巧用對稱妙解數(shù)學(xué)題

1、巧用對稱妙解數(shù)學(xué)題對稱變換是初中數(shù)學(xué)中最常用的一種方法，近年來各地的考試中也頻頻出現(xiàn)，較好的貫徹了新課程標(biāo)準(zhǔn)中所提到你的多維評價和過場評價的理念，本文就此類問題選取幾個例子，剖析解法，供讀者參考。巧用軸對稱解決函數(shù)問題yxABOAP一、（2011年四川省數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽）在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A（2,0）、B（3,0），P是直線y=x上的點，當(dāng)PA+PB最小時，試求P點的坐標(biāo)。y=x簡解：如圖，作A點關(guān)于直線y=x的對稱點A，則A在y軸上（因為直線y=x是一、三象限夾角的角平分線）A的坐標(biāo)為（0,2），連接AB，則AB與直線y=x的交點即為P點的位置。由A，B兩點坐標(biāo)可以求得直線AB的解析式為y

2、=， 聯(lián)立兩個解析式得方程組解得，故當(dāng)PA+PB最小時，P點的坐標(biāo)為P（1.2,1.2）評析：此題是利用初二上冊46頁軸對稱的應(yīng)用知識，求路程最短的問題。已知：直線a外兩點A、B，試在a上求一點P，使得PA+PB最短。aBAAPP此題只需作出點A或B關(guān)于直線a的對稱點，連接另外一點和這個對稱點，交點及時所求的點的位置。二、如圖，已知牧馬營地在P處，牧童每天要趕著馬群先到河邊飲水，再到草地吃草，然后回到營地，試設(shè)計出最短的放牧路線。 營房草地 （分析1）把河流和草地抽象為銳角AOB的兩條邊，營房抽象為AOB內(nèi)部的一點，建立幾何模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：“在銳角的兩邊上分別找一點，使它們與角

3、內(nèi)部的一點所組成的三角形周長最小”。（如圖）（分析2）過P點分別作PMOA、PNOB，垂足分別為M、N，此時PMN的周長是否最小？（如圖）ABOPP2P1MNABOP圖ABOP圖MN圖（分析3）分別作出P點關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，（如圖）連結(jié)P1M、 P2N，由軸對稱的性質(zhì)可得：PMP1M，PNP2N，那么PMN的周長P1MMNP2N，M、N在何處時P1M P2NMN最小呢？由學(xué)生上講臺拖動M、N，發(fā)現(xiàn)當(dāng)P1、M、N 、P2四點共線時P1M P2NMN最小。從而探索得出作法：（如圖）（1）分別作出P點關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2；（2）連結(jié)P1P2分別交OA 、OB于M、N兩點。

4、M、N兩點即為所求。ABOP圖P2P1NMABOP圖P2P1NMMN如何證明？（分析4）類似于問題1的方法，分別在OA、OB上另取一點M、N. （如圖） 要證PMN的周長最小，而PMP1M，PNP2N，PMP1M，PNP2N，只要證P1P2P1MP2NMN由公理兩點之間線段最短，問題得證。利用閃爍的彩色小球向?qū)W生展示這兩條線路，證明過程由學(xué)生課后完成。為了方便記憶，同時可以和問題1進行區(qū)別比較，把這個問題稱之為“牧童放馬”問題。三、.旋轉(zhuǎn)變換 例題：等腰直角三角形ABC中, AB=AC,A=90, M, N為斜邊BC上兩點， 并且MAN=45,求證:BM+CN=MN解：要證BM+CN=MN,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一個三角形上,所以,我們就設(shè)法將BM,CN,MN移到同一三角形上?？紤]到ABC是等腰三角形，且是直角三角形，將ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90.使AB與AC重合.得到ACD ，則NCD為直角三角形 只需證明MN=ND即可 因為MAN=45,所以BAM+NAC=45 ，即NAD=45又因為AM=AD所以ANDAMN 所以MN=ND，在直角NDC中，有ND=NC+DC，所以