三角函數(shù)值域的求法

1、精品文檔例談三角函數(shù)值域（最值）的幾種求法南縣一中肖勝軍有關(guān)三角函數(shù)的值域（最值）的問(wèn)題是各級(jí)各類考試考察的熱點(diǎn)之一，這類問(wèn)題的解決涉及到化歸、轉(zhuǎn)換、類比等重要的數(shù)學(xué)思想，采取的數(shù)學(xué)方法包括易元變換、問(wèn)題轉(zhuǎn)換、等價(jià)化歸等重常用方法。掌握這類問(wèn)題的解法，不僅能加強(qiáng)知識(shí)的縱橫聯(lián)系，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還能提高數(shù)學(xué)思維能力和運(yùn)算能力。一、合理轉(zhuǎn)化，利用有界性求值域例1、求下列函數(shù)的值域：（1）y1sinxcosx（2）ycosx3cosx3（3）ysin2x2sinxcosx3cos2x（4）y3sin(x)4cos(x)111344解析：（1）根據(jù)sinxcosxsin2x2可知：2y22（2

2、）將原函數(shù)的解析式化為：cosx3(1y)，由cosx1可得：2y11y2(3)原函數(shù)解析式可化為：y1sin2x2cos2x2sin2xcos2x22sin(2x)可得：422y22（4）根據(jù)asinxbcosxa2b2sin(x)a2b2,a2b2可得：5y5二、單調(diào)性開路，定義回歸例2、求下列函數(shù)的值域：（1）y1（2）ycos(sinx)sinx2（3）ycosx3sinxx,2（4）y2cos25sinx163116解析：（1）由-1sinx知：0sinx222（2）由-1sinx12,有cos1cos（sinx）1cos1cos(sinx)12（3）y=2sin(x)由x2知：x6

3、5由正弦函數(shù)的單調(diào)性：1y266336(4)y2(1sin2x)5sinx12(sinx5)2330,248.精品文檔三、抓住結(jié)構(gòu)特征，巧用均值不等式例3、若0 x,求f(x)9x2sin2x4的最小值xsinx解析：由0 x得：xsinx0,根據(jù)均值不等式：f(x)9xsinx424129xsinxxsinxxsinx當(dāng)9xsinx4即x2sin2x4時(shí)，f(x)min12xsinx9例4、已知sincos(),其中、為銳角，求tan的最大值sin解析：由sinsin()sin()coscos()sinsincos(即sin()cos2sincos(),有tan()2tan于是：tan()t

4、an()tantan1tan1tantan()12tan212tantan當(dāng)12tan即tan21時(shí)，有（tan）2tan2max4四、易元變換，整體思想求解例5、求函數(shù)ysinxcosxsinxcosx的值域解法一：y2sin(x)1sin2x2sin(x)112sin2(x)42424sin2(x)2sin(x)142422sin(x)124當(dāng)sin(x)1時(shí)，ymax2142解法二：設(shè)sinxcosxt，則t2sin(x)2,2t21,sinxcosxt242yt11(t2，t2,2221)1故當(dāng)t時(shí)有ymax12,22)24.精品文檔解法三、構(gòu)造對(duì)偶式轉(zhuǎn)化為某一變量的二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)

5、求最大值設(shè)sinxmn,cosxmn,則sinxcosx2m,sinxcosxm2n2由sin2x2，得m221,m2,2cos1n222ysinxcosxsinxcosx2mm2n22m22m1,m2,2222故當(dāng)m2時(shí)，有ymax1222五、方程架橋，問(wèn)題轉(zhuǎn)化例6：求函數(shù)y1sinx3sinx的最大值、最小值。2sinx解析：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程在閉區(qū)間上有解的充要條件：原函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為：sin2x(4y)sinx32y0令tsinx,則t1t2t32y在，上有解,故有：011(4y)2（43-2y）04y12f(1)0f(1)0或f(1)f(1)0解得：0y83六、運(yùn)用模型、數(shù)形結(jié)合例8：求函數(shù)y2sinx的值域。2cosx解析：函數(shù)的值域可看作求過(guò)點(diǎn)P(2,2)的單位圓切線的斜率k的最大、最小值設(shè)切線PA的方程為：y