函數(shù)的單調性-知識點與題型歸納

1、名師總結 精品學問點1. 單調函數(shù)的定義2.單調性、單調區(qū)間的定義如函數(shù) fx在區(qū)間 D 上是 增函數(shù)或減函數(shù) ,就稱函數(shù) fx 在這一區(qū)間上具有 嚴格的 單調性, 區(qū)間 D 叫做 fx的單 調區(qū)間 .留意：關于函數(shù)單調性的定義應留意哪些問題？1定義中 x1,x2 具有任意性 ,不能是規(guī)定的特定值2函數(shù)的 單調區(qū)間必需是定義域的子集；3定義的兩種變式 ：設任意 x1,x2a,b且 x10. fx在 a,b上是增函數(shù)；x1x2fx1fx20. fx在 a,b上是減函數(shù)單調區(qū)間的表示留意哪些問題？單調區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示；如有多個單調區(qū)間應分別寫,不能用并集符號“”聯(lián)結 ,也

2、不能用 “或 ”聯(lián)結學問點二 單調性的 證明 方法： 定義法及導數(shù)法1 定義法 : 利用定義 證明函數(shù)單調性的一般步驟是：任取 x1、x2D,且 x10,就fx在區(qū)間 D 內為增函數(shù)；假如 內為減函數(shù)留意： 補充 f x0,就 1 為減 增 函數(shù),f x 為增 減函數(shù)f x3互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調性4yfgx是定義在 M 上的函數(shù),如 fx與 gx的單調性相同,就其復合函數(shù) fgx為增函數(shù)；如 fx、gx的單調性相反,就其復合函數(shù) fgx為減函數(shù)簡稱” 同增異減 ”5. 奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相同；偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相反二、例題分析：（一 函數(shù)

3、單調性的判定與證明名師總結 精品學問點判定以下說法是否正確1函數(shù) fx2x1 在, 上是增函數(shù) 2函數(shù) fx1 x在其定義域上是減函數(shù) 3已知 fxx,gx 2x,就 yfxgx在定義域上是增函數(shù) 答案： 例 1. 2022 北京卷 以下函數(shù)中,在區(qū)間 0,上為增函數(shù)的是 2Ayx1 Byx1xCy2 Dylog0.5x1 答案： A. 例 2. 判定函數(shù) fxax x1在1,上的單調性,并證明法一：定義法設 1x1x2,名師總結 精品學問點就 fx1fx2ax1 x11 ax2 x21ax1 x2x1ax2 x2x1a x1x2x1x2 1x1x2,x1 x20,x210. 當 a0 時,

4、fx1fx20,即 fx1fx2,函數(shù) yfx在1, 上單調遞增同理當 a0,即 fx1fx2,函數(shù) yfx在1, 上單調遞減法二：導數(shù)法1.判定函數(shù)的單調性應先求定義域；2.用定義法判定 或證明 函數(shù)單調性的一般步驟為：取值作差 變形 判號定論,其中變形為關鍵, 而變形的方法有因式分解、 配方法等；3.用導數(shù)判定函數(shù)的單調性簡潔快捷,應引起足夠的重視（二）求復合函數(shù)、分段函數(shù)的單調性區(qū)間 例 1 求函數(shù) yx|1x|的單調增區(qū)間yx|1x|名師總結精品學問點1,x1,2x 1,x0.就 x3. 函數(shù) ylog1 x 24x3的定義域為 3 ,13, 名師總結 精品學問點又 ux 24x3 的

5、圖象的對稱軸為 x2,且開口向上,ux 24x 3 在,1上是減函數(shù),在3,上是增函數(shù)而函數(shù) ylog1 u 在0, 上是減函數(shù),3ylog1 x 24x 3的單調遞減區(qū)間為 3, ,3 單調遞增區(qū)間為 ,1留意：求函數(shù)的單調區(qū)間的常用方法 1利用已知函數(shù)的單調性,即轉化為已知函數(shù)的和、差或復合函數(shù),求單調區(qū)間2定義法：先求定義域,再利用單調性定義3圖象法：假如 fx是以圖象形式給出的,或者 fx的 圖象易作出,可由圖象的直觀性寫出它的單調區(qū)間4導數(shù)法：利用導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間2例 2.（2） 補充 ylog1x4log1x答案：增區(qū)間：1 , 4221；減區(qū)間：0,4練習 :ylog

6、2x2名師總結2x精品學問點log答案：增區(qū)間：2,；減區(qū)間：0, 2（三）利用單調性解（證）不等式及比較大小已知函數(shù) fxlog2x就 1 1x,如 x11,2,x22,Afx10,fx20 Bfx10 Cfx10,fx20, fx20 【規(guī)范解答】函數(shù) fxlog2x1 1x在1, 上為增函數(shù),且 f20,當 x11,2時, fx1f20,即 fx10. 例 1. （2）已知函數(shù) fxx 24x3,x0,就不等x 22x3,x0,式 fa 24f3a的解集為 A2,6 名師總結精品學問點B1,4 C1,4 D3,5 【規(guī)范解答】 作出函數(shù) fx的圖象,如下列圖,就函數(shù) fx在 R 上是單調

7、遞減的由 fa 24f3a,可得 a 243a,整理得 a 23a40,即a1a40,解得 1a4,所以不等式的解集為 1,4留意: 本例分段函數(shù)的單調區(qū)間可以并.（四）已知單調性求參數(shù)的值或取值范疇例 1. 已知函數(shù)fxa2x x21x1,x2滿意對任意的實2數(shù) x1x2,都有f x 1f x 20成立,就實數(shù) a 的取值x 1x 2范疇為 A,2 B. ,13 8C,2 D. 13 8,2名師總結 精品學問點【規(guī)范解答】 函數(shù) fx是 R 上的減函數(shù),a20,于是有a12 21,由此解得 a13 8,即實數(shù) a 的取值范疇是,13 8 . 例 2.1（補充） 假如函數(shù) fxax 22x3

8、在區(qū)間,4上單調遞增,就實數(shù)答案 1 4,0 a 的取值范疇是 _解析 1當 a0 時, fx2x3,在定義域 R 上單調 遞增,故在 ,4上單調遞增；2當 a 0時,二次函數(shù) fx的對稱軸為直線 x1 a,由于 fx在,4上單調遞增,所以 a0,且1 a4,解名師總結 精品學問點得1 4a0,就由 f x0 得 x 2a,當 x 2a時,f x0,fx單調增,當2ax 2a時,fx單調減,fx的單調減區(qū)間為 2a,2a,從而 2a2,a2. 變式： 如 fxx 36ax 在區(qū)間 2,2單調遞減,就 a 的取值范疇是？名師總結 精品學問點點評 fx的單調遞減區(qū)間是 2,2 和 fx在2,2上單

9、調遞減是不同的, 應加以區(qū)分本例亦可用 x2 是方程 f x3x 26a0 的兩根解得 a2. 例 2.3 （補充）如函數(shù) f x log 1 x 3 ax 在 ,3 2 上單調遞減,2就實數(shù)a的取值范疇是（）A9,12 B4,12 C4,27 D9,27 答案： A 溫故知新 P23 第 9 題如函數(shù)fxlog1x2ax3 a 在區(qū)間上是增函數(shù) , 2a 的取值范疇是2,上單調遞減,就實數(shù)在區(qū)間2,8、設函數(shù)fxax1x2 a那么 a 的取值范疇是答案 : 1,fx名師總結精品學問點10、設函數(shù)x x ax ax 在區(qū)間 1,內單調遞減 , （2）如a0且 f求 a 的取值范疇 . 答案 :

10、 1,（五）抽象函數(shù)的單調性例 1.（補充） 已知 fx為 R 上的減函數(shù),那么滿意f|1 |f1的實數(shù) x 的取值范疇是 xA1,1 B0,1 C1,00,1 D, 11, 答案： C 解析：由于 fx為減函數(shù),f|1 x|1,就|x|1且 x 0,即 x1,00,1練習：yf名師總結精品學問點x 是定義在1,1 上的增函數(shù),解不等式f1xf1x2答案： 0,1留意：解抽象函數(shù)的不等式通常立足單調性定義 或借助圖像求解例 2.函數(shù)f x 的定義域為0,且對一切0；x0,y0都有fxf x fy,當x1時,有f y（1） 求f1的值；（2） 判定f x 的單調性并加以證明；（3） 如f42,求f x 在 1,16 上的值域