函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

1、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)第1頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù) 其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng) .則在復(fù)習(xí): f (x) 的 n 階泰勒公式若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 該鄰域內(nèi)有 :第2頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問(wèn)題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 第3頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28

2、分，星期一定理1 .各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式余項(xiàng)滿足:證明:令設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有第4頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一定理2.若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù),則這種展開(kāi)式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立 .第5頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1. 直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出

3、其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為0.驟如下 :展開(kāi)方法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式間接展開(kāi)法 利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式的函數(shù)展開(kāi)第6頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一例1. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù). 解: 其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足故( 在0與x 之間)故得級(jí)數(shù) 第7頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一例2. 將展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 得級(jí)數(shù):其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足第8頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可推出:第9頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5

4、月20日，9點(diǎn)28分，星期一例3. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解: 易求出 于是得級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 第10頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一推導(dǎo) 推導(dǎo)則為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為第11頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一稱為二項(xiàng)展開(kāi)式 .說(shuō)明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.由此得 第12頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)展開(kāi)式分

5、別為第13頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一例3 附注第14頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一2. 間接展開(kāi)法利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例4. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 因?yàn)榘?x 換成, 得將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù). 第15頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一例5. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解: 從 0 到 x 積分, 得定義且連續(xù), 域?yàn)槔么祟}可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂第16頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一例6.

6、將展成解: 的冪級(jí)數(shù). 第17頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一例7. 將展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解: 第18頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1) 直接展開(kāi)法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開(kāi)法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式式的函數(shù) .第19頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一當(dāng) m = 1 時(shí)第20頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一思考與練習(xí)1. 函數(shù)處“有泰勒級(jí)數(shù)”與“能展成泰勒級(jí)數(shù)”有何不同 ?提示: 后者必需證明前者無(wú)此要求.2. 如何求的冪級(jí)數(shù) ?提示:第21頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一思考題 1.將下列函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)解:x 1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,因此 第22頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一2. 將在x = 0處展為冪級(jí)數(shù).解:因此第23頁(yè)，共25頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)28分，星期一將函數(shù) 展開(kāi)成 x的冪級(jí)數(shù) ，并求其收斂域 (9分) . (2014級(jí)期末考試題)3.將函數(shù) 展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù) ，并求其收斂域 (10分) . (2015級(jí)期末考試題)4.第