2a,求,的長(zhǎng)；（3）如圖 2,當(dāng) 45時(shí),求證：2022 年 07 月 04

4、 日菜的中學(xué)數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一挑選題（共3 小題）且 2,直角三角形的兩直角邊、分別交、 于點(diǎn) M 、N如1（2022.山西） 如圖, 點(diǎn) E 在正方形的對(duì)角線(xiàn)上,正方形的邊長(zhǎng)為a,就重疊部分四邊形的面積為（）D2 aA 2 aB2 aC2 a考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)專(zhuān)題 ： 幾何圖形問(wèn)題；壓軸題分析： 過(guò) E 作于點(diǎn) P, 于點(diǎn) Q, ,利用四邊形的面積等于正方形的面積求解解答： 解：過(guò) E 作于點(diǎn) P,于點(diǎn) Q,四邊形是正方形, 90,又 90, 90, 90,三角形是直角三角形, 90, ,是 的角平分線(xiàn), 90,四邊形是正方形,在 和 中, （）S ,四

5、邊形的面積等于正方形的面積,正方形的邊長(zhǎng)為 a,2,2,正方形的面積四邊形的面積2,應(yīng)選： D點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作出幫助線(xiàn),證出 2（2022.武漢模擬）如圖 45,E、F 分別是、的中點(diǎn),就以下結(jié)論, , , ,其中正確選項(xiàng)（）A B C D 考點(diǎn) ： 三角形中位線(xiàn)定理；全等三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題 ： 壓軸題分析： 依據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理“三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊” 同時(shí)利用三角形的全等性質(zhì)求解解答： 解：如下圖所示：連接,延長(zhǎng)交于點(diǎn) M ,延長(zhǎng)交于 Q,延長(zhǎng)交于 P 45 45點(diǎn) D 為兩條高的交點(diǎn),所以為邊上的高,即：由中位線(xiàn)定理可

6、得 ,故 正確 45, 45, , , 90,依據(jù)以上條件得 ,故 正確 45 180 （ C） =45 180 （ ） =135=180 故 成立；無(wú)法證明,故 錯(cuò)誤應(yīng)選 B點(diǎn)評(píng)： 此題考點(diǎn)在于三角形的中位線(xiàn)和三角形全等的判定及應(yīng)用3（2022.河北模擬）四邊形中,和交于點(diǎn)E,如平分 ,且,有以下四個(gè)命題： ； ； ； 其中命題肯定成立的是（）C D A B 考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)專(zhuān)題 ： 壓軸題分析： 依據(jù)等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)判定各選項(xiàng) 是否正確即可解答： 解： ,一個(gè)三角形的直角邊和斜邊肯定不相等,不垂直于,

7、 錯(cuò)誤；利用邊角邊定理可證得 ,那么, 正確；由 可得 ,那么 A ,B,C,D 四點(diǎn)共圓, , 正確； 不肯定是等邊三角形,那么 不肯定正確； 正確,應(yīng)選 B點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了全等三角形的性質(zhì),以及直角三角形中斜邊最長(zhǎng)；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；等邊 三角形的三邊相等二填空題（共 6 小題）4（2022.泰安一模）如圖,將一個(gè)正三角形紙片剪成四個(gè)全等的小正三角形,再將其中的一個(gè)按同樣的方法剪成四個(gè)更小的正三角形,如此連續(xù)下去,結(jié)果如下表,就31（用含 n 的代數(shù)式表示） 所剪次數(shù)1 23 4 n正三角形個(gè)數(shù) 4710 13 考點(diǎn) ： 等邊三角形的性質(zhì)專(zhuān)題 ： 壓軸題；規(guī)律型分析： 依據(jù)圖跟

8、表我們可以看出n 代表所剪次數(shù), 代表小正三角形的個(gè)數(shù),也可以依據(jù)圖形找出規(guī)律加以求解解答： 解：由圖可知沒(méi)剪的時(shí)候,有一個(gè)三角形,以后每剪一次就多出三個(gè),所以總的個(gè)數(shù) 31故答案為： 31點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查同學(xué)的規(guī)律思維才能以及應(yīng)變才能5（2022.宜興市一模）如圖,在 中,點(diǎn) P 為 所在平面內(nèi)一點(diǎn),且點(diǎn) P 與 的任意兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成 , , 均是等腰三角形,就滿(mǎn)意上述條件的全部點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)為 6 個(gè)考點(diǎn) ： 等腰三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題 ： 壓軸題分析： 依據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等,作出的垂直平分線(xiàn),第一 的外心滿(mǎn)意,再依據(jù)圓的半徑相等,以點(diǎn) C 為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫(huà)

9、圓,的垂直平分線(xiàn)相交于兩點(diǎn),分別以點(diǎn) A、B為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,與的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn),再分別以點(diǎn) A、B 為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,與 C 相交于兩點(diǎn),即可得解解答： 解：如下列圖,作的垂直平分線(xiàn), 的外心 P1 為滿(mǎn)意條件的一個(gè)點(diǎn), 以點(diǎn) C 為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,P2、 P3為滿(mǎn)意條件的點(diǎn), 分別以點(diǎn) A 、B 為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓, 分別以點(diǎn) A 、B 為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,P4 為滿(mǎn)意條件的點(diǎn),P5、P6為滿(mǎn)意條件的點(diǎn),綜上所述,滿(mǎn)意條件的全部點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)為 6故答案為： 6點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),主要利用了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的性

10、質(zhì),三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,圓的半徑相等的性質(zhì),作出圖形更形象直觀(guān)6（2022.齊齊哈爾模擬）如圖, 是邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形,取的中點(diǎn) E,作 , ,得到四邊形,它的面積記為 S1,取的中點(diǎn) E1,作 E1D 1 ,E1F1 得到四邊形 E1D 11,它的面積記作 S2,照此規(guī)律, 就 S2022=考點(diǎn) ： 等邊三角形的性質(zhì)；三角形中位線(xiàn)定理專(zhuān)題 ： 壓軸題；規(guī)律型分析：求出 的面積是,求出是三角形的中位線(xiàn),依據(jù)相像三角形的性質(zhì)得出 S4= ,求出 S,S,求出 S1=,同理 S2=S,S3=,推出 S2022= （2022 個(gè)）,即可得出答案解答： 解： 的中點(diǎn) E, ,E 為

11、中點(diǎn), , ,1（）2=, 的面積是=S,=推理=SS1=同理 S2=S,S3= S4= ,S2022= （2022 個(gè)）,故答案為：點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相像三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是總結(jié)出規(guī)律,題 目比較好,但是有肯定的難度7（2022.和平區(qū)模擬）如圖,在正方形中,點(diǎn)E,F 分別在邊,上,假如4, 3,5,那么正方形的面積等于考點(diǎn) ： 勾股定理的逆定理；解分式方程；相像三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題 ： 壓軸題分析： 依據(jù) ,可將與之間的關(guān)系式表示出來(lái),在 中,依據(jù)勾股定理222,可將正方形的邊長(zhǎng)求出,進(jìn)而可將正方形的面積求出解答： 解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x,的長(zhǎng)為

12、a 90 C =,即=解得 4a 在 中,222x22=42將 代入 ,可得：正方形的面積為：x2=16a2=點(diǎn)評(píng)： 此題是一道依據(jù)三角形相像和勾股定理來(lái)求正方形的邊長(zhǎng)結(jié)合求解的綜合題隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的才能留意后面可以直接這樣 x22=4 2 , x 2+（）2=4 2, x2 2=4 2,x2=16,x 2=無(wú)需算出算出 x8（2022.湖州模擬）已知 a,b, c 是直角三角形的三條邊,且 abc,斜邊上的高為 h,就以下說(shuō)法中正確選項(xiàng)（只填序號(hào)）可以構(gòu)成三角形； 直角三角形的面積的最大值 a2b24=（a22+1）h2； b42h22c2； 由是考點(diǎn) ： 勾股定理的逆定理；

13、勾股定理專(zhuān)題 ： 運(yùn)算題；壓軸題分析： 依據(jù)直角三角形的面積公式和勾股定理將各式化簡(jiǎn),等式成立者即為正確答案解答： 解：依據(jù)直角三角形的面積的不同算法,有,解得 將 代入 a 2b 24=（a 22+1）h 2,得a 2b 2+（）4=（a 22+1）（）2,得a 2b 2+（）4=（c 2+1）（）2,得a 2b 2+（）42b 2+,得即（）4=,a 2b 22,不肯定成立,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 將 代入 b 42h 22c 2,得b 42（）22c 2,b 42a 22c 2,整理得 b42a2 b2c2=0,b 2（ b22 c2）=0,b22 c2=0,b2（b22 c2）=0 成立,故本

14、選項(xiàng)正確； b 222,（）2+（）2,（）2,不能說(shuō)明（）2+（）2=（）2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 直角三角形的面積為,隨的變化而變化,所以無(wú)最大值,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故答案為 點(diǎn)評(píng)： 此題不僅考查了勾股定理,仍考查了面積法求直角三角形的高,等式變形運(yùn)算較復(fù)雜,要認(rèn)真9（2022.賀州）如圖, A、B、C 分別是線(xiàn)段的面積7考點(diǎn) ： 三角形的面積專(zhuān)題 ： 壓軸題A1B,B1C,C1A 的中點(diǎn),如 的面積是 1,那么 A1B1C1分析： 連接 1,1,1,依據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出 1, A 11的面積,從而求出 A 11 的面積,同理可求 B 11的面積, A11 的面積,然后相加即可得解解答：

15、 解：如圖,連接 1, 1, 1,A、B 分別是線(xiàn)段 A 1B,B 1C 的中點(diǎn),S 1 1,S A11 1=1,S A11 A11 1=1+1=2 ,同理： S B11=2,S A11=2, A1B 1C1 的面積 A11 B11 A11 2+2+2+1=7 故答案為： 7點(diǎn)評(píng)： 此題考查了三角形的面積,主要利用了等底等高的三角形的面積相等,作幫助線(xiàn)把三角形進(jìn)行分割是解題的關(guān)鍵三解答題（共5 小題）D 為直線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D 不與 B、C 重合）,以為邊作菱形10（ 2022.昭通）已知 為等邊三角形,點(diǎn)（A 、D、E、 F 按逆時(shí)針排列） ,使 60,連接（1）如圖 1,當(dāng)點(diǎn) D 在邊上時(shí)

16、,求證： ； ；（2）如圖 2,當(dāng)點(diǎn) D 在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上且其他條件不變時(shí),結(jié)論是否成立？如不成立,請(qǐng)寫(xiě)出、之間存在的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由；（3）如圖 3,當(dāng)點(diǎn) D 在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上且其他條件不變時(shí),補(bǔ)全圖形,考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)專(zhuān)題 ： 幾何綜合題；壓軸題并直接寫(xiě)出、 、之間存在的數(shù)量關(guān)系分析： （1）依據(jù)已知得出, ,60,求出 ,證 ,推出即可；（2）求出 ,依據(jù)證 ,推出即可；（3）畫(huà)出圖形后,依據(jù)證 ,推出即可解答： （1）證明： 菱形, 是等邊三角形, 60=, ,即 ,在 和 中, ,即 , （2）解：不成立, 、之間存在的數(shù)量關(guān)系是 ,理由

17、是：由（ 1）知：,60, ,即 ,在 和 中, , ,即 （3） 理由是： 60, ,在 和 中, （）, ,即 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查同學(xué)的推 理才能,留意：證明過(guò)程類(lèi)似,題目具有肯定的代表性,難度適中11（2022.青羊區(qū)一模）如圖, 中, 6,點(diǎn) P 從點(diǎn) B 動(dòng)身沿射線(xiàn)移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q 從點(diǎn) C動(dòng)身沿線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)移動(dòng),已知點(diǎn)P、Q 移動(dòng)的速度相同,與直線(xiàn)相交于點(diǎn)D（1）如圖 ,當(dāng)點(diǎn) P 為的中點(diǎn)時(shí),求的長(zhǎng)；（2）如圖 ,過(guò)點(diǎn) P 作直線(xiàn)的垂線(xiàn)垂足為E,當(dāng)點(diǎn) P、Q 在移動(dòng)的過(guò)程中,線(xiàn)段、中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線(xiàn)段？請(qǐng)說(shuō)

18、明理由；考點(diǎn) ： 等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題 ： 幾何綜合題；壓軸題；分類(lèi)爭(zhēng)論分析： （1）過(guò)點(diǎn) P 做平行與,由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等,再由,依據(jù)等邊對(duì)等角得角 B 和角的相等,依據(jù)等量代換的角B 和角的相等,依據(jù)等角對(duì)等邊得,又因點(diǎn)P 和點(diǎn) Q 同時(shí)動(dòng)身,且速度相同即,等量代換得,在加上對(duì)等角的相等,證得三角形和三角形的全等,依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出,而又因 P 是的中點(diǎn), 得出 F 是的中點(diǎn),進(jìn)而依據(jù)已知的的長(zhǎng),求出,即可得出的長(zhǎng)（2）分兩種情形爭(zhēng)論,第一種情形點(diǎn)P 在線(xiàn)段上,依據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一得,再又第一問(wèn)的全等可知,所以,得出線(xiàn)段的長(zhǎng)

19、為定值；其次種情形,P 在的延長(zhǎng)線(xiàn)上,作平行于交的延長(zhǎng)線(xiàn)于 M ,依據(jù)兩直線(xiàn)平行,同位角相等推出角等于角,而角等于角,依據(jù)等量代換得到角等于角,依據(jù)等角對(duì)等邊得到等于,依據(jù)三線(xiàn)合一,得到等于,同理可得 全等于 ,得到等于,依據(jù)等于減,把換為加的一半,化簡(jiǎn)后得到值為定值解答： 解：（1）如圖,過(guò) P 點(diǎn)作 交于 F,點(diǎn) P 和點(diǎn) Q 同時(shí)動(dòng)身,且速度相同, , ,又 , , ,又 ,證得 ,又因 P 是的中點(diǎn), ,F 是的中點(diǎn),即 3,；（2）分兩種情形爭(zhēng)論,得為定值,是不變的線(xiàn)段如圖,假如點(diǎn) P在線(xiàn)段上,過(guò)點(diǎn) P 作 交于 F, 為等腰三角形,為定值,同理,如圖,如 P 在的延長(zhǎng)線(xiàn)上,作 的延

20、長(zhǎng)線(xiàn)于 M , ,又 , , ,依據(jù)三線(xiàn)合一得,同理可得 ,所以,綜上所述,線(xiàn)段的長(zhǎng)度保持不變點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),考查了分類(lèi)爭(zhēng)論的數(shù)學(xué)思想,是一道綜 合題12（ 2022.于洪區(qū)一模）如圖1,在 中, 為銳角,點(diǎn)D 為射線(xiàn)上一點(diǎn),連接,以為一邊且在的右側(cè)作正方形（1）假如, 90, 當(dāng)點(diǎn) D 在線(xiàn)段上時(shí)（與點(diǎn)B 不重合）,如圖 2,線(xiàn)段、所在直線(xiàn)的位置關(guān)系為垂直,線(xiàn)段、的數(shù)量關(guān)系為相等； 當(dāng)點(diǎn) D 在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖3, 中的結(jié)論是否仍舊成立,并說(shuō)明理由；（2）假如 , 是銳角,點(diǎn)D 在線(xiàn)段上,當(dāng) 滿(mǎn)意什么條件時(shí),（點(diǎn) C、F 不重合）,并說(shuō)明理由

21、考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題 ： 壓軸題；開(kāi)放型分析： （1）當(dāng)點(diǎn) D 在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí) 的結(jié)論仍成立由正方形的性質(zhì)可推出 ,所以, 結(jié)合90,得到 90即 （2）當(dāng) 45時(shí),過(guò)點(diǎn) A 作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,就 90,可推出 ,所以,由（ 1） 可知解答： 證明：（1） 正方形中, 90, ,又 , , , 90,即 當(dāng)點(diǎn) D 在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí) 的結(jié)論仍成立由正方形得, 90 度 90, , ,又 , , 90, 45, 45, 90 度即 （2）當(dāng) 45時(shí), （如圖）理由：過(guò)點(diǎn)A 作 交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,就 90, 45,90 , 90 45=45, 45, （同角的余角相等） , , 45

22、, 45+45=90,即 點(diǎn)評(píng)： 此題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定,判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、判定 兩個(gè)三角形全等,先依據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再依據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件13（ 2022.河南）如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置,其中90,30（1）操作發(fā)覺(jué)如圖 2,固定 ,使 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn) 線(xiàn)段與的位置關(guān)系是；D 恰好落在邊上時(shí),填空： 設(shè) 的面積為 S1, 的面積為 S2,就 S1與 S2的數(shù)量關(guān)系是S12（2）猜想論證當(dāng) 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到如圖3 所示的位置時(shí),小明猜想（1）中 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系仍舊成

23、立,并嘗試分別作出了 和 中、邊上的高,請(qǐng)你證明小明的猜想（3）拓展探究已知 60,點(diǎn) D 是角平分線(xiàn)上一點(diǎn),4, 交于點(diǎn) E（如圖 4）如在射線(xiàn)上存在點(diǎn)F,使 S ,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的的長(zhǎng)考點(diǎn) ： 全等三角形的判定與性質(zhì)專(zhuān)題 ： 幾何綜合題；壓軸題分析： （1） 依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,然后求出 是等邊三角形, 依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得60,然后依據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行解答； 依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,再依據(jù)直角三角形 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出,然后求出,再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn) C 到的距離等于點(diǎn) D 到的距離,然后依據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,

24、 ,再求出 ,然后利用 “角角邊 ”證明 和 全等,依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；（3）過(guò)點(diǎn) D 作 1 ,求出四邊形 1 是菱形,依據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得 1,然后依據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn) F1 為所求的點(diǎn), 過(guò)點(diǎn) D 作 2 ,求出 F12=60,從而得到 1F2 是等邊三角形,然后求出 12,再求出 1= 2,利用 “邊角邊 ”證明 1 和 2 全等,依據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn) F2 也是所求的點(diǎn),然后在等腰 中求出的長(zhǎng),即可得解解答： 解：（1） 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)點(diǎn) D 恰好落在邊上, 90 90 30=60, 是等邊三角形, 60,

25、又 60, , ； 30,90,依據(jù)等邊三角形的性質(zhì), 的邊、上的高相等, 的面積和 的面積相等（等底等高的三角形的面積相等）,即 S12；故答案為： ；S12；（2）如圖, 是由 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)得到, 90, 180 90=90, ,在 和 中, （）, 的面積和 的面積相等（等底等高的三角形的面積相等）,即 S12；（3）如圖,過(guò)點(diǎn)D 作 1 ,易求四邊形1 是菱形,所以 1,且、 1 上的高相等,此時(shí) S 1 ；過(guò)點(diǎn) D 作 2, 60,F1D , F2F160, 11, F130, F290, F12=60, 1F2 是等邊三角形, 12, 60,點(diǎn) D 是角平分線(xiàn)上一點(diǎn), 60=30

26、, 1=180 180 30=150, 2=360 150 60=150, 1= 2,在 1 和 2 中, 1 2（）,點(diǎn) F2 也是所求的點(diǎn), 60,點(diǎn) D 是角平分線(xiàn)上一點(diǎn), , 60=30,又 4,430=2=, 1=, 211F2,故的長(zhǎng)為 或點(diǎn)評(píng)： 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,等邊三角形的判定與性質(zhì),直角三角形 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),嫻熟把握等底等高的三角形的面積相等,以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵,（3）要留意符合條件的點(diǎn) F 有兩個(gè)14（ 2022.常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰 , ,90,連接, M 是的中點(diǎn),連接、 （1）如圖 1

27、,當(dāng)與在同始終線(xiàn)上時(shí),求證： ；（2）如圖 1,如, 2a,求,的長(zhǎng)；（3）如圖 2,當(dāng) 45時(shí),求證：考點(diǎn) ： 三角形中位線(xiàn)定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形專(zhuān)題 ： 壓軸題分析： （1）證法一：如答圖1a 所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn)D,證明為 的中位線(xiàn)即可；證法二：如答圖 1b 所示,延長(zhǎng)交于 D,依據(jù)在同一平面內(nèi),垂直于同始終線(xiàn)的兩直線(xiàn)相互平行可得 ,再依據(jù)兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得,依據(jù)中點(diǎn)定義可得,然后利用“ 角邊角 ” 證明 和 全等,再依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得,然后求出,從而得到 是等腰直角三角形,依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出45,從而得到 ,再依據(jù)同位角相等,兩直線(xiàn)平行證明 即可,（2）解法一：如答圖 2a 所示,作幫助線(xiàn),