2019屆高考理科數(shù)學一輪復習學案第57講二項式定理(含解析)

1、2019屆高考理科數(shù)學一輪復習優(yōu)選教學設計：第57講二項式定理(含解析)2019屆高考理科數(shù)學一輪復習優(yōu)選教學設計：第57講二項式定理(含解析)9/92019屆高考理科數(shù)學一輪復習優(yōu)選教學設計：第57講二項式定理(含解析)第57講二項式定理考試說明會用二項式定理解決與二項張開式有關的簡單問題.考情解析真題再現(xiàn)2017-2013課標全國真題再現(xiàn)12017全國卷(1)6張開式中x2的系數(shù)為().+xA.15B.20C.30D.35解析C(1+x)6的張開式中x2的系數(shù)為,x4的系數(shù)為,所以(1+x)6張開式中x2的系數(shù)為=30.2.2017全國卷(x+y)(2x-y)5的張開式中x3y3的系數(shù)為(

2、)A80B40.-.-C40D80.解析C由二項式定理可得,原式張開式中含x3y3的項為x(2x)2(-y)3+y(2x)3(-y)2=40 x3y3,則x3y3的系數(shù)為40.32015全國卷(2)5的張開式中,52的系數(shù)為().x+x+yxyA10B20.C.30D.60解析C(x2+x)+y5的通項Tr+1=(x2+x)ry5-r,由題意取r=3,得T4=(x2+x)3y2=(x+1)3x3y2,記(x+1)3的通項Tr+1r,由題意得r=2,所以52的系數(shù)為30=xxy=.42013全國卷已知(1)(1+x)5的張開式中x2的系數(shù)為5,則a=().+axA.-4B.-3C.-2D.-1解

3、析D已知(1+x)(1+x)5的張開式中,x2的系數(shù)為+a=5,則a=-1,應選D.5.2013全國卷設m為正整數(shù),(x+y)2m張開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1張開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=()A.5B.6C.7D.8解析B(x+y)2m張開式的二項式系數(shù)的最大值是,即a=;(x+y)2m+1張開式的二項式系數(shù)的最大值是,即b=.13a=7b,13=7,13=7,易得m=6.62016全國卷(2x+)5的張開式中,3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案).x答案10解析張開式的通項為Tr+1=25-r,令5-=3,得r=4,故所求系數(shù)為2=10.7.2015全

4、國卷(a+x)(1+x)4的張開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,則a=.答案3解析(a+x)(1+x)4的張開式中x的奇數(shù)次冪項一部分來自第一個因式取a,第二個因式取x及x3;另一部分來自第一個因式取x,第二個因式取x0,x2及4所以系數(shù)之和為8832,所x.a+a+=a+=以a=3.8.2014全國卷(x-y)(x+y)8的張開式中x2y7的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案)答案-20解析(x+y)8的張開式中xy7的系數(shù)為=8,x2y6的系數(shù)為=28,故(x-y)(x+y)8的張開式中x2y7的系數(shù)為8-28=-20.9.2014全國卷(x+a)10的張開式中,x7的系數(shù)為15,則a=.(用數(shù)

5、字填寫答案)答案解析張開式中x7的系數(shù)為315,即3,解得a=.a=a=2017-2016其他省份近似高考真題1.2016四川卷設i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的張開式中含x4的項為()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4解析A由題可知,含x4的項為x4i2=-15x4.2.2017山東卷已知(1+3x)n的張開式中含有x2項的系數(shù)是54,則n=.答案4解析由于Tr+1=(3x)r,所以x2的系數(shù)為32,由32=54得n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),故n=4.32017浙江卷已知多項式(1)3(2)2514233245,則4,5.x+x+=x+ax+ax+a

6、x+ax+aa=a=答案164解析由題意,得a4是張開式中的一次項系數(shù),則41222+132116;5是張開式中的a=a常數(shù)項,則a5=1322=4.4.2016北京卷在(1-2x)6的張開式中,x2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)答案60解析張開式的通項Tr+1=16-r(-2x)r=(-2)rxr,令r=2,得x2的系數(shù)為(-2)2=60.5.2016上海卷在-n的二項張開式中,所有項的二項式系數(shù)之和為256,則常數(shù)項等于.答案112解析由題意得n所以n=8,則二項張開式的通項為T=()8-rrr得2=256,-=(-2),令-r=0,r+1r=2,所以常數(shù)項為T3=112.6.2016天津卷x2

7、-8的張開式中x7的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)答案-56解析張開式的通項r+1(x28-rr(1)rx16-3r,由163r=7,得r=3,所以所求系數(shù)為(-1)3=-56.)T=-=-【課前雙基牢固】知識聚焦1.r+12.相等2n2n-1對點演練1.16解析由題意得=,所以n=15,故張開式共有16項.2.9解析二項式x+12T=x12-rr=0,得r=8,即常數(shù)項是張開式的通項為=2,令12-r+1第9項.328解析二項張開式的通項為r+18-r(-1)r,令8-5,得r=2,所以含5項的系數(shù)為.T=x=x(-1)228=.4解析令1,得1412345,令x=-1,得

8、.-=ax+ax+ax+ax+axx=-=a+a+a+a+a-1+4=-a1+a2-a3+a4-a5,2(a1+a3+a5)=+,解得a1+a3+a5=.5280解析二項張開式的通項為r+1(-2)r(-2)rr,當r=3時,4(2)33=-2803,所.-T=x=xT=-xx以第4項的系數(shù)為-280.61解析由題意得2n32,所以5令x=1,得各項系數(shù)的和為(1-2)51.-=n=.=-7180解析(1)102(1-x)10,其張開式的通項為(r10-r(1-xrr=8,得r+11)2),令.+x=-T=-a8=4=180.8.-15解析(x+1)5(x-2)=x(x+1)5-2(x+1)5

9、,張開式中含有x2的項為-20 x2+5x2=-15x2,故x2的系數(shù)為-15.【課堂考點研究】例1思路點撥(1)第一依照張開式的通項求得含x3項的項數(shù),爾后再利用張開式的通項求其系數(shù)第一依照張開式的通項求得常數(shù)項的項數(shù),爾后再利用張開式的通項求常數(shù)項.;(2)(1)A(2)B解析(1)(1-2x)5的張開式的通項為Tr+1=(-2)rxr,令r=3,得x3的系數(shù)為(-2)3=-80,應選A.(2)二項張開式的通項為Tk+1=x6-k-k=x6-k(-1)k=(-1)k,要使其為常數(shù),則6-k=0,即54=15.k=4,故常數(shù)項為T=(-1)變式題(1)A(2)20解析(1)x-5的張開式的通

10、項為r+15-r()rx5-2r令52r=3,解得T=x=-a.-r=1,3的系數(shù)為-a30,則實數(shù)6應選Ax=a=-.(2)張開式的通項為r+1(2x)r2r2r-53r-10 x2r-5,令253,得r=4,故x3的系數(shù)是2T=x=r-=12-104520,應填20.2=例2思路點撥(1)利用賦值法,先求各項系數(shù)和,為4n,二項式系數(shù)和為2n,求出6,爾后再利用張開式n=的通項求x3的系數(shù)即可;(2)利用二項張開式的通項,將絕對值符號去掉得12|+|a3|+|a|+|a+|a9|=-a1+a2-a3+-a9,令x=0得a0=1,令x=-1得a0-a1+a2-a3+-a9=29,相減可得.(

11、1)C(2)D解析(1)由題意知r+16-r=3r,令6-=3,得r=2,=64,得n=6,張開式的通項為T=x則x3的系數(shù)為32=135.應選C.令x=0,得a0=1,令x=-1,得|a1|+|a2|+|a3|+|a9|=1-(-1)9-1=29-1=511.變式題(1)D(2)-4或2解析(1)由于n=6是偶數(shù),所以張開式共有7項,其中中間一項的二項式系數(shù)最大,其二項式系數(shù)為m=20,含x5項的系數(shù)為n=(-1)2=-12,則=-=-,應選D.(2)由x2+nn可得n=6,再由x2+n的張開式中二項式系數(shù)和為2=64,的張開式中所有項的系數(shù)和為(1+a)6=729,可得a=-4或a=2.例

12、3思路點撥依照二項式定理,將(1+x)n張開式中含x2項的系數(shù)分別求出,再相加.D解析張開式中x2項的系數(shù)是+=+=+=,所以x2項的系數(shù)是=220,應選D.例4思路點撥分別找出(-1)4的張開式中含x的項及常數(shù)項,再找出(x-1)2的張開式中含x的項及常數(shù)項,最后得出(-1)4(x-1)2的張開式中含x的項的系數(shù).D解析由于(-1)4(x-1)221(221),所以(-1)4(x-1)2的張開式中,含x=x-+x-+x-x+項的系數(shù)為-2=4,應選D.例5思路點撥將x2-整體看作一項,利用二項式定理張開,再考慮張開式中哪些項含有常數(shù)項,相加得所求張開式中的常數(shù)項.117解析原式可化為x2-+

13、34=x2-4+3x2-3+9x2-2+27x2-+81,由于二項式2n的張開式的通項為r+1=x2n-2r(1)r2n-3r,令23,適合3時,r=2,此時對應的項是x-T=-xn=rn=(-1)23,所以常數(shù)項的系數(shù)為33481117,應填117.=+=增強演練1A解析x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32,得a=-3,應選A.=.2.2解析23n=n+1解得n=5,所以log25=2.令x=1可得a+a+a+a=2+2+2+2=2-2=62,012nn3.-12解析(x2-x-2)3=(x-2)3(x+1)3,所以張開式中含x項的系數(shù)為(-2)3+(-2)2=-24+12=-12.4.120解析

14、xy3的系數(shù)為2=120.5.-180解析由題意得,x-(2x-1)6的張開式中含x3的項為x(2x)2(-1)4+(2x)4(-1)2=-180 x3,所以張開式中x3的系數(shù)為-180.6.-84解析由于(1+y3)x-n(nN+)的張開式中存在常數(shù)項,則1+y3中的y3與x-n的張開式中含項的乘積即為所求,x-n張開式的通項為Tr+1=(-1)rxn-3ry-r,令n-3r=0且-r=-3,得n=9,r=3,所以常3數(shù)項為(-1)=-84.例6思路點撥由題意結合二項式定理即可證得題中的結論.nnnn=m+n證明:由f(n,1)=mfn,得(1+m)=m1+,則1+m=m+,所以m=.又f2

15、017,=1+2017120171+12216,=+=而f-2017,=1+-2017=1+-20176f-2017,.例7思路點撥由題意求得首項和公差,據(jù)此可得數(shù)列的通項公式an.解:由題意,?m,又mN,m=2,a1=-=100.7777-15=(194+1)77-15=+(194)+(194)77-15=(194)+(194)+(194)76-19+5,7777-15除以19的余數(shù)為5,即n=5.-5張開式的通項為r+1=(-1)r,令5150,得r=3,T=r-=公差d=(-1)3=-4,an=a1+(n-1)d=104-4n.增強演練1.B解析利用二項式定理張開得883+6=(7+1)83+6=783+782+72+7+1+6=72M+837+7(M是正整數(shù))=49M+4912=49N(N是正整數(shù)),883+6被49除所得的余數(shù)是0.應選B.20或7解析依照二項式定理可知,7n7n-17n-27(71)n-18n1,又由于.+=+=-8n-1=(9-1)n-1=9n+9n-1(-