波爾共振等實驗的改進方法及其Matlab實現(xiàn)

1、波爾共振等實驗的改良方法及其Matlab實現(xiàn)論文摘要：本文首先分析大學根底物理實驗用波爾共振儀研究受迫振動;所采用的測量方法的缺乏，接著具體闡述為盡可能提高精度而利用Matlab處理該實驗時，所應用的初步線性回歸-結(jié)合具體情況改良線性回歸-原模型回歸;這一依次回歸的方法和相關原理與技巧，并進行了檢驗。進而以此為參考，將本文方法推廣應用于其他可能的物理實驗中以得到數(shù)據(jù)處理甚至測量方法上的改良。論文關鍵詞：波爾共振,依次回歸法,數(shù)據(jù)處理,測量方法1引言在大學根底物理實驗中，有許多實驗可以利用計算機借助應用方便且可視化功能強大的數(shù)學軟件Matlab,通過一定的具體方法來進行測量方法的改良和數(shù)據(jù)處理的

2、精確化與可視化，從而提高實驗的精度。本文以波爾共振實驗為例，結(jié)合具體情況闡述將該軟件應用于有關物理實驗時，為了取得上述效果而應遵循的處理方法及應用的有關原理與技巧，使原實驗得到相關改良。2實際中原實驗方法的缺乏由于儀器制造工藝及材料性能等的影響，通過實際中屢次的實驗可知，在擺輪振動過程中，振幅不同時系統(tǒng)的固有頻率在小范圍內(nèi)變化。由相關的理論推導和實際試驗皆可以知道，阻尼系數(shù)的測量值和系統(tǒng)固有頻率的具體值有關，的不確定性會影響測量精度，尤其是在變化范圍相對于不可忽略的情況下。再者，很重要的一點，對特性曲線的描繪，進行原實驗時采取的是人為對離散數(shù)據(jù)作圖，利用坐標確定點的位置、把有限的離散點連成曲線

3、時都會人為造成一定誤差。假設再對幅頻特性曲線峰值的進行求取點，找出對應的橫坐標，那么更會帶來許多偶然誤差。并且由于隨機取點作圖的緣故而無法對結(jié)果的不確定度進行定量判斷。3利用Matlab進行相關改良為了防止原實驗方法中以上所述問題的出現(xiàn)，采用與計算機結(jié)合的方式，采取能夠防止上述弊端的新的方法求解所需物理量，同時對曲線進行精確描繪。利用Matlab軟件結(jié)合具體實驗情況，采取一定的方法，能使結(jié)果同時到達上述效果。3.1初步線性回歸該實驗中所測量的物理量，理論上有精確的函數(shù)表達式和經(jīng)過一定處理后得到的近似表達式。的變化為導致用原實驗方法測量給結(jié)果帶來誤差的根源，故需設法將其誤差消除。為此，我們可選取

4、文獻【1】112頁中的精確函數(shù)表達式(5)做出如下變形：(本文中以替換原文獻中的由上述推導可看出，以作為自變量，以作為因變量,那么兩者之間存在線性關系由該式知，此法利用作為因變量,對是否為常量不需要做出要求，在其為變量時亦可行，防止了原實驗中的兩種方法所帶來的問題。采集相關數(shù)據(jù)，利用一般的圖解法進行求解即可。為了盡可能提高精度，本文采取利用Matlab進行處理的方法。可以看出，利用此線性回歸方法，除了可以直接求解出阻尼系數(shù)外，還可以求出具有一定物理意義的常量,其與同量綱。從下文可知，的量值對利用Matlab完本錢實驗的精確曲線描繪是必須的，而此處即可求得其值。3.2針對具體實驗情況，改良線性回

5、歸形式1)依據(jù)自變量不確定度相對微小的原理確定最終形式由誤差分析相關理論參考文獻【2】,91-93可知，在進行曲線擬合時，自變量的精密度應比因變量的精密度高的多，以至可將根本無從防止的也帶有一定不確定度的自變量看成是嚴格確定的，只有因變量帶有某種不確定度，以便能在只需考慮因變量不確定度的根底上進行對最終結(jié)果不確定度的計算。具體到該實驗中，可知所有數(shù)據(jù)點的直接測量值可認為都服從或近似服從高斯正態(tài)分布。故各物理量的各個測量值的不確定度相對于其真值相等。但此時分別作為自變量和因變量的間接測量量亦即合成量x和y,那么各個計算點的不確定度并不相同，可由誤差傳播與合成公式在儀器不確定度的前提下依據(jù)相關原理

6、【2】,40,53-57具體求出。在此處，僅為了簡要說明選擇依據(jù)，又不致影響最終結(jié)果確實定，可做出合理的假設，認為x和y的各計算值不確定度相同，分別為和。通過下文的程序運行結(jié)果可看出此時的自變量和因變量不確定度按標準有效位數(shù)應為。兩者不確定度相對大小關系剛好與前述要求相反，故考慮選擇適宜的因變量與自變量只需原先的兩者相互變換即可，否那么應按上述原理重新進行合理的線性回歸變換。經(jīng)過以上分析可知，在此實驗中應將式經(jīng)過如下改良(將和互換)后再進行求解：那么至此，理論上即可準確的求解出阻尼系數(shù)和與同量綱的常數(shù)。2)線性回歸編程及其意義本文中用Matlab里根本的多項式擬合函數(shù)polyfit(x,y,n

7、)令次數(shù)n=1完成對直線的最小二乘擬合，也可直接用多元線性回歸函數(shù)regress(Y,X)(【3】,150)完成。兩者的效果在此處相同。編寫改良后的線性回歸程序如附件所示。命令窗口運行結(jié)果為：y=-257.19*x+354.29beta=0.0624m=1.1737r1=0.9954r=1.0000-0.9977r2=0.9954sigma_x=0.4006sigma_y0=103.2761從運行結(jié)果可以看出所求得的物理量應為：在阻尼檔為2的情況下，=beta=0.0624,m=1.1737，并且。即變量互換后數(shù)據(jù)不確定度滿足實驗的線性回歸要求。此時的線性回歸圖形窗口那么顯示如圖1。由程序可知

8、，用于判斷線性規(guī)劃優(yōu)度的判定系數(shù)可利用公式求解,亦可利用Matlab里的互相關系數(shù)矩陣函數(shù)corrcoef()求解。兩者均很簡潔?？梢钥闯觯司€性回歸的判定系數(shù)(r為x和y之間的線性相關系數(shù))很接近于1，故此線性回歸的擬合度很好，證明了x和y在此實驗中確實存在線性關系，也間接證實了此次實驗中和m可認為是定值，不存在不同時刻相差很大的問題。同樣可知，強迫力矩幅值M和擺輪轉(zhuǎn)動慣量I的比值亦如此。故此法利用Matlab編程通過對線性回歸方程的擬合，同逐差法一樣，可測出阻尼系數(shù)。同時利用線性擬合優(yōu)度判斷標準線性相關系數(shù)r對線性回歸合理性的檢驗，亦可作為實現(xiàn)的實時測量的理論根底，卻不像逐差法那樣作為該理

9、論根底時同樣受到變化限制，尤其是在其不可忽略的情況下。這是本文中的線性回歸法除了不存在理論誤差和能以較高準確度求出常量和外的另一重要意義。3.3回歸于原理論模型1)緣由由3.2可知，利用式進行線性回歸，由于該方法本身不存在近似理論誤差由下文知由于該方法本身采用線性計算，故而計算機數(shù)值計算截斷誤差亦不存在，其所得出的阻尼系數(shù)準確度較高。但在確定最終結(jié)果的不確定度時，并不能忽略自變量的不確定度，因為相對于原物理量其數(shù)據(jù)不確定性經(jīng)過了放大。這樣利用線性回歸不確定度計算的理論公式【2】,106-110,在自變量不確定度也存在且不全相同的情況下,導出的最終測量量的不確定度的結(jié)果會很繁瑣,且不易于簡潔編程

10、實現(xiàn)。而且如前所述，其所采用的自變量與因變量均為合成量亦即間接測量量。具有一定不確定度的最初數(shù)據(jù)依據(jù)相關原理，進行不確定度的傳播與合成，導致此時的合成量不確定度會增加，故而其最終結(jié)果的精密度不會很高，有必要對其進行進一步研究。2)利用回歸函數(shù)nlinfit()和nlparci()基于以上考慮，需利用最初測量數(shù)據(jù)進行方法的改良，亦即所采取的方法應盡可能直接利用最初測量數(shù)據(jù)，以盡可能減小最終結(jié)果的不確定性。據(jù)此，結(jié)合利用Matlab處理實驗的實情際況，可以利用其工具箱里所提供的非線性回歸功能函數(shù)【3】,184-188來進行最終的處理。這些函數(shù)能夠在非線性模型的情況下，直接利用最初數(shù)據(jù)求解出所需結(jié)果

11、，同時提高準確度與精密度。在此處可用非線性擬合的參數(shù)估計函數(shù)nlinfit()和給出參數(shù)估計值95%的置信區(qū)間的函數(shù)nlparci()進行,且效果很好。函數(shù)nlinfit()利用經(jīng)過Levenberg-Marquardt修正的高斯牛頓Gauss-Newton算法,亦即梯度-展開算法【2】,224-226對參數(shù)進行最小二乘擬合并使局部得到收斂。由其算法收斂原理可知利用此函數(shù)對參數(shù)進行求解必須先估計參數(shù)的大致范圍，并且最終結(jié)果會受此影響。經(jīng)過實際的屢次試驗亦可得出此結(jié)論。具體到該實驗中，為了直接利用所有的最初有用數(shù)據(jù)以提高精確度，本文所采取的求解阻尼系數(shù)的方法理論依據(jù)選為未經(jīng)過任何近似的函數(shù)表達式

12、3.1中的(5)式。在利用Matlab軟件處理的前提下，利用上述功能函數(shù)對相互函數(shù)關系的實驗數(shù)據(jù)進行與理論模型的比擬，以確定其中的未知量和。此時必須先估計出原式中的未知量和的大致范圍，否那么由屢次實際試驗可知可能出錯而不是出現(xiàn)誤差。此由上述算法在參數(shù)估計區(qū)間內(nèi)局部收斂所導致，并且Matlab里所有非線性優(yōu)化與擬合函數(shù)所基于的數(shù)值算法都無法防止此類問題。因此，把線性回歸估計出的值=0.0624,m=1.1737作為參數(shù)初始值，利用上述函數(shù)進行相關編程，得程序運行結(jié)果為：bete=0.0628m=1.1791ci=U=0.00060.0077sigma=0.00030.0039R_NL=0.990

13、5FR=1.0000從編程和運行結(jié)果可以看出，由上述函數(shù)利用精確的測量量表達式回歸，知此時可以用于該實驗的判斷曲線回歸擬合優(yōu)度的指標(R,FR)值為(0.9905,1.0000)。由于R分辨率與靈敏度很高，且此時很接近于1，故可知此時的擬合效果很好，應采用此時的結(jié)果。所以，由此時的運行結(jié)果知，在阻尼檔為2的情況下，=beta=0.0628，m=1.1791，并且這兩個測定量所對應的由函數(shù)nlparci()所給出參數(shù)亦即這兩測定量的95%的置信區(qū)間分別為和，因此對應于置信水平為95%的擴展不確定分別為和?？紤]到在該實驗中所有物理量的觀測值可認為均服從或近似服從高斯正態(tài)分布，而且最終結(jié)果不考慮儀器

14、不確定度的具體大小，故知此時對應于95%置信水平的擴展不確定度的包含因子，兩測量量不計B類不確定的最終標準不確定度分別為，因此，由此回歸得到的最終結(jié)果為4方法分析4.1主要誤差來源由上文可以看出，采用本文所述方法，可以很好地排除的小范圍變化給實驗的測量所帶來的影響。然而，我們知道，在所有的物理實驗中，均存在著誤差和不確定度，采用本文方法依然不例外。不考慮此實驗中無法防止的儀器誤差與偶然誤差，此時由于全部計算均利用計算機進行，且利用了曲線進行回歸的方法，故可知此時引入了原實驗方法中不存在的計算機數(shù)值計算時的舍入誤差與截斷誤差。在該實驗中，由原始測量數(shù)據(jù)可以看出，該實驗最終結(jié)果的有效數(shù)字最多為4位

15、。由于所用程序中，Matlab整個計算過程中數(shù)值按四舍五入保存4位小數(shù)，且由于計算步驟很少，與按物理實驗原那么進行5;的舍入時相差很小以至可以忽略，且實驗要求最終結(jié)果不確定度只保存一位有效數(shù)字即可。故由該實驗的最終結(jié)果可知，Matlab數(shù)值計算中由于整個計算過程所保存的位數(shù)對于此實驗已足夠多而使舍入誤差在此實驗中不存在。因而在該實驗中，采用本文所用方法，最終結(jié)果中的近真值與不確定度的具體值對于物理實驗要求來說均為準確值，且近真值僅存在由于計算機數(shù)值計算中利用非線性函數(shù)回歸時，需轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)求解所帶來的截斷誤差，因而在該實驗中，最終結(jié)果的不計入B類的不確定度由截斷誤差所導致。4.2回歸檢驗與分

16、析由于該實驗中所有物理量的觀測值均服從或近似服從高斯正態(tài)分布，且所有量均為等精度測量，故在高斯正態(tài)分布下檢驗曲線擬合優(yōu)度最終指標(【2】,180)在此處適用，且可直接簡化為檢驗殘差平方和的大小。而使其為最小正是利用最小二乘法擬合函數(shù)求出其參數(shù)的根本出發(fā)點。從原理上知，如果能夠直接利用未經(jīng)過變化的因變量與自變量之間的函數(shù)關系擬合得到參數(shù)值，此時即為原測量量的最正確估計值。故直接利用原表達式進行擬合的函數(shù)nlinfit()所得到的結(jié)果即為最正確結(jié)果。同樣，實際中，由屢次試驗上述非線性回歸函數(shù)即可體會到，一旦確定了參數(shù)值的大致范圍，參數(shù)初始值在此范圍內(nèi)變化時，所得到的結(jié)果絕對值一致，只是有時可能相差

17、一個正負號。由算法原理可知，這是由其數(shù)值算法本身所導致，但并不會影響物理實驗的結(jié)果，只需依據(jù)事實對結(jié)果的正負進行判斷即可。這是利用此法所需的技巧之一。將利用3.1中式回歸編程表一幾組不同接近最正確擬合值的和組合下的擬合效果比擬 m (R ,FR) 0.0622 1.1724 (0.9901,1.0000) 0.0145 0.0624 1.1737 (0.9903,1.0000) 0.0140 0.0628 1.1791 (0.9905,1.0000) 0.0135 0.0622 1.1737 (0.9900,1.0000) 0.0147 0.0622 1.1791 (0.9885,1.0000

18、) 0.0198 0.0624 1.1724 (0.9902,1.0000) 0.0144 0.0624 1.1791 (0.9896,1.0000) 0.0161 0.0628 1.1724 (0.9888,1.0000) 0.0188 0.0628 1.1737 (0.9893,1.0000) 0.0170 0.0638 1.1791 (0.9850,0.9999) 0.0334 0.0618 1.1791 (0.9853,0.9999) 0.0320 0.0628 1.1691 (0.9871,1.0000) 0.0249 0.0628 1.1891 (0.9875,1.0000) 0.

19、0234 然而，對特性曲線的描繪，必須依據(jù)文獻【1】中(5)和(6)式變形后的表達式其中。由于不為定值，利用已測出的上述兩值卻并不能準確的完成，需結(jié)合在小范圍內(nèi)變化的的具體值，必須將表達式中的微小變量和看作整體的參數(shù)，同樣利用nlinfit進行非線性函數(shù)擬合，以做出阻尼檔為2時的幅頻特性曲線和相頻特性曲線分別如圖2和圖3所示。這是利用本文方法中所需的技巧之二。從圖像可以看出，其效果很好，說明本文整體所采取的處理方法是很恰當?shù)模Y(jié)果很符合實際情況。4.3比照檢驗與分析在利用本文中所述方法全部完成該實驗后，再按照文獻【1】中所述的逐差法完成實驗中阻尼系數(shù)的測量，所得數(shù)據(jù)表及處理結(jié)果如附表2。從實驗

20、結(jié)果可以看出，利用逐差法進行測量的近真值要比采用本文方法進行測量得出的結(jié)果大，且用于判斷近真值不確定性大小的絕對不確定度，以及判斷同樣條件下測量結(jié)果好壞的相對不確定度的情形亦如此。故可知，在相同的實驗條件下，分別用這兩種方法進行對阻尼系數(shù)的同樣屢次測量，不排除與下述情況相異的很小的偶然性，可以認為，利用逐差法，依公式所得結(jié)果的近真值要大于用本文方法所得結(jié)果，且不確定性要高于采取本文方法所得結(jié)果的不確定性。這是由不同下有所不同對利用逐差法測量實際阻尼系數(shù)造成的影響，要高于計算機利用非線性函數(shù)進行擬合時，由于進行數(shù)值計算而存在的截斷誤差給測量結(jié)果帶來的影響這一根源所導致的。因此，從這個意義上來說，

21、本文從既能夠消除的變化帶來的影響，又不會帶來更大的新的影響這一根本角度出發(fā)，依據(jù)能滿足此要求的文獻【1】中的精確測量表達式(5)，考慮所有角度下的不同的之后再對阻尼系數(shù)進行求解，其近真值更加接近于實際情況，故而使原實驗在此處得到了測量方法上的改良。至于利用Matlab強大的數(shù)據(jù)可視化功能描繪特性曲線，對于人為作圖來說，其改良那么是顯而易見的。因此，結(jié)合本文所述的初步線性回歸-結(jié)合具體情況改良線性回歸-原模型回歸;的依次回歸方法以及相關原理與技巧，利用Matlab進行處理，本實驗同時得到了測量方法與數(shù)據(jù)處理上的改良。4.4適用范圍由4.2開始局部所提到的基于最小二乘法亦即殘差平方和最小的曲線擬合，只是從數(shù)據(jù)的函數(shù)關系角度考慮的。而具體到物理實驗中，所測量的數(shù)據(jù)會有一定的不確定度，并且數(shù)據(jù)的觀測值又會服從一定的分布。故利用Matlab里的擬合功能函數(shù)nlinfit()對物理量數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關系進行基于最小二乘法的擬合時，需以觀測數(shù)據(jù)點服從或近似服從高斯正態(tài)分布為根底，使為最小【2】,40-42,9