2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽押題及詳細(xì)解析

1、2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)。選擇題只設(shè) 6 分和 0 分兩檔，填空題只設(shè) 9 分和 0 分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分，不要再增加其它中間檔次。如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，5 分為一個(gè)檔次，不要再增加其他中間檔次。一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）本題共有 6 小題，每小題均給出A，B，C，D 四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題選對(duì)得6 分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過一個(gè)（不論是

2、否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得 0 分。使關(guān)于 x 的不等式x 3 6 x k 有解的實(shí)數(shù)k 的最大值是（） A6 3B3C6 3D6空間四點(diǎn) A、B、C、D 滿足| AB| 3, | BC| 7 , | CD| 11 , | DA | 9 , 則 AC BD 的取值（）A只有一個(gè) B有二個(gè) C有四個(gè) D有無窮多個(gè)aaT 0,1,2,3,4,5,6, M 1 2aa3 4 | a T , i 1,2,3,4, 中的元素按從大到小的順序排列，則第7727374i2022 個(gè)數(shù)是（）5 5 6 35 5 6 277273747727374C 1 1 0 4D 1 1 0 377273747727374二、

3、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）本題共有 6 小題，要求直接將答案寫在橫線上。將關(guān)于 x 的多項(xiàng)式 f (x) 1 x x 2x 3 x19 x 20 表為關(guān)于 y 的多項(xiàng)式 g ( y) a a01y a2y 2 a19y19 a20y 20 , 其中 y x 4. 則a0 a a120已知 f (x) 是定義在(0,) 上的減函數(shù)，若 f (2a 2 a 1) f (3a 24a 1) 成立，則a 的取值范圍是。12 如果自然數(shù) a 的各位數(shù)字之和等于7，那么稱 a 為“吉祥數(shù)”將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列a , a12, a , 若 a3n 2005, 則a5n三、解答題

4、（本題滿分 60 分，每小題 20 分）13 數(shù)列a滿足： an0 1, an1, n N.7a45a 2 36nn2證明：（1）對(duì)任意n N , a為正整數(shù)；2 對(duì)任意n N , a a 1 為完全平方數(shù)。nnn114 將編號(hào)為 1,2，9 的九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，達(dá)到最小值的放法的概率（注： 如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）y x 2 （1,1）作拋物線的切線，分別交 x 軸于D， y 在拋物線上，點(diǎn) E 在線段AC 上，滿足 AEEC ;1點(diǎn) F 在線段BC 上，滿足 BF FC，且 212 1 ，在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P 的軌跡方

5、程2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題（二）及參考答案二、（本題滿分 50 分）設(shè)正數(shù)a、b、c、滿足cy bz a, az cx b;bx ay c.求函數(shù) f (x, y, z) x 2y 2z 2的最小值1 x1 y1 z三、（本題滿分 50 分）0當(dāng)n為平方數(shù),對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，定義函數(shù) f (n) 1當(dāng)n不為平方數(shù). n（其中表示不超過的最大整數(shù)，x x x).試求： 240k 1f (k ) 的值2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）本題共有 6 小題，每小題均給出A，B，C，D 四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的。請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題后

6、的括號(hào)內(nèi)。每小題選對(duì)得6 分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得 0 分。使關(guān)于 x 的不等式x 3 6 x k 有解的實(shí)數(shù)k 的最大值是（） A6 3B3C6 3D6空間四點(diǎn) A、B、C、D 滿足| AB| 3, | BC| 7 , | CD| 11 , | DA | 9 , 則 AC BD 的取值（）A只有一個(gè)B有二個(gè)C有四個(gè)D有無窮多個(gè)【答案】A【解析】注意到32 112 1130 7292 , 由于 AB BC CD DA 0, 則 DA 2 DA 2 =( AB BC CD)2 AB2 BC 2 CD2 2( AB BC BC CD CD AB) AB2

7、 BC 2 CD2 2(BC 2 AB BC BC CD CD AB) AB2 BC 2 CD2 2( AB BC) (BC CD), 即2AC BD AD2 BC 2 AB2 CD2 0, AC BD 只有一個(gè)值得0，故選A。ABC 內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角A、B、C 的平分線延長后分別交此圓于AAA cos BB cos CC cosABC121212 的值為（A2sin A sin B sin CB4）C6D8【答案】A【解析】如圖，連BA，則 AA 2sin( B ) 2sin(AA B CBC1122) 221、 B 、 C 。則11 2cos(BC).22 AAcos A 2cos(

8、B C ) cosA cosA B CcosA C B cos( C ) cos( B)122222222 sin C sin B,同理BB cos B sin A sin C , CC cos C sin A sin B, AA cos A BB 1212121BC2(sin A sin B sin C )cos CC21cos 2(sin A sin B sin C ),原式 2.選A.2sin A sin B sin Cx 2sin2 sin35 方程y 2 1 表示的曲線是（）cos2 cos3A焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓B焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線C焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓D焦點(diǎn)在 y 軸上

9、的雙曲線23233【答案】C【解析】 , 0 ,cos(2) cos( ), 即23sinsin3.2222223又 0 , ,cos20, cos3 0,cos2cos0, 方程表示的曲線是橢22圓。 (sin2 sin3) (cos2 cos3) 22 sin2 3 sin(2 3 )()2242 3 0,sin2 3 0, 3 , 3 .2 32 3222224424sin(2 3 ) 0,()式 0.24即sin2 sin3 cos2 cos3.曲線表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，選C。二、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）本題共有 6 小題，要求直接將答案寫在橫線上。7 將關(guān)于

10、 x 的多項(xiàng)式 f (x) 1 x x 2x 3 x19 x 20 表為關(guān)于 y 的多項(xiàng)式 g ( y) a a01y a2y 2 a19521 1y19 a20y 20 , 其中 y x 4. 則a0 a a120【答案】6【解析】由題設(shè)知， f (x) 和式中的各項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為 1，公比為 x 的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得： f (x) (x)21 1x 21 1 x 1x 1 . 令 x y 4, 得 g( y) ( y 4)21 1y 5, 取 y 1,有 a a a012 a20 g(1) 521 1.69 設(shè) 、 、 滿足0 2 ，若對(duì)于任意 x R, cos(x ) cos

11、(x ) cos(x ) 0, 則 。【答案】 4 .3【解析】設(shè) f (x) cos(x ) cos(x ) cos(x ), 由 x R ， f (x) 0 知，f () 0, f ( ) 0, f () 0, 即cos( ) cos( ) 1, cos( ) cos( ) 1, cos( ) cos( ) 1.cos( ) cos( ) cos( ) 1 . 0 2 , , , 2 , 4 , 又 , 233 . 只有 2 . 4 .33110 如圖，四面體DABC 的體積為【答案】31【解析】3AD ( BC AC sin 45) V2AD BC AC 1.21DABC,16即又3 A

12、D BC AC 23AD BC AC 3,26，且滿足ACB 45, AD BC 3, 則CD AC23等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) AD BC 1 時(shí)成立，這時(shí) AB 1, AD 面 ABC， DC 的一條邊在直線 y 2x 17 上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線 y x 2 上則該正方形面積的最小值為【答案】80【解析】設(shè)正方形的邊AB 在直線 y 2x 17 上，而位于拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C(x , y ) 、11D(x , y22) ， 則CD所 在 直 線 l 的 方 程 y 2x b, 將 直 線 l 的 方 程與 拋物線 方程 聯(lián) 立， 得x 2 2x b x1,2 1 b 1.令正方形邊長為a,

13、 則a 2 (x1 x ) 22( y1 y ) 22 5(x1 x ) 22 20(b 1). | 17 b |在 y 2x 17 上任取一點(diǎn)（6，,5），它到直線 y 2x b 的距離為a, a 5AC2、聯(lián)立解得b1 3, b2 63.a 2 80, 或a 2 1280. a 2min 80.三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）13 數(shù)列an滿足： a0 1, an1, n N.7an45a 2 36n2【解析】證明：（1）對(duì)任意n N , a為正整數(shù)；2 對(duì)任意n N , a a 1 為完全平方數(shù)。nnn1證明：（1）由題設(shè)得a1 5, 且an嚴(yán)格單調(diào)遞增將條件式變形得2

14、an1 7an45a 2n36, 兩邊平方整理得a 2n17anan1a 2n 9 0 a 2n7aan1na 2n1 9 0-得(a a)(a a 7a ) 0,a a , a a 7a 0 n1n1n1n1nn1nn1n1na 7a a.n1nb1由式及a0 1, a1 5 可知，對(duì)任意n N , an為正整數(shù)14 將編號(hào)為 1,2，9 的九個(gè)小球隨機(jī)放置在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，達(dá)到最小值的放法的概率（注： 如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）【解析】九個(gè)編號(hào)不同的小球放在圓周的九個(gè)等分點(diǎn)上，每點(diǎn)放一個(gè)，相當(dāng)于九個(gè)不同元素在圓周上8!的一個(gè)圓形排列，故共有

15、8！種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)因素，則本質(zhì)不同的放法有2種 5 分下求使 S 達(dá)到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從 1 到 9 有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對(duì)其中任一條路徑，設(shè)x , x12, xk是依次排列于這段弧上的小球號(hào)碼，則| 1 x1| | x x12| | xk 9 | (1 x1) (x1 x ) (x2k 9) | 1 9 | 8. 上式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)1 x x12 xk 9 ，即每一弧段上的小球編號(hào)都是由1 到 9 遞增排列因此 S最小 2 8 16由上知，當(dāng)每個(gè)弧段上的球號(hào)1, x , x12, xk,9確定之后，達(dá)到最小值的排序方案便唯一確定在 1,2，9 中，除 1 與 9 外，剩下 7

16、 個(gè)球號(hào) 2,3，8，將它們分為兩個(gè)子集，元素較少的一個(gè)子集共有C 07C 17C 27C 37 26 種情況，每種情況對(duì)應(yīng)著圓周上使 S 值達(dá)到最小的唯一排法，即有利事件總數(shù)是2 6種，故所求概率 P 26 1.8!3152AEy x 2 （1,1）作拋物線的切線，分別交 x 軸于D， y 在拋物線上，點(diǎn) E 在線段AC 上，滿足EC ;1點(diǎn) F 在線段BC 上，滿足 BF FC2，且 12 1 ，在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P 的軌跡方程1x 1 , 當(dāng) x時(shí)，EF 方程為： 3 y ( 1 1 3)x 3 1 , CD方程為： x 12， 不能02242412422 y 1 .12 重合， x

17、0 1, x 2 .312所求軌跡方程為 y (3x 1)2 (x ).33解二：由解一知，AB 的方程為 y 2x 1, B(0,1故 D 是 AB 的中點(diǎn)1), D(,0),2令 CD , tCP1 CACE 1 , t12 CBCF 1 2, 則t t12 3. 因?yàn)?CD 為ABC 的中線， S 2S 2S.CABCADCBD1CE CFSSS111t t33而t t CA CBCEFSCEPCFP( t ) 12 2t t , , P是21 2CAB2SCAD2S2tCBD122t t1 21 2ABC 的重心設(shè) P( x, y), C ( x0, x 2 ), 因點(diǎn)C 異于A，則

18、x00 1, 故重心P 的坐標(biāo)為0 1 xx 0 1 x0, (x 2 ), y 1 1 x 20 x 2 , 消去 x, 得 y (3x 1)2.10333330312故所求軌跡方程為 y (3x 1)2(x ).332022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題（二）及參考答案一、（本題滿分 50 分）證明：直線DE、DF 分別通過ABC 的內(nèi)心與一個(gè)旁心。如圖，在ABC 中，設(shè) ABAC，過 A 作ABC 的外接圓的切線，又以 A 為圓心，AC 為半徑作圓分別交線段 AB 于D；交直線于E、F。（2）再證DF 過ABC 的一個(gè)旁心連 FD 并延長交ABC 的外角平分線于I ，連II 、B I 、B I

19、，由（1）知，I 為內(nèi)心，111IBI =90=EDI ，D、B、 、I 四點(diǎn)共圓，111BI=BDI =90ADI11111=（BACADG）ADI=BACIDG，A、I、I 共線221I 是ABC 的BC 邊外的旁心1二、（本題滿分 50 分）設(shè)正數(shù)a、b、c、滿足cy bz a, az cx b;bx ay c.求函數(shù) f (x, y, z) x 2y 2z 2的最小值1 x1 y1 z求函數(shù) f (cos A 、cos B 、cos C ）= cos 2 A1 cos Acos 2 B1 cos B 2 C 1 cos C的最小值令u cot A, v cot B, w cot C,

20、則u, v, w R , uv vw wu 1,u 2 1且u 2 1 (u v)(u w), v 2 1 (u v)(v w), w2 1 (u w)(v w).cos 2 A1 cos Au 2u 2 13u 2 1 1 uu 2 u 2 (u 2 1(u 2 1 u)u 2 1u)u 2 13 u 2 uu 2 u u 2u 321(u v1u w),同理，cos 2 B v 2 v3 (1 1),cos 2 C w2 w3 (11).(u v)(u w) 1 cos B2u vu w1 cos C2u wv w1u 3 v 3v 3 w3u 3 w31 f u 2v 2w2 2 ( u

21、 v1v wu w) u 2 v 2 w2 1(u 2 uv v 2 )2(v 2 vw w2 ) (u 2 uw w2 ) (uv vw uw) 2. （ 取 等 號(hào) 當(dāng) 且 僅 當(dāng) u v w ， 此 時(shí) ，2a b c, x y z 1 ), f (x, y, z) 2 1 .min2三、（本題滿分 50 分）0當(dāng)n為平方數(shù),對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，定義函數(shù) f (n) 1當(dāng)n不為平方數(shù). n（其中表示不超過的最大整數(shù)，x x x).試求： 240k 1f (k ) 的值示例如下：i123456123456*則nf (a) n2kT ( j) nT (1) T (2) (n 1)T (3) T

22、(4) T (2n 1) T (2n)i 1i 1 j 1由此， 256f (k ) 15(16 k )T (2k 1) T (k ) k 1k 1記 a T (2k 1) T (2k ), k 1,2,15, 易得a 的取值情況如下：akk123456789101112131415k356678698881071010因此， 16nf (k) 15(16 k)ak 783 k 1k 12022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第 2 題的探討本文對(duì) 2022 年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2 題的解法及來歷作以探討，供感興趣的讀者參考。題 目 ： 設(shè) 正 數(shù)a 、 b 、 c 、 滿 足cy bz a ；

23、 az cx b;bx ay c ， 求 函 數(shù)f (x, y, z) x 2y 2z 2的最小值。1 x1 y1 z一幾種迷茫思路的分析這道題目初看起來比較平易，給人一種立刻想到直接使用Cauch 不等式的通暢思路的驚喜，殊不知， 這是一個(gè)極大的誤區(qū)，本題的難度和技巧正好在這里設(shè)置了較好的陷阱。思路一：由 Cauch 不等式知 f (x, y, z) x2y2z 2 (x y z)2u 21 x1 y1 z(記u x y z) u 3 9 63 x y z3 uu 31到此，在u0 的情況下，力圖使用函數(shù) f (x) x 的性質(zhì)無法得到最小值。x思路二：考慮到題目的條件是 6 個(gè)變量的 3

24、個(gè)等量關(guān)系，于是，可根據(jù)三個(gè)條件等式容易求出、用a、b、c 表達(dá)的式子：b 2 c 2 a 2c2 a 2 - b 2a 2 b 2 - c2x ;y ;z 2bc2ca2ab因?yàn)?a、b、c；、都是正數(shù)，所以，a 2 b 2c 2 0;b 2c 2- a 2 0;c2a 2- b 2 0 4, 9 f (x) x 1到此，似乎勝利的曙光就在眼前，立刻想到在區(qū)間2 內(nèi)使用函數(shù)的性質(zhì)，但也無法得到x1最小值，而此時(shí)的最大值正好與題目的最小值（由于函數(shù) f (x, y, z) 21cos2 Acos2 Bcos2 C 1 cos A1 cos B1 cos C的對(duì)稱性，可以猜測(cè)其最小值在 A=B=

25、C=600時(shí)達(dá)到）吻合，實(shí)際上，這是一條無用的信息（表明使用 Cauch2不等式過當(dāng)！），它是答題人再次陷入不能自拔的困境。俗話說得好，失敗是成功之母，上面的思路也昭示我們，對(duì)原式不能直接使用Cauch 不等式，需要再對(duì)原式做更好的更有用的恒等變形，可能是正確的途徑。二賽題的解答為證明本賽題，我們先證明如下一個(gè)引理。引理：在ABC 中，求證：ABCABCtan 2tan 2 tan 2 2 8sinsinsin222222等號(hào)成立的條件是ABC 為等邊三角形。證明：用向量方法證明如下 設(shè)i , j , k 是平面上的單位向量，且 j與k 成角為-A, k與i 成角為-B, i 與 j 成角為-

26、C,那么，ABC(i tan j tan k tan)2 0 ,所以222ABCtan2tan2 tan2222 2 tanA tan B cos C 2 tan B tan C cos A 2 tan C tan A cos B 2 tan222222A tan B (1 2sin 2 C ) 2 tan B tan C (1 2sin 2 A222222) CAB2 tantan(12sin 2)222 2 tan A tan B tan B tan C tan C tan A 222222 4 sinA sinB sin C (sin A2sin B2sin C2)222cos B co

27、s Ccos C cos AcosA cos B 2 4 sinA sinB sin C 222222sin A sin B sin C2222 cosA cos B cos C222 2 8sin A sin B sin C .222注意到，在ABC 中有熟知的等式： tan A tanB tanB tan Ctan Ctan A 1從而得證。222222有了上面的引理，本題的解答就容易多了，下面看本題的解法。 解：同思路二得到，以a、b、c 為對(duì)應(yīng)邊可以構(gòu)成一個(gè)銳角ABC，令 x cos A, y cos B, z cos C, 從而cos2 Acos2 Bcos2 C1 sin 2 A1

28、 sin 2 B1 sin 2 Cf (x, y, z) 1 cos A1 cos B1 cos CABC2 cos22 cos22 cos2222AABBCC14 sin 2cos214 sin 2cos214 sin 2cos222 22 22ABC2 cos22 cos22 cos2222AAAABBBBsin 2cos24 sin 2cos2sin 2cos24 sin 2cos22222 2222AB2 cos22 cos222CCCCsin 2cos2 4 sin 2cos22222C23 1 (tan 2 A tan 2 B tan 2 C ) 2(sin 2 Asin 2 B sin 2 C222222223 1 (tan 2 A tan 2 B