高中《正弦和余弦定理》數(shù)學教案

1、第 PAGE17 頁 共 NUMPAGES17 頁高中正弦和余弦定理數(shù)學教案高中正弦和余弦定理數(shù)學教案1教學目的進一步熟悉正、余弦定理內容，能純熟運用余弦定理、正弦定理解答有關問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.教學重難點教學重點：純熟運用定理.教學難點：應用正、余弦定理進展邊角關系的互相轉化.教學過程一、復習準備：1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課：1.教學三角形的解的討論：出例如1：在ABC中，以下條件，解三角形.分兩組練習討論：解的個數(shù)情況為何會發(fā)生變化?用如以下圖示分析p 解的情況.(A為銳角時)練習：在ABC中，以下

2、條件，判斷三角形的解的情況.2.教學正弦定理與余弦定理的活用：出例如2：在ABC中，sinAsinBsinC=654，求角的余弦.分析p ：條件可以如何轉化?引入?yún)?shù)k，設三邊后利用余弦定理求角.出例如3：在ABC中，a=7，b=10，c=6，判斷三角形的類型.分析p ：由三角形的什么知識可以判別?求角余弦，由符號進展判斷出例如4：ABC中，試判斷ABC的形狀.分析p ：如何將邊角關系中的邊化為角?再考慮：又如何將角化為邊?3.小結：三角形解的情況的討論;判斷三角形類型;邊角關系如何互化.三、穩(wěn)固練習：3.作業(yè)：教材P11B組1、2題.高中正弦和余弦定理數(shù)學教案2一)教材分析p (1)地位和重

3、要性：正、余弦定理是學生學習了平面向量之后要掌握的兩個重要定理，運用這兩個定理可以初步解決幾何及工業(yè)測量等實際問題，是解決有關三角形問題的有力工具。(2)重點、難點。重點：正余弦定理的證明和應用難點：利用向量知識證明定理(二)教學目的(1)知識目的：要學生掌握正余弦定理的推導過程和內容;可以運用正余弦定理解三角形;理解向量知識的應用。(2)才能目的：進步學生分析p 問題、解決問題的才能。(3)情感目的：使學生領悟到數(shù)學來于理論而又作用于理論，培養(yǎng)學生的學習數(shù)學的興趣。(三)教學過程老師的主要作用是調控課堂，適時引導，引導學生自主發(fā)現(xiàn)，自主探究。使學生的綜合才能得到進步。教學過程分如下幾個環(huán)節(jié)：

4、教學過程課堂引入1、定理推導2、證明定理3、總結定理4、歸納小結5、反應練習6、課堂總結、布置作業(yè)詳細教學過程如下：(1)課堂引入：正余弦定理廣泛應用于消費生活的各個領域，如航海，測量天體運行，那正余弦定理解決實際問題的一般步驟是什么呢?(2)定理的推導。首先提出問題：RtABC中可建立哪些邊角關系?目的：首先從學生熟悉的直角三角形中引導學生自己發(fā)現(xiàn)定理內容，猜測，再完成一般性的證明，詳細環(huán)節(jié)如下：引導學生從SinA、SinB的表達式中發(fā)現(xiàn)聯(lián)絡。繼續(xù)引導學生觀察特點，有A邊A角，B邊B角;接著引導：能用C邊C角表示嗎?而后鼓勵猜測：在直角三角形中成立了，對任意三角形成立嗎?發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更

5、重要，我便是讓學生體驗了發(fā)現(xiàn)的過程，從學生熟悉的知識內容入手，觀察發(fā)現(xiàn)，然后產(chǎn)生猜測，進而完成一般性證明。這個過程采用了不斷創(chuàng)設問題，啟發(fā)誘導的教學方法，引導學生自主發(fā)現(xiàn)和探究。第二步證明定理：用向量方法證明定理：學生不易想到，設計如下：問題：如何出現(xiàn)三角函數(shù)做數(shù)量積欲轉化到正弦利用誘導公式做直角難點打破理論：師生共同完成銳角三角形中定理證明獨立：學生獨立完成在鈍角三角形中的證明總結定理：師生共同對定理進展總結，再認識。在定理的推導過程中，我注重“重過程、重體驗”培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識和理論才能，教育學生獨立嚴謹科學的求學態(tài)度，使情感目的、才能目的得以實現(xiàn)。在定理總結之后，老師布置考慮題：定理還

6、有沒有其他證法?通過這樣的考慮題，發(fā)散了學生思維，使學生的思維不僅僅禁錮在老師的啟發(fā)誘導之下，符合素質教育的要求。(3)例題設置。例1ABC中，c=10，A=45，C=30，求b.(學生口答、老師板書)設計意圖：加深對定理的認識;進步解決實際問題的才能例2ABC中，a=20，b=28，A=40，求B和C.例3ABC中，a=60，b=50，A=38，求B和C.其中兩組解，一組解例3同時給出兩道題，首先留給學生一定的考慮時間，同時讓兩學生板演，以便兩題形成對照、比擬?？赡艹霈F(xiàn)的情況：兩個學生都做對，那么繼續(xù)為學生提供展示的空間，讓學生來分析p 看似一樣的條件，為何二解一解情況，假如第二同學也做出兩

7、組解，那么讓其他學生積極參與評判，發(fā)現(xiàn)問題，找出對策。設計意圖：增強學生對定理靈敏運用的才能進步分析p 問題解決問題的才能激發(fā)學生的參與意識，培養(yǎng)學生合作交流、競爭的意識，使學生在互相影響中共同進步。(4)歸納小結。借助多媒體動態(tài)演示：圖表使學生對于兩邊和其中一邊對角，三角形解的情況有一個明晰直觀的認識。之后讓學生對題型進展歸納小結。這樣的歸納總結是通過學生理論，在新舊知識比照之后形成的，防止了學生的被動學習，抽象記憶，讓學生形成對自我的認同和對社會的責任感。實現(xiàn)本節(jié)課的情感目的。(5)反應練習：練習ABC中，a=60，b=48，A=36ABC中，a=19，b=29，A=4ABC中，a=60，

8、b=48，A=92判斷解的情況。通過學生形成性的練習，穩(wěn)固了對定理的認識和應用，也便于老師掌握學情，以為教學的進展作出合理安排。(6)課堂總結，布置作業(yè)。高中正弦和余弦定理數(shù)學教案3教學目的：1.理解利用向量知識推導正弦定理;2.掌握正弦定理并能運用正弦定理解斜三角形，并會利用計算器解決解斜三角形中復雜的計算問題;3.會斷定兩邊和其中一邊的對角解斜三角形的解時一解、兩解或無解;4.通過利用向量證明正弦定理，理解向量的工具性和知識間的互相聯(lián)絡，體會事物之間是互相聯(lián)絡的辯證思想;教學重點：正弦定理及其推導過程，正弦定理在三角形中的應用;教學難點：正弦定理的向量法證明以及運用正弦定理解三角形時解的個

9、數(shù)的斷定.教學方法：情景問題、啟發(fā)引導教學設計過程(一)設置情境?？紤]：現(xiàn)實生活中如何測得某湖對岸A、B兩點之間間隔 。學生會很自然地構造直角三角形來解決。但是很多情況，受地理條件的限制，我們很難構造直角三角形，也就是在一般的三角形里我們如何求出AB的間隔 ?我們能不能發(fā)如今三角形中還蘊涵著什么樣邊與角關系呢? #FormatTableID_5# 組織學生分組討論，老師參與學生的討論。(2-3鐘)讓學生匯報：通過對直角三角形的研究發(fā)現(xiàn)了什么結論。直角三角形中存在等式：小結：利用直角三角形中的這些邊角關系對任給直角三角形的兩邊或一邊一角可以求出這個三角形的其他邊與其他角.這個式子在任意三角形中也

10、是成立的，這就是我們今天要學的正弦定理.(二)推導定理過程1.學生考慮：1)在任意 中，3個向量 ， ， 間 滿 足什么關系?2)在 + + = 兩邊同乘以向量 ,有( + + ) .,這里的量 可否任意?又如何選擇向量3)由 + + = ,如何能形成數(shù)量積運算?2.證明過程：如圖，在銳角中 ，過 作單位向量 垂直于 ，那么 與 的夾角為 與 的夾角為 。由向量的加法可得:對上面向量等式兩邊同取與向量 的數(shù)量積運算，得到同理，過點 作與 垂直的單位向量 ，可得3.深化考慮：1) 當 為鈍角三角形時如何證得2)正弦定理還有沒有其它的方法證明?3)觀察正弦定理，利用正弦定理可以解什么類型的三角形問

11、題?4.小結：正弦定理可以解決兩類三角形問題：1)兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角;2)兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角。(三)例題分析p 例1 在 中， ，求 (保存兩個有效數(shù)字)解： 且例2 在 中， ，求 。解：由 得 中 為銳角 例3 在 中， ，求 的面積 。解：首先可證明：這組結論可作公式使用。其次求 ,由正弦定理(四).練習穩(wěn)固，加深理解。(1)在 中，一定成立的等式是( ). . .(2)在 中，假設 ，那么 是( ).等腰三角形 .等腰直角三角形 .直角三角形 .等邊三有形(3)在任一 中，求證 :證明：由于正弦定理：令 代入左邊得：(五)總結提煉(1

12、)三角形常用公式： ;(2)正弦定理表示形式： ( 外接圓直徑); 。(3)正弦定理應用范圍：兩角和任一邊，求其他兩邊及一角。兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。幾何作圖時，存在多種情況。如 、 及 ，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數(shù)。(六)穩(wěn)固作業(yè)：1 中， ，那么 為( )A 直角三角形 B 等腰直角三角形C 等邊三角形 D 等腰三角形2 在 中， 是 的A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件3在 中， 求 和 .(七)板書設計：高中正弦和余弦定理數(shù)學教案4三維目的1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探究，掌握正弦定理的內容及其證明方法，會運用

13、正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類根本問題.2.通過正弦定理的探究學習，培養(yǎng)學生探究數(shù)學規(guī)律的思維才能，培養(yǎng)學生用數(shù)學的方法去解決實際問題的才能.通過學生的積極參與和親身理論，并成功解決實際問題，激發(fā)學生對數(shù)學學習的熱情，培養(yǎng)學生獨立考慮和勇于探究的創(chuàng)新精神.重點難點教學重點：正弦定理的證明及其根本運用.教學難點：正弦定理的探究和證明;兩邊和其中一邊的對角解三角形時，判斷解的個數(shù).課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(特例引入)老師可先通過直角三角形的特殊性質引導學生推出正弦定理形式，如RtABC中的邊角關系，假設C為直角，那么有a=csinA，b=csinB，這兩個等式間存在關系嗎

14、?學生可以得到asinA=bsinB，進一步提問，等式能否與邊c和C建立聯(lián)絡?從而展開正弦定理的探究.思路2.(情境導入)如圖，某農(nóng)場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設立了兩個觀測點A和B，某日兩個觀測點的林場人員分別測到C處有火情發(fā)生.在A處測到火情在北偏西40方向，而在B處測到火情在北偏西60方向，B在A的正東方向10千米處.如今要確定火場C距A、B多遠?將此問題轉化為數(shù)學問題，即“在ABC中，CAB=130，CBA=30，AB=10千米，求AC與BC的長.”這就是一個解三角形的問題.為此我們需要學習一些解三角形的必要知識，今天要探究的是解三角形的第一個重要定理正弦定理，由此展開新課的探究學習.

15、推進新課新知探究提出問題1閱讀本章引言，明確本章將學習哪些內容及本章將要解決哪些問題?2聯(lián)想學習過的三角函數(shù)中的邊角關系，能否得到直角三 角形中角與它所對的邊之間在數(shù)量上有什么關系?3由2得到的數(shù)量關系式，對一般三角形是否仍然成立?4正弦定理的內容是什么，你能用文字語言表達它嗎?你能用哪些方法證明它?5什么叫做解三角形?6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問題呢?活動：老師引導學生閱讀本章引言，點出本章數(shù)學知識的某些重要的實際背景及其實際需要，使學生初步認識到學習解三角形知識的必要性.如老師可提出以下問題：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的間隔 ?怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向?怎樣測

16、量底部不可到達的建筑物的.高度?怎樣在程度飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨?這些實際問題的解決需要我們進一步學習任意三角形中邊與角關系的有關知識.讓學生明確本章將要學習正弦定理和余弦定理，并學習應用這兩個定理解三角形及解決測量中的一些問題.關于任意三角形中大邊對大角、小 邊對小角的邊角關系，老師引導學生探究其數(shù)量關系.先觀察特殊的直角三角形.如以下圖，在RtABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac=sinA，bc=sinB，又sinC=1=cc，那么asinA=bsinB=csinC=c.從而在RtABC中，asinA=bsinB=csinC.那

17、么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立呢?老師引導學生畫圖討論分析p .如以下圖，當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CD=asinB=bsinA，那么asinA=bsinB.同理，可得csinC=bsinB.從而asinA=bsinB=csinC.(當ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學生自己完成)通過上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立.老師點出這就是今天要學習的三角形中的重要定理正弦定理.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csinC上述的探究過程就是正弦定理的證

18、明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進展證明.老師提醒學生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時點撥學生觀察正弦定理的特征.它指出了任意三角形中，各邊與其對應角的正弦之間的一個關系式.正弦定理的重要性在于它非常好地描繪了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關系;描繪了任意三角形中大邊對大角的一種準確的數(shù)量關系.因為假如AB，由三角形性質，得asin(-A)=sinA，所以仍有sinA正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，老師鼓勵學生課下進一步探究正弦定理的其他證明方法.討論結果：(1)(4)略.(5)三角形的幾個元素(把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過程叫做解三角形.(6)應用正弦定理可解決兩類解三角形問題：三角形的任意兩個角與一邊，由三角形內角和定理，可以計算出三角形的另一角，并由正弦定理計算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問題”.這類問題的解是唯一的.三 角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可以計算出另一邊的對角的正弦值，進而確定這個角和三角形其他的邊和 角，即“兩邊一對角問題”.這類問題的