《近世代數(shù)》教學(xué)大綱

1、近世代數(shù)Abstract algebra一、課程基本情況課程類別：專業(yè)主干課課程學(xué)分： 3 學(xué)分課程總學(xué)時： 48 學(xué)時，其中講課： 48 學(xué)時，實驗（含上機）： 0 學(xué)時，課外 0 學(xué)時課程性質(zhì)：必修課開課學(xué)期：第3學(xué)期先修課程： 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)適用專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)教 材：近世代數(shù)基礎(chǔ) 張禾瑞編 高等教育出版社 1978年修訂本開課單位： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院數(shù)學(xué)系二、課程性質(zhì)、教學(xué)目標和任務(wù)本課程是數(shù)學(xué)系本科生的一門專業(yè)主干課。它不僅在數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，而且在其它學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用，如理論物理、化學(xué)和計算機學(xué)科等。與此同時，近世代數(shù)的研究的方法和觀點，也對其他學(xué)科產(chǎn)生了越來越

2、大的影響。 本課程的教學(xué)目標在于培養(yǎng)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的嚴密的邏輯思維能力和規(guī)范的推導(dǎo)證明過程。 本課程教學(xué)任務(wù)是講授代數(shù)中典型的代數(shù)系統(tǒng)：群、環(huán)、域及其相關(guān)的代數(shù)性質(zhì)。其主要內(nèi)容包括（1）群的定義，循環(huán)群，n階對稱群，子群、不變子群，商群、群的同態(tài)基本定理的內(nèi)容及其性質(zhì)；（2）環(huán)、子環(huán)，理想、商環(huán)、整環(huán)，多項式環(huán)、域、唯一分解環(huán)，以及域的擴張概念。課程的重點在于：（1）掌握Larange定理并能夠計算或證明群的元素的階 （2）會證明子群和正規(guī)子群相關(guān)的問題且會應(yīng)用群的同態(tài)基本定理證明群的同構(gòu)（3）會證明理想和子環(huán)相關(guān)的問題且會應(yīng)用環(huán)的同態(tài)基本定理證明環(huán)同構(gòu)。（4）了解整環(huán)的分類。由于課時的原因，本

3、課程對西羅定理和伽羅瓦理論不做要求。三、教學(xué)內(nèi)容和要求第1章 基本概念（7學(xué)時）1.1集合、映射與變換（2學(xué)時）（1）了解集合的概念； （2）理解映射、變換的概念及其與函數(shù)的關(guān)系； （3）掌握一一映射的概念與性質(zhì)。重點：一一映射的性質(zhì)難點：一一映射的證明1.2代數(shù)運算與運算規(guī)律（2學(xué)時）（1）了解代數(shù)運算的實質(zhì)是映射； （2）理解交換律、結(jié)合律和分配律的定義； （3）掌握結(jié)合律的意義；重點：結(jié)合律存在的意義；難點：代數(shù)運算是可以定義的；1.3 同態(tài)與同構(gòu)（2學(xué)時）（1）了解同態(tài)的本質(zhì)是映射。（2）理解同態(tài)與同構(gòu)的定義，并會舉例（3）掌握同構(gòu)的證明重點：同態(tài)和同構(gòu)的定義難點：同態(tài)和同構(gòu)的證明1.

4、4 等價類與集合的分類（1學(xué)時）（1）了解集合分類的原則（2）理解等價關(guān)系的定義（3）掌握等價關(guān)系與集合分類之間的聯(lián)系。重點：等價關(guān)系的定義與實例難點：集合分類與等價關(guān)系的聯(lián)系第二章 群論（18學(xué)時）2.1 群和有限群的定義（3學(xué)時）（1）了解高等代數(shù)中已經(jīng)出現(xiàn)的群（2）理解群和有限群的定義（3）掌握單位元，逆元和消去律以及群的定義證明。重點：群和有限群的定義難點：相關(guān)的證明和舉例2.2 循環(huán)群，變換群與置換群（3學(xué)時）（1）了解變換群的定義和相關(guān)的性質(zhì)（2）理解置換群與變換群的關(guān)系（3）掌握置換的乘積，置換群、循環(huán)群的定義和性質(zhì)重點：置換的乘積，置換的階，循環(huán)群的分類難點： 循環(huán)群的證明，置

5、換的分解2.3 子群與陪集（4學(xué)時）（1）了解子群的定義（2）理解左右陪集的定義（3）掌握子群的判定及陪集的相等重點：子群的判定與陪集的計算難點：陪集相等在證明中的應(yīng)用。2.4 正規(guī)子群與群的同態(tài)基本定理（4學(xué)時）（1）了解正規(guī)子群與子群陪集之間的關(guān)系（2）理解正規(guī)子群的定義（3）掌握正規(guī)子群的判定和同態(tài)基本定理重點：正規(guī)子群的判定與應(yīng)用同態(tài)基本定理證明難點：應(yīng)用同態(tài)基本定理的證明2.5 正規(guī)子群與商群（4學(xué)時）（1）了解為何定義商群必須用正規(guī)子群。（2）理解商群的元素及運算（3）掌握商群的階，商群的計算重點：商群的定義及證明難點：商群的階與子群在群中指數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。第三章 環(huán)論（15學(xué)時）

6、3.1 環(huán)的定義（4學(xué)時）（1）了解環(huán)與群的關(guān)系（2）理解環(huán)的定義能找出高等代數(shù)中環(huán)的例子（3）掌握環(huán)中的特殊元素如幺元，零因子。重點：環(huán)的定義與舉例難點：無零因子與消去律 3.2 無零因子環(huán)，整環(huán)及域（4學(xué)時）(1) 了解無零因子環(huán)的特征（2）理解無零因子環(huán)，整環(huán)、除環(huán)域的定義（3）掌握整環(huán)、除環(huán)、域的證明重點：整環(huán)、除環(huán)、域的證明難點：整環(huán)、除環(huán)、域的證明3.3 子環(huán)，理想，多項式環(huán)（2學(xué)時）（1）了解子環(huán)的定義（2）理解理想的定義與多項式環(huán)的定義（3）掌握理想的證明重點：理想的定義與證明難點：多項式環(huán)3.4 環(huán)的同態(tài)，同態(tài)基本定理，極大理想（3學(xué)時）（1）了解環(huán)的同態(tài)（2）理解環(huán)的同態(tài)基

7、本定理（3）掌握環(huán)的同態(tài)的證明與極大理想的證明重點：環(huán)的同態(tài)的證明與極大理想的證明難點：環(huán)的同態(tài)的證明與極大理想的證明3.5 商環(huán)，剩余類環(huán)（2學(xué)時）（1）了解商環(huán)和剩余類環(huán)的定義（2）理解剩余類環(huán)計算（3）掌握整數(shù)環(huán)的商環(huán)重點：剩余類環(huán)的計算難點：剩余類環(huán)的計算第四章 整環(huán)里的因子分解（8學(xué)時）4.1理解素元、唯一分解、唯一分解環(huán)（4學(xué)時）（1） 了解素元，唯一分解的定義（2） 理解環(huán)中的單位和相伴元（3） 計算素元和單位重點：素元和單位，唯一分解難點：素元和單位，唯一分解4.2主整理環(huán)、歐氏環(huán)（4學(xué)時）（1）了解主理想環(huán)、歐式環(huán)的定義（2）理解主理想環(huán)、歐式環(huán)的區(qū)別和聯(lián)系（3）掌握兩種環(huán)的例子重點：主理想環(huán)、歐式環(huán)的區(qū)別和聯(lián)系難點：理解主理想環(huán)、歐式環(huán)的區(qū)別和聯(lián)系四、課程考核（1）作業(yè)等：作業(yè)： 8 次