《幾何學(xué)》課程教學(xué)大綱

1、幾何學(xué)課程教學(xué)大綱課程編碼：171100020課程性質(zhì)：學(xué)科基礎(chǔ)必修課程適用專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)時(shí)學(xué)分： 60學(xué)時(shí)3.5學(xué)分所需先修課：高中數(shù)學(xué)編寫單位： 數(shù)信系編 寫 人：審 定 人：編寫時(shí)間： 一、課程說明 1、課程簡介解析幾何是大學(xué)本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)及信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它是數(shù)學(xué)分析、代數(shù)等許多數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生和發(fā)展的基礎(chǔ)和背景。又是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用的重要橋梁。它體現(xiàn)了形與數(shù)的結(jié)合，演繹法與解析法的結(jié)合。它的直觀性、實(shí)驗(yàn)性的特點(diǎn)啟示了許多新思想、新原理的誕生。因此幾何課程對(duì)于數(shù)學(xué)類專業(yè)大學(xué)生的綜合素質(zhì)的培養(yǎng)是十分重要的，有利于培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法解決

2、幾何問題的能力和空間想象能力，為今后學(xué)習(xí)其它后繼課程打下必要的基礎(chǔ)。為此，解析幾何課程擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生幾何思想，加強(qiáng)他們的幾何觀念的重要任務(wù)。2、教學(xué)目標(biāo)要求 解析幾何是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)及信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的極為重要的基礎(chǔ)課程之一，它的任務(wù)是使學(xué)生獲得向量代數(shù)、圖形與方程、空間解析幾何以及幾何變換等方面的系統(tǒng)知識(shí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析、射影幾何，微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)、物理學(xué)等后繼課的階梯，為后繼課學(xué)習(xí)奠基。也是提高人才的數(shù)學(xué)素質(zhì)的必備知識(shí)，是培養(yǎng)面向21世紀(jì)合格的中學(xué)數(shù)學(xué)教師以及其他行業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，是報(bào)考理工與經(jīng)濟(jì)類的碩士研究生的必考課程。解析幾何是形數(shù)結(jié)合的典型學(xué)科。學(xué)生通過本課程的學(xué)習(xí)能夠

3、系統(tǒng)掌握解析幾何的基本知識(shí)和基本理論；正確理解和應(yīng)用向量知識(shí)，熟練掌握和善于運(yùn)用坐標(biāo)法和向量工具把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程；以培養(yǎng)和提高用形數(shù)結(jié)合的方法解決問題的能力。 3、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)本課程從內(nèi)容上說不單是嚴(yán)格意義的空間解析幾何，還包含有仿射幾何和射影幾何的內(nèi)容。歐氏幾何（傳統(tǒng)解析幾何的內(nèi)容）仿射幾何和射影幾何在本課程中是有機(jī)地聯(lián)系起來的，講授中將以仿射幾何為主線，歐氏幾何作為其特殊情形，射影幾何看作其延伸。加強(qiáng)對(duì)學(xué)生幾何素質(zhì)的培養(yǎng)是幾何課程的重要目的，所有重要概念的定義都應(yīng)是幾何本義的。要強(qiáng)調(diào)幾何思想的傳授，如不變量、坐標(biāo)變換和點(diǎn)變換、幾何學(xué)的分類等等，使得學(xué)生通過學(xué)習(xí)能加深對(duì)幾何學(xué)的認(rèn)識(shí)。

4、在方法上，強(qiáng)調(diào)解析法與綜合法并重，并注重幾何直觀與推理能力得到培養(yǎng)?？臻g解析幾何中曲面方程的建立，由于缺乏空間抽象概念，是本課程的一個(gè)具體難點(diǎn)。這一難點(diǎn)應(yīng)充分利用“數(shù)形結(jié)合”，根據(jù)對(duì)空間圖形的分析加以解決。4、考核方式 本課程考核方式為：考試?？己顺煽冇善綍r(shí)作業(yè)及期末考試二部分組成，總成績由二部分按一定比例予以評(píng)定。1）平時(shí)作業(yè)成績占總成績的20%；2）期末考試采用閉卷形式，考試前三周由授課教師或題庫中提供。題型可采用填空、選擇、判斷、解答、證明及綜合等，成績占總成績的80%。期末考試方法：1考試方法：閉卷筆試。2考試時(shí)間：120分鐘。3題型及成績比例。試卷題型分客觀題和主觀題兩大類，其中客觀

5、題約占40%50%，主觀題約占50%60%?？陀^題包括單項(xiàng)選擇題、問答題、填空題等。主觀題包括計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題、綜合技巧題等。5、學(xué)時(shí)分配表章次教學(xué)內(nèi)容理論課學(xué)時(shí)數(shù)實(shí)驗(yàn)（實(shí)踐）課學(xué)時(shí)數(shù)第一章向量與坐標(biāo)14第二章軌跡與方程4第三章平面與空間直線14第四章柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面14第五章二次曲線的一般理論14小計(jì)60總計(jì)60二、各部分教學(xué)綱要第一章 向量與坐標(biāo)（14學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)向量代數(shù)在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，通過向量代數(shù)基本知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生能以向量為工具，研究并簡便地解決某些幾何問題。本章主要討論向量的兩類運(yùn)算：線性運(yùn)算和度量運(yùn)算，以及它們的性質(zhì)和應(yīng)用?；疽笫?/p>

6、：透徹理解有關(guān)向量的基本概念。牢固掌握向量的各種運(yùn)算及其對(duì)應(yīng)的幾何意義。熟練地利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算。熟練應(yīng)用向量法處理幾何問題。5利用向量代數(shù)的知識(shí)解決某些初等幾何問題。本章重點(diǎn)向量的概念、向量的線性運(yùn)算、向量的坐標(biāo)、向量的乘積運(yùn)算、向量在幾何上的應(yīng)用以及利用向量知識(shí)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。本章難點(diǎn) 向量的乘積運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容向量的概念向量的加法數(shù)量乘向量向量的線性關(guān)系與向量的分解標(biāo)架與坐標(biāo)向量在軸上的射影兩向量的數(shù)量積兩向量的向量積三向量的混合積三向量的雙重向量積思考題向量為什么不能比較大??？兩向量為什么永遠(yuǎn)共面？2、什么情況下兩向量的比值有意義?3、仿射坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的本質(zhì)區(qū)別是什么？

7、4、內(nèi)積的運(yùn)算律與多項(xiàng)式的運(yùn)算律是否一致？第二章 軌跡與方程 （4學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)上一章介紹了向量并建立了坐標(biāo)系，使得空間點(diǎn)有了坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上這一章將進(jìn)一步建立起作為點(diǎn)的軌跡的曲線與曲面和其方程的聯(lián)系，也就是曲線和曲面都可以用其方程來表示，這樣幾何問題也就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，我們也就可以用代數(shù)的方法來研究幾何了。本章重點(diǎn) 理解并掌握求平面曲線與曲面的普通方程和空間曲線的一般方程的方法，以及能熟練地利用向量來求平面上或空間中的有質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡的參數(shù)方程。本章難點(diǎn) 正確理解在化簡軌跡方程、參數(shù)方程與普通方程（一般方程）的互化時(shí)方程的等價(jià)問題，并能初步正確處理這類問題。教學(xué)內(nèi)容平面曲線的方程曲面的

8、方程 1、曲面的方程 2、曲面的參數(shù)方程 3、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系 第三節(jié) 空間曲線的方程思考題空間曲線的普通方程與參數(shù)方程可以一對(duì)一互化嗎？第三章 平面與空間直線（14學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo)本章通過圖形與方程對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生能夠用坐標(biāo)法及向量法建立圖形的方程。 由于平面和直線是最簡單的幾何圖形，又是空間解析幾何的重要內(nèi)容，本章充分利用向量作為工具，在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)討論平面和空間直線方程的各種形式，以及點(diǎn)、平面和直線之間的位置關(guān)系，為研究復(fù)雜的圖形打下基礎(chǔ)。本章重點(diǎn)1了解參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用。2理解和掌握平面與三元一次方程之間的互相關(guān)系。3能夠熟練地根據(jù)不同的已知條件導(dǎo)出平面和直線方程的各種形式。 4

9、. 掌握并靈活運(yùn)用點(diǎn)、平面、直線之間有關(guān)距離、夾角、平行、垂直的公式，進(jìn)行某些幾何量的運(yùn)算。5.掌握幾何條件與代數(shù)條件（方程）之間的互相轉(zhuǎn)化。本章難點(diǎn) 平面束方程的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容平面的方程由平面上一點(diǎn)與平面的方位向量決定的平面方程平面的一般方程平面的法式方程平面與點(diǎn)的相關(guān)位置點(diǎn)與平面的距離平面劃分空間問題，三元一次不等式的幾何意義 第三節(jié) 兩平面的相關(guān)位置第四節(jié) 空間直線的方程由直線上一點(diǎn)與直線方向決定的直線方程直線的一般方程 第五節(jié) 直線與平面的相關(guān)位置 第六節(jié) 空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置空間兩直線的相關(guān)位置空間兩直線的相關(guān)位置空間兩直線的夾角兩異面直線間的距離與公垂線方程 第八節(jié) 平面束 第四

10、章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面(14學(xué)時(shí))教學(xué)目標(biāo)本章介紹的幾種常見空間曲面在數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)中都有廣泛的應(yīng)用，它們是空間幾何的基本內(nèi)容。本章首先根據(jù)曲面的幾何特點(diǎn)導(dǎo)出方程。如：柱面、錐面及旋轉(zhuǎn)曲面。而對(duì)另一類二次曲面，則是由它們的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)及形狀，最終，通過對(duì)直紋面的研究使學(xué)生更深入認(rèn)識(shí)曲面的本質(zhì)。本章重點(diǎn)理解和掌握曲面與空間曲線的一般形式， 2.掌握幾何條件與代數(shù)條件（方程）之間的互相轉(zhuǎn)化。3.掌握幾種常見曲面的形成規(guī)律，會(huì)由已知條件導(dǎo)出曲面方程。4.根據(jù)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，研究其幾何形狀及特性。本章難點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)曲面方程的建立；直母線方程的應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容柱面柱面空間曲線的

11、射影柱面錐面旋轉(zhuǎn)曲面橢球面雙曲面單葉雙曲面雙葉雙曲面拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線 第五章 二次曲線的一般理論（14學(xué)時(shí)）教學(xué)目標(biāo) 在不同的坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)不相同，從而圖形方程也不相同。對(duì)于給定的圖形，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系，可使其方程最簡單。本章將利用線性代數(shù)中的矩陣知識(shí)討論坐標(biāo)變換的一般規(guī)律，即給出點(diǎn)、向量和圖形的坐標(biāo)變換的公式。同時(shí)，以平面上的二次曲線為典型例子進(jìn)行討論，提出“不變量”等重要幾何思想。本章重點(diǎn)了解仿射變換的一般理論，會(huì)求直角坐標(biāo)變換的過度矩陣、正交矩陣。會(huì)利用移軸、轉(zhuǎn)軸變換化簡二次曲線方程。熟練應(yīng)用不變量判別二次曲線的類型。會(huì)求二次曲線的中心、漸近線、直徑、切線、主直徑及主方向；掌握中心型及非中心型二次曲線的化簡及作圖。本章難點(diǎn)理解仿射變換的一般理論；“不變量”的應(yīng)用；二次曲線的化簡。教學(xué)內(nèi)容 第一節(jié) 二次曲線與直線的相關(guān)位置 第二節(jié) 二次曲線的漸近方向、中心、漸近線 1.二次曲線的漸近方向 2.二次曲線的中心與漸近線第三節(jié) 二次曲線的切線第四節(jié) 二次曲線的直徑 1.二次曲線的直徑 2.共軛方向與共軛直徑 第五節(jié) 二次曲線的主直徑與主方向第七節(jié) 應(yīng)用不變量化簡二次曲線的方程 1.不變量與半不變量 2.應(yīng)用不變量化簡二次曲線的方程 三、使用教材及參考書1、指定教材呂林根、許