2015考研數(shù)學微積分下課件

1、經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)(一)微積分下鄒潔1P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r第六章定積分6.16.26.36.46.5定積分的概念與性質(zhì)微積分基本定理 定積分的計算方法定積分的應用廣義積分初步26.1定積分的概念與性質(zhì)一、曲邊梯形的面積二、定積分的定義三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)3P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r一、曲邊梯形的面積定義:由連續(xù)曲線 y f (x ),直線 x a, x b (a b )及y 0(x 軸)所圍成的平面圖形AabB 稱為曲邊梯形.yBy f (x )ASx bx aabxOf (x) 0

2、)求曲邊梯形AabB 的面積 S .(其中特別強調(diào)!方法:“無限細分, 無限求和”具體做法:4P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r1、分割區(qū)間:用n 1個分點: a x0 x1 x2 xn1 xn b 將區(qū)間a, b分成n個小區(qū)間: x0 , x1 , x1 , x2 , xi 1 , xi , xn1 ，xn ,這些小區(qū)間的長度為 xi xi xi 1 (i 1,2, n)yy f ( x) BASix ax b xiO x0 a x1 x2 xi 1 xi xn2 xn1 b xn x過各分點 xi (i 1,2, n 1) 分別作垂直于x軸的直線得到

3、n個小的曲邊梯形,設 Si (i 1,2, n) 為第i 個小曲邊梯形的面積,n則 S S1 S2 Sn Sii 15P D F c r e a t e d w i t h p d fwFwwa .pcdftfaoctroyry.ctormi a l v e r s i o n 2P$%& (3c&E) :)*+,&yi(1 ()xsop,2,i ),1zi |cxe3cb 4( )xix yi ,2, n),- max1nv. /s#, 0 xi ,(iin i 110(ii 1xyBP(, f)ASSix a xix0 axn2xn1 b xnx1 x2xixi 1Oxi3P,2:.n 0

4、 #, v06P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rnS lim () 0 i 1二、定積分的定義為了敘述方便, 給出分劃及分劃的模的定義: xn1 xn用n 1個分點 a b 將區(qū)間2a, b分成n個小區(qū)間, 這組分點稱為a,b的一個分劃, 記為 n ,稱為該分劃的模,這些小區(qū)間中最長的區(qū)間長度 max xi .即1i n7P D Fc r e a t edw i t hp da l v e r定義: 設y f ( x )在a, b上有定義, n為a, b的為該分劃的模, 任取一點i xi , xi 1 (i 1,2, n),任一分劃,nnlim f (

5、i ) xi f (i ) xi, 若lim Sn 存在, 且此極限作和 Sn 0 i 1 0i 1值與a, b的分法及 i 點的取法無關(guān), 則稱 f ( x) 在a, b上可積,ba, b并稱此極限值為上的定積分f ( x)在, 記為f ( x) dx ,a即有積分上限積分下限其中:被 積積 分表 變達 量式被積函數(shù)積積分分號區(qū)間8P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rf ( x)dxban b f ( x) dx lim f ( ) xa 0 i1iin f (i ) xi注1：Sn兩有關(guān)i 1nba兩無關(guān)f ( ) xf ( x)dxlimii 0 i

6、 1b是常數(shù),f ( x)dx C注2, 則定積分：若a, b上可積f (x)在abf (x) 和積分區(qū)間a, b,f ( x)dx的值依賴于被積函數(shù)abb與積分變量用什么字母表示無關(guān)f (t )dt, 即有f ( x)dxaa注3不可積, 即有界是可積的必要條件.可積的充分條件:若 f (x)在a,b上連續(xù), 則f (x) 在a,b上可積;若f (x)在a,b上有界且只有有限個間斷點,則f (x) 在a,b上可積.注4：定積分的定義中,下限 a 上限b,否則做如下規(guī)定:aabbaf (x) dx 0ba 特別f ( x) dx 若規(guī)定b,f ( x) dx ,a的值時,注5,則用定義求定積分

7、：若f (x)a, b上可積f ( x)dx在a可采取對區(qū)間a, b特殊的分法及 i 點特殊的取法.9P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r三、定積分的幾何意義bf (x ) 0,f (x)dx 由前則有S.a所圍成的曲邊梯形面積.10102例1:積分的定義計算定積分xdx.解: f ( x) x 2在0, 1上連續(xù), f ( x) x 2在0, 1上可積,12x dx S ,0,1,又 f (0其中S是由曲線 y x,2 直線x 1及 x軸所圍成的曲邊梯形的面積,y取0, 1的一個分劃: 0, 1 , 2 , n 1 , 1,nnn即將0, 1 n等分,2

8、y xx 1則 x 1 i 1,2, n),nS,取(iiinno1x i 2n 1 n1 ii 1 n 2有 Sn f (i ) xi nn3i 1 i 1 1 n(n 1)( 2n 1)n3dx S6 lim n(n 1)(2n 1) 1 .102lim S 0 xn36n3n11P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r四、定積分的性質(zhì) (可積時)b性質(zhì)1:dx b aa性質(zhì)2: 設 , 為常數(shù), 則有bbbf ( x)dx f ( x) g( x)dx g( x)dxaaa一般設1 ,2 , n為常數(shù), 則有baf (x ) f ( x) f ( x)d

9、x1122nnb fb fb f( x)dx 1 2 n ( x)dx ( x)dx12naaa性質(zhì)3: (定積分積分區(qū)間的可加性)設a, b,c為三個不同的常數(shù), 則有axcbcbbf ( x) dx f ( x) dxf ( x) dx(可推廣)caa性質(zhì)4: 若對任意 x a,b , 恒有f ( x) g(x ) , 則bbf ( x)dx g( x)dxaa12P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r785: !v0Jrlt,)d,*a,)()(b0 .f (a786: (2)*3yC7), b , r0 A ) , v0f (e+NbAf ( x)d

10、xB.a787: ()*UC2:),*a, vuvA(&y !(b)(, ,M|?( ) awfd.ay 0 xLMl:EFGH3ixzuaobxklc()(*3ixC13P D Fc r e a t e dw i t hp da l ve rf 1 b f ( )d b a af 積分中值定理的證明:證明: f (x) 在a,b 上連續(xù), f (x) 在a,b上存在最大值 M 和最小值 m ,即對x a, b, 有m f ( x) M ,bm (b a ) f (x)dx M(b a) ,從而am M ,于是由介值定理得: 至少存在一點 a, b,bf ( x)dxb a f ( ),使得a

11、bf ( x) dx f ( )(b a).即a14P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rb f ( x)dxab a例2: 比較下列各組積分值的大小44sin2sin4 x dxln2 x dx(1)ln x dx 和(2)x dx 和223300解:(1) 當x 3,4 時, 有l(wèi)n x 1, 從而 ln x ln2 x,44ln2 x dxln x dx 由性質(zhì)5知:33(2)當x 0, 時, 有0 sin x 1,從而 sin2x sin4x,2且sin2 x不恒等于 sin4x,20sin dx 2 sin4 dx2由性質(zhì)5知:015P D Fc

12、r e a t e dw i t hp da l v e r2例3: 估計定積分e的值.0設 f (x) e x x ,2則 f (x ) (2x 1) e x2 x,解:得駐點x 1 ,令 f (x ) 0,21而 f (1) e,f (0) 1,f (2) e 2,4214對x 0,2 , 有 ef (x) e2 12且 f (x)不恒等于也不恒等于e ,e42014 2 e 2. 2 ee16P D Fc r e at e dw i t hp da l v e r第六章定積分6.16.26.36.46.5定積分的概念與性質(zhì)微積分基本定理 定積分的計算方法定積分的應用廣義積分初步176.2

13、設微積分的基本定理ba,b上連續(xù),在則是一個常數(shù),f (x)f ( x) dxaxx a, b,a, x上連續(xù),任取則在f ( x)dx 存在,f (x)從而a這里x 積分變量將積分變量 x 換成 t, 則有 積分上限xx記為af ( x) dx 可寫為af (t ) dt ,x ( x)x a,bf (t)dt ,a定義在 a, b 上的自變量為 x 的函數(shù), 稱為積分上限函數(shù)也稱為變上限的定積分它具有:定理6.1：(原函數(shù)存在定理)xa,b (x ) f (t )dt,x a, b若在上連續(xù),則f (x)a為 f (x) 在a,b上的一個原函數(shù),x a, b,18P D Fc r e a

14、t e dw i t hp da l v e r即有 ( x) ( x f (t)dt ) d ( x f (t )dt ) f ( x)adxa a ,b ,給x 以 x 0,證明:則 (xx)f (t )dtxf (t)dtaaxxaxf (t)dtf (t)dtf (t )dtaxxx f ( x)在以為端點的區(qū)間上連續(xù),由積分中值定理知:至少存在一點x x之間, 使得: f ( ) x f (t)dtx ( x) lim f ( ) ( x) lim x0f ( x). x x19P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r例1：求下列函數(shù)的導數(shù) f (

15、x).x10 x1 t 4 dtf ( x) (1) f ( x) 3(2)sin tdt0exln tx 2(3) f ( x) af ( x) xsin t dtdt(4)t(x33 sinf ( x) 解:(1)xsin tdt )01 t 4 dt ) x10 x1 x4(2) f ( x) ( ( 41 t dt )10復合而成的,與(3) 設u e x ,則 f ( x) 是 x e xg(u) du ln u f ( x) xe xdxsintdt uae x(a為常數(shù))x222xxf ( x) dt (4)ssintdtxa2xx2sin x (sintdt ) 2 x sin x從而f ( x) (sintdt )aa