2022年中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2018年12月理科數(shù)學(xué)試題

1、中同學(xué)標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)才能診斷性測試2022 年 12 月測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（一卷）本試卷共 150 分,考試時間 120 分鐘 . 一、挑選題：本大題共 12 小題 , 每道題 5 分, 共 60 分. 在每道題給出的四個選項中,只有哪一項符合 題目要求的 . 1.已知函數(shù)B. 的定義域為,如D. ,就 的取值范疇是（）A. C. 【答案】 C 【解析】【分析】先依據(jù)函數(shù)的解析式求出定義域,再結(jié)合題意即可求出結(jié)果,. 【詳解】由函數(shù)可得,因,所以有且,解得,應(yīng)選 C. 【點睛】此題主要考查元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題型2.已知變量, 滿意約束條件 D. ,就的取值范疇是（）A. B. C. 【答案】

2、A 【解析】【分析】先由不等式組作出平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求斜率的問題即可求解 . 【詳解】由不等式組作出如下列圖的圖像,由于令,就 表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點聯(lián)系的斜率,由圖像可知,由點,所以,故 . 【點睛】此題主要考查簡潔的線性規(guī)范,屬于基礎(chǔ)題型 . 3.已知某幾何體的俯視圖是如下列圖的邊長為 1 的正方形,正視圖與側(cè)視圖都是邊長為 1 的正三角形,就此幾何體的體積是（）A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】【分析】依據(jù)幾何體的三視圖,得該幾何體是正四棱錐,再由公式球體積即可. 、 、 三點,如,【詳解】依據(jù)幾何體的三視圖,得該幾何體是底面邊長1,高為的正四棱錐,所以該幾何體的

3、體積為. 【點睛】此題主要考查幾何體的體積,屬于基礎(chǔ)題型. 4.直線 過拋物線的焦點,與該拋物線及其準(zhǔn)線從上向下依次交于就（）A. 2B. C. 3D. 4 【答案】 A 【解析】【分析】分別過點、 作準(zhǔn)線的垂線,利用拋物線定義將、 到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,結(jié)合已知比例關(guān)系,即可得 p 的值 . 【詳解】如圖,分別過點、 作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于、 , 設(shè), 就,所以 , 在直角三角形中,由于, 所以, 所以,即,由于,所以,解得. . ,就等于（ 為虛數(shù)單位） （）【點睛】此題主要考查拋物線的簡潔性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型5.定義,如綻開式中一次項的系數(shù)為A. B. C. 1D. -1 【答案】

4、 B 【解析】【分析】先將按定義寫出,進(jìn)而求出m,再由復(fù)數(shù)的運算求出結(jié)果即可. 一次項是由每一個括號【詳解】由定義可得,因此其綻開式中內(nèi)的的一次項與其余括號內(nèi)的常數(shù)項相乘再相加得到. 1,所以綻開式中一次項的系數(shù)為括號內(nèi)的一次項系數(shù)依次為,其余括號內(nèi)的常數(shù)項都是, 所以 . 【點睛】此題主要考查復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題型 . 6.函數(shù)的大致圖像是（）A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】【分析】先由函數(shù)的零點排除 B,D 選項,再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除 C 選項,即可求出結(jié)果 . 【詳解】令 可得,即函數(shù) 僅有一個零點,所以排除 B,D 選項；又,所以由,可得,由 得 , 即函數(shù) 在 上單

5、調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,故排除 C. 【點睛】此題主要考查函數(shù)的圖像,屬于基礎(chǔ)題型 . 7.已知正項等比數(shù)列 的公比不為 1,為其前 項積,如,就（）A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】【分析】由先得,從而用公比表示出,進(jìn)而可求出結(jié)果. 【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q, 由于為正項等比數(shù)列的前 項積,所以,所以,所以, 因此, 故, 所以. ,就. 的最大值為（）【點睛】此題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題型8.在中,、 的對邊分別是、 、 . 如,A. 3B. C. D. 【答案】 B 【解析】【分析】由正弦定理先將邊化為角的正弦值,再由三角函數(shù)的性質(zhì),即可求出結(jié)果.

6、, 所以【詳解】由于,設(shè)三角形外接圓半徑為R,由正弦定理可得,故其中. 所以 . 【點睛】此題主要考查解三角形的問題,屬于常考題型 . 9.已知,有以下命題：如,就；如,就；如,就；如,就；其中真命題的個數(shù)為（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 C 【解析】【分析】借助平方差公式,立方差公式,結(jié)合題中條件,依次判定即可 . 【詳解】取 , 就,但 , 故錯；因 , 所以 , 因此；即正確；因 , 所以,故正確；因,由,得, 所以, 故正確 . 【點睛】此題主要考查不等式的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型. 就圓10.已知圓錐的側(cè)面綻開圖是一個半徑為,圓心角為的扇形, 圓錐內(nèi)接圓柱的全面積

7、與圓錐的側(cè)面積相等,柱的高為（）A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】【分析】先設(shè)圓錐與圓柱的底面圓半徑和高,由題意得到四者之間關(guān)系,用圓錐與圓柱的面積公式即可求解. ,【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,高為 h,設(shè)圓錐的底面圓半徑為,高為 H, 就有,又圓錐的側(cè)面綻開圖是一個半徑為,圓心角為的扇形,所以圓錐的側(cè)面積為且,所以, 所以,故圓柱的表面積為; 又圓錐的側(cè)面綻開圖是一個半徑為,圓心角為的扇形,所以圓錐的側(cè)面積為, 由題意,即, 解得. 的右下方,就【點睛】此題主要考查幾何體的表面積,屬于基礎(chǔ)題型. 11.橢圓的右頂點為,下頂點為,左焦點為,如外接圓的圓心在直線此橢圓的離心率的取值

8、范疇是（）A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】【分析】先由題意得的坐標(biāo),設(shè)出外接圓方程,將的坐標(biāo)代入圓的方程,求出圓心,坐標(biāo),再依據(jù)圓心在直線的右下方,即可求出結(jié)果. 的取值范疇是（）【詳解】由題意,設(shè)外接圓方程為所以有,解之得 ,所以圓心坐標(biāo)為,又圓心在直線的右下方,所以有, 整理得：即,所以, 所以,因此橢圓的離心率的取值范疇是. 【點睛】此題主要考查橢圓的簡潔性質(zhì),屬于中檔試題. 12.已知函數(shù),如方程有且只有三個不同的實數(shù)根,就A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】【分析】先將有且只有三個不同的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有三個交點的問題,結(jié)合函數(shù)圖像,即可求出結(jié)果. 在直【詳

9、解】 由得,即,設(shè),的頂點線上 , 而與的 交 點 坐 標(biāo) 為, 聯(lián) 立, 可 得, 由,得,結(jié)合函數(shù),的圖像可得,要使有且只有三個不同的實數(shù)根,只需. 【點睛】此題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,難度較大 . 二、填空題：本大題共 4 小題,每道題 5 分,共 20 分. 的值為 _13.如函數(shù) 圖像的對稱軸是,就非零實數(shù)【答案】【解析】【分析】利用含肯定值符號函數(shù)的對稱性即可求解. ,由得. ,就實數(shù)的取值范疇是【詳解】由于,其對稱軸為【點睛】此題主要考查函數(shù)的對稱性,屬于基礎(chǔ)題型. ,如14.已知,為線段上一點,且_【答案】【解析】【分析】依據(jù)可表示出,的坐標(biāo),再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果

10、過. 平分線的垂線, 垂足為【詳解】由于,所以,作,所以,所以,解得,因點 M 是線段 BC 上的一個動點 ,所以,即滿意條件的實數(shù)的取值范疇是. 【點睛】此題主要考查向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義,屬于中檔試題. 15.設(shè)、是雙曲線的左右焦點,是雙曲線上任意一點,就點的軌跡方程是 _【答案】【解析】【分析】點 關(guān)于 的角平分線 PQ 的對稱點 P 在直線 的延長線上, 由雙曲線定義可得故,再由 OQ 是 的中位線,可推出 為定值,從而可求出結(jié)果 . 【詳解】點 關(guān)于 的角平分線 PQ 的對稱點 P 在直線 的延長線上,故,又 OQ 是的中位線,故 ,點 Q 的軌跡是以原點為圓心,a 為半徑的圓

11、,就點 Q 的軌跡方程為 . 【點睛】此題主要考查雙曲線的定義和簡潔幾何性質(zhì),屬于中檔試題. 和函數(shù)在區(qū)間上的“函數(shù)”. 已知函16.如對任意的,均有成立,就稱函數(shù)為函數(shù)數(shù),且是和在區(qū)間上的“函數(shù)” ,就實數(shù)的取值范疇是_【答案】【解析】【分析】在區(qū)間上分及兩種情形考慮即可. 上恒成立 . ,當(dāng)時,函【詳解】由題意可得,在區(qū)間上恒成立,即數(shù)的圖像為一條線段,于是, 解得,另一方面,在令, 就, 由于,所以, 于是函數(shù)為增函數(shù),從而, 所以,就函數(shù)為上的增函數(shù),所以, 即；綜上所述,實數(shù)k 的取值范疇是. 【點睛】此題主要考查函數(shù)的綜合應(yīng)用,難度較大. 三、解答題：共 70 分. 解答應(yīng)寫出文字

12、說明、 證明過程或演算步驟 . 第 1721 題為必考題,每個試題考生都必需作答,第22、23 題為選考題,考生依據(jù)要求作答. （一）必考題： 60 分. 17.已知函數(shù). ,的對邊,且滿意,求的取值范疇 . （）求的最小正周期；（）在銳角中, , , 分別為角【答案】（1） ； （2）. 【解析】【分析】1 將函數(shù)解析式化簡整理成正弦型復(fù)合函數(shù)的形式,即可求解；2 由正弦定理和題中條件,先求出,結(jié)合三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求出結(jié)果. 【詳解】（）所以函數(shù)的最小正周期為. （）依題意,由正弦定理,. . ,. ,為的中點 . 由于在三角形中,所以. 即,當(dāng)時,；當(dāng)時,兩邊平方得,故由于銳角三角

13、形,所以. 就. 又,. 所以. 又,所以. 由,就的取值范疇. 【點睛】此題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),屬于?？碱}型18.如圖,正方形與所在的平面相互垂直,且（）求證：平面平面；（）求平面與平面所成銳二面角的余弦值. 【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】【分析】1 由面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論成立；2 可用立體幾何法以及空間向量法兩種方法求二面角的余弦值. ,【詳解】（）,在中,平面,又為正方形,又,又面,面,平面,又平面,平面平面. （）方法一：平面平面,即、兩兩垂直,以、分別為, , 軸,建立如下列圖空間直角坐標(biāo)系,就,取平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,就,即,令,就,故,設(shè)平

14、面與平面所成銳二面角為,就. 的交線,方法二：連接,就、共線,是平面與平面取的中點為,連接,就由平面平面,平面平面,且面,平面,即平面,又為正方形,為的中點,. . 是平面與平面所成銳二面角的平面角,由（）可得,在中,. 平面與平面所成銳二面角的余弦值為. 【點睛】此題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求法,屬于常考題型19.為加強(qiáng)對企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量的治理,市監(jiān)局到區(qū)機(jī)械廠抽查機(jī)器零件的質(zhì)量,共抽取了 600 件螺帽,將它們的直徑和螺紋距之比作為一項質(zhì)量指標(biāo),由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：；（）求這600 件螺帽質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù),樣本方差（在同一組數(shù)據(jù)中,用該區(qū)間的中點值作代表）（）由頻率

15、分布直方圖可以近似的認(rèn)為,這種螺帽的質(zhì)量指標(biāo)值聽從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差. 的件數(shù),利（）利用該正態(tài)分布,求；（）現(xiàn)從該企業(yè)購買了100 件這種螺帽,記表示這 100 件螺帽中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間用（）的結(jié)果,求. 附：. 如,就,. 【答案】（1）； （2）（）（）. 【解析】【分析】1 頻率分布直方圖中每一組的中間值可作為該組的平均數(shù),再由公式即可求出平均數(shù)和方差；2 依據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求出第一問,由二項分布即可求出其次小問 . 【詳解】（）抽取的螺帽質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差 分別為：. （）（）由（）知,從而,（）由（）知,一件螺帽的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間

16、 的概率為,依題意知,所以 . 【點睛】此題主要考查頻率分布直方圖的特點,以及正態(tài)分布和二項分布,屬于?？碱}型 . 20.已知, 是 軸正半軸上兩點（在 的左側(cè)）,且,過, 作 軸的垂線,與拋物線 在第一象限分別交于,兩點 . （）如,點 與拋物線 的焦點重合,求直線 的斜率；（）如 為坐標(biāo)原點,記 的面積為,梯形 的面積為,求 的取值范疇 . 【答案】（1）； （2）. 【解析】【分析】1 先由題意得出 點坐標(biāo),進(jìn)而可得, 點坐標(biāo),再由斜率公式即可求出結(jié)果 ; 2 先設(shè)直線 的方程為：,再聯(lián)立直線與拋物線方程嗎,依據(jù)根與系數(shù)關(guān)系和弦長公式表示出,由點到直線距離公式表示出點 到直線 的距離,從

17、而可表示出,進(jìn)而可求出結(jié)果 . 【詳解】（）由,就,就,又,所以 . （）設(shè)直線 的方程為：,設(shè),由,得. ,可知. ,所以,得,又,由,由點到直線的距離為,所以又,所以由于,所以【點睛】此題主要考查拋物線的簡潔性質(zhì),以及直線與拋物線位置關(guān)系,屬于中檔試題 . 21.已知函數(shù),. （）當(dāng) 時,證明：；（）當(dāng) 時,假如,且,證明：. 【答案】（1）見解析；（2）見解析 . 【解析】【分析】1 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),用導(dǎo)數(shù)的方法判定出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可證明結(jié)論成立; ,即可判2 依據(jù),判定出函數(shù)的單調(diào)性,再構(gòu)造函數(shù),依據(jù)單調(diào)性,再設(shè)斷出結(jié)果 . 【詳解】（）當(dāng)時,上單調(diào)遞增 . ,由,得,在上單調(diào)遞減

18、,在時,取得微小值,即最小值. 當(dāng)時,即,. 時,（）證明：當(dāng),時,時,單調(diào)遞減,就,單調(diào)遞增,令在,就. ,且,單調(diào)遞減,不,當(dāng)時,即,當(dāng)時,內(nèi)是減函數(shù) .又內(nèi)是增函數(shù),在再同一單調(diào)區(qū)間內(nèi),不妨設(shè),由上可知：,. ,又 在 內(nèi)是增函數(shù),即 . 【點睛】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)的單調(diào)性,難度較大 . 選考題：共 10 分. 請考生在第 22,23 題中任選一題作答,假如多做,就按所做的第一題計分 . 作答時請寫清題號 . 22.已知曲線的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)）,以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 . （）求曲線的極坐標(biāo)方程；,求的值 . （）,為曲線上兩點,如【答案】（1）； （ 2） . 【解析】【分析】1 由曲線 C 的參數(shù)方程先求出曲線 C 的一般方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可 . 2 先設(shè)點 P 和點 Q 的極坐標(biāo),結(jié)合題意即可求出結(jié)果 . 【詳解】（）由,得到曲線 的一般方程是：,又,代入得,即（也可得分） . （）由于,所以,由,故,設(shè)點 的極坐標(biāo)為,就點 的極坐標(biāo)可設(shè)為,所以. 【點睛】此題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的