《應(yīng)用隨機(jī)過程》課程教學(xué)大綱

1、應(yīng)用隨機(jī)過程課程教學(xué)大綱課程編碼：171400050課程性質(zhì)：專業(yè)核心必修課程適用專業(yè)： 統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)本科學(xué)生學(xué)時(shí)學(xué)分： 40學(xué)時(shí) 2.5學(xué)分所需先修課：數(shù)學(xué)分析、概率論編寫單位： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系一、課程說明 1、課程簡介隨機(jī)過程是研究隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科，在現(xiàn)代電子技術(shù)、金融、保險(xiǎn)、生物、經(jīng)濟(jì)和管理等方面都有著廣泛的應(yīng)用。它是數(shù)學(xué)類專業(yè)或非數(shù)學(xué)專業(yè)重要的應(yīng)用性課程。本課程將討論隨機(jī)過程的基本概念、泊松過程、馬爾可夫鏈、連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈、更新過程。通過對(duì)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本思想和方法, 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用隨機(jī)方法分析和解決實(shí)際問題的能力，并為

2、風(fēng)險(xiǎn)理論、統(tǒng)計(jì)學(xué)其他后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。 2、教學(xué)目的要求通過隨機(jī)過程課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握隨機(jī)過程的基本概念、基本理論，為學(xué)生深入學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和精算學(xué)專業(yè)的某些專業(yè)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用隨機(jī)過程的方法分析問題、解決問題的能力。3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是掌握幾個(gè)常用過程，如泊松過程、馬爾可夫鏈、生滅過程、更新過程、平穩(wěn)過程及布朗運(yùn)動(dòng)的基本概念，難點(diǎn)是掌握這些常用過程的基本理論及分析方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用隨機(jī)過程的思想方法開展科研工作和解決實(shí)際問題的能力。4、考核方式 本課程為考試課，期末考試為閉卷筆試，按百分制評(píng)定本課程的成績，其中平時(shí)成績占

3、20%，期末成績占80%。5、學(xué)時(shí)分配表章次教學(xué)內(nèi)容理論課學(xué)時(shí)數(shù)實(shí)驗(yàn)(實(shí)踐)課學(xué)時(shí)數(shù)1預(yù)備知識(shí)與隨機(jī)過程的基本概念402泊松過程及其推廣1043馬爾可夫鏈1025布朗運(yùn)動(dòng)326連續(xù)參數(shù)馬爾可夫鏈50小計(jì)32學(xué)時(shí)328總計(jì)40二、各部分教學(xué)綱要預(yù)備知識(shí)與隨機(jī)過程的基本概念(4學(xué)時(shí))教學(xué)目標(biāo)理解隨機(jī)過程的定義，了解隨機(jī)過程的例子，掌握有限維分布和數(shù)字特征。理解條件期望的定義及三個(gè)常用的性質(zhì)，掌握三個(gè)性質(zhì)的運(yùn)用，掌握矩母函數(shù)，了解常用概率分布的矩母函數(shù)，掌握矩母函數(shù)、特征函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，了解幾乎處處收斂和依概率收斂的含義和相互關(guān)系。本章重點(diǎn)掌握有限維分布和數(shù)字特征，條件期望常用的三個(gè)性質(zhì)，掌握矩母函

4、數(shù)，特征函數(shù)及其性質(zhì)。本章難點(diǎn)矩母函數(shù)、特征函數(shù)的拉普拉斯變換，幾乎處處收斂和依概率收斂的含義和相互關(guān)系。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 概率1回顧概率的相關(guān)概念樣本空間、可測(cè)空間概率測(cè)度事件獨(dú)立性第二節(jié) 隨機(jī)變量、分布函數(shù)及數(shù)字特征1 隨機(jī)變量與分布函數(shù)2 黎曼-斯蒂爾切斯積分3 數(shù)字特征3.1 數(shù)學(xué)期望3.2 方差3.3 協(xié)方差3.4 相關(guān)系數(shù)4 常用隨機(jī)變量的分布第三節(jié) 矩母函數(shù)、特征函數(shù)和拉普拉斯變換1 矩母函數(shù)1.1 定義1.2 常用概率分布的矩母函數(shù)2 特征函數(shù)2.1 定義2.2 性質(zhì)2.3 特征函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用3 拉普拉斯變換第四節(jié) 條件數(shù)學(xué)期望1 離散型隨機(jī)變量情形2 連續(xù)型隨機(jī)變量情形3 一般

5、隨機(jī)變量情形4 條件概率與條件分布函數(shù)5 條件數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)6 多元隨機(jī)變量的條件數(shù)學(xué)期望7 條件乘法公式與條件獨(dú)立性第五節(jié) 隨機(jī)過程的概念1 概念2 例子3 隨機(jī)過程的數(shù)字特征及有限維分布函數(shù)族第六節(jié) 隨機(jī)過程的分類1 獨(dú)立增量過程2 馬爾可夫過程3 平穩(wěn)過程及二階矩過程4 更新過程5 計(jì)數(shù)過程第二章 泊松過程及其推廣(14學(xué)時(shí))教學(xué)目標(biāo)了解計(jì)數(shù)過程，掌握計(jì)數(shù)過程中獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的含義，掌握泊松過程的兩個(gè)等價(jià)定義，理解兩個(gè)定義等價(jià)性的證明。了解泊松過程中事件的來到間隔序列的定義，掌握泊松過程的來到間隔序列為獨(dú)立同分布的指數(shù)隨機(jī)變量。掌握泊松過程中等待時(shí)間隨機(jī)變量的定義、概率密度函數(shù)。

6、 在了解順序統(tǒng)計(jì)量的基礎(chǔ)上，掌握泊松過程中來到時(shí)刻的條件分布，掌握利用條件分布解決排隊(duì)平均等待時(shí)間的方法。掌握非齊次泊松過程的定義。掌握復(fù)合泊松過程的定義，理解泊松過程與復(fù)合泊松過程的關(guān)系及本質(zhì)區(qū)別。理解更新過程的定義，理解泊松過程是一種特殊的更新過程，掌握更新函數(shù)的表達(dá)式，了解基本更新定理。本章重點(diǎn)泊松過程中關(guān)于發(fā)生時(shí)刻和次數(shù)的等價(jià)事件、時(shí)間間隔的分布、發(fā)生時(shí)刻的分布、基本更新定理、泊松過程中來到時(shí)刻的條件分布。本章難點(diǎn) 泊松過程中來到時(shí)刻的條件分布、更新函數(shù)的表達(dá)式。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 定義及其背景1 引例2 兩個(gè)等價(jià)定義第二節(jié) 相鄰事件的時(shí)間間隔，泊松過程與指數(shù)分布的關(guān)系1 計(jì)數(shù)過程2 相鄰

7、事件的時(shí)間間隔3 泊松過程與指數(shù)分布的關(guān)系第四節(jié) 到達(dá)時(shí)間的條件分布1 順序統(tǒng)計(jì)量2 泊松過程中到達(dá)時(shí)間的條件分布3 例子第六節(jié) 非時(shí)齊泊松過程1 非時(shí)齊泊松過程的定義2 例子第七節(jié) 復(fù)合泊松過程1 復(fù)合泊松過程的定義2 泊松過程與復(fù)合泊松過程的關(guān)系第九節(jié) 更新過程1 更新過程的定義2 泊松過程是一種特殊的更新過程第十節(jié) 若干極限定理與基本更新定理1 極限定理2 例子3 基本更新定理第十一節(jié) 更新方程與關(guān)鍵更新定理1 更新方程2 關(guān)鍵更新定理馬爾可夫鏈(12學(xué)時(shí))教學(xué)目標(biāo)掌握馬爾可夫鏈和馬爾可夫性的定義，掌握馬爾可夫鏈的特征及條件，能熟練寫出常見 Markov 鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣。 掌握切普曼-柯

8、爾莫哥洛夫方程以及聯(lián)合分布概率的計(jì)算。掌握馬爾可夫鏈互達(dá)，周期，常返，正常返，零常返、遍歷等概念。掌握馬爾可夫鏈的極限定理，掌握馬爾可夫鏈中平穩(wěn)分布、極限分布的概念。能夠利用平穩(wěn)分布求解 Markov 鏈的極限分布。本章重點(diǎn)互達(dá)，周期，常返，正常返，零常返概念的理解，馬爾可夫鏈的極限定理，馬爾可夫鏈中平穩(wěn)分布、極限分布的概念，切普曼-柯爾莫哥洛夫方程，聯(lián)合分布概率的計(jì)算、轉(zhuǎn)移概率矩陣的計(jì)算。本章難點(diǎn)互達(dá)，周期，常返，正常返，零常返概念的理解，利用平穩(wěn)分布求解 Markov鏈 的極限分布。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 定義與例子1 馬爾可夫鏈的定義、特征2 轉(zhuǎn)移概率矩陣的定義3 實(shí)例3.1 隨機(jī)游動(dòng)3.2 排

9、隊(duì)模型第二節(jié) 轉(zhuǎn)移概率矩陣1 隨機(jī)矩陣2 C-K方程第三節(jié) 狀態(tài)的分類1 馬爾可夫鏈互達(dá)，周期，常返，正常返，零常返、遍歷等概念2 首達(dá)時(shí)間與首達(dá)概率3 相關(guān)定理4 狀態(tài)分類的例子第四節(jié) 狀態(tài)空間的分解1 不可約閉集2 狀態(tài)空間分解定理3 實(shí)例第五節(jié) Pn的極限性態(tài)與平穩(wěn)分布1 馬爾可夫鏈的極限定理2 平穩(wěn)分布3 馬爾可夫鏈的極限分布4 利用平穩(wěn)分布求解馬爾可夫鏈的極限分布第五章 布朗運(yùn)動(dòng)(5學(xué)時(shí))教學(xué)目標(biāo)了解布朗運(yùn)動(dòng)的來由和本質(zhì)，了解布朗運(yùn)動(dòng)與隨機(jī)游動(dòng)的區(qū)別與聯(lián)系。掌握布朗運(yùn)動(dòng)過程的定義和獨(dú)立增量性，掌握將一般布朗運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的方法。了解布朗運(yùn)動(dòng)路徑的性質(zhì)。掌握獨(dú)立增量的密度函數(shù)，

10、聯(lián)合密度函數(shù)和條件密度函數(shù)。掌握布朗運(yùn)動(dòng)過程的首達(dá)時(shí)概念及概率函數(shù)，掌握布朗運(yùn)動(dòng)過程的最大值概念及概率函數(shù)。本章重點(diǎn)布朗運(yùn)動(dòng)與隨機(jī)游動(dòng)的區(qū)別與聯(lián)系、布朗運(yùn)動(dòng)過程的定義和獨(dú)立增量性，將一般布朗運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)、首達(dá)時(shí)及最大值的概率函數(shù)。本章難點(diǎn)將一般布朗運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，獨(dú)立增量的密度函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)和條件密度函數(shù)。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 隨機(jī)游動(dòng)與布朗運(yùn)動(dòng)的定義1 布朗運(yùn)動(dòng)的來由和本質(zhì)2 布朗運(yùn)動(dòng)與隨機(jī)游動(dòng)的區(qū)別與聯(lián)系3 布朗運(yùn)動(dòng)過程的定義和獨(dú)立增量性4 將一般布朗運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的方法第二節(jié) 布朗運(yùn)動(dòng)軌道的性質(zhì)1 布朗運(yùn)動(dòng)軌道的性質(zhì)2 例子第三節(jié) 首中時(shí)與最大值1 布朗運(yùn)動(dòng)過程的

11、首達(dá)時(shí)間的分布2 過零點(diǎn)的反正弦定理 第六章 連續(xù)參數(shù)馬爾可夫鏈(5學(xué)時(shí))教學(xué)目標(biāo)掌握連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈的定義性質(zhì)及其與離散時(shí)間馬爾可夫鏈的區(qū)別，掌握轉(zhuǎn)移速率的概念，掌握 Q 矩陣的概念，掌握柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程。了解生滅過程，了解純生過程及其與一般生滅過程的關(guān)系，了解尤爾過程及其與一般生滅過程的關(guān)系。本章重點(diǎn)柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程、轉(zhuǎn)移概率矩陣與Q 矩陣的計(jì)算。本章難點(diǎn)Q 矩陣的計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 定義與若干基本概念1 連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈的定義、性質(zhì)2 與離散時(shí)間馬爾可夫鏈的區(qū)別3 轉(zhuǎn)移速率的概念第二節(jié) 轉(zhuǎn)移率矩陣-Q矩陣及其概率意義1 Q 矩陣的概念2 Q 矩陣的計(jì)算第三節(jié) 柯爾莫哥洛夫向前向后微分方程1 柯爾莫哥洛夫向前和向后微分方程2 向前向后微分方程的應(yīng)用第四節(jié) 生滅過程1 生滅過程的定義2 純生過程3 尤爾過程2 生滅過程的實(shí)際例子三、使用教材及參考書使用教材：林元烈主編，應(yīng)用隨機(jī)過程，清華大學(xué)出版社，2002年.參考書：1 HYPERLINK /search.aspx?index=2&q=(%e7%be%8e)Sheldon+M.Ross t _blank (美)Sheldon M.Ross主編，