高數(shù) 微分方程應(yīng)用

1、高數(shù) 微分方程應(yīng)用1第1頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四例7.2.1求微分方程的通解解:分離變量 兩邊積分得所以 例7.2.2求初值問題的特解.解:將已給方程分離變量兩邊積分得將代入得所以特解為2第2頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四補(bǔ)充例題:1.解:當(dāng)時(shí),是方程的解.是奇解當(dāng)時(shí),分離變量兩邊積分得3第3頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四2.在化學(xué)動力學(xué)中,用單位時(shí)間內(nèi)反應(yīng)物濃度的減少量或反應(yīng)生成物的增加量表示反應(yīng)速度,若反應(yīng)速度與當(dāng)時(shí)反應(yīng)物的濃度成正比,則稱為一級反應(yīng).設(shè)在時(shí)刻反應(yīng)物的濃度為,初始濃度為,求反應(yīng)物濃度隨

2、時(shí)間的變化規(guī)律.解:依題意列出微分方程分離變量得通解當(dāng)時(shí),初始濃度為得時(shí)間為半衰期.4第4頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四2.齊次微分方程:方程的解法:通常是通過變換,把齊次方程化為可分離變量微分方程,求解.是的連續(xù)函數(shù)()定義:形如的微分方程稱為齊次方程.(7.2.2)令代入(7.2.2)式得分離變量積分得5第5頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四例7.2.3解方程解:原方程可寫為設(shè)兩端積分令得或6第6頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四解:令得兩邊積分得所以通解為例7.2.4求方程的解7第7頁，共33頁，2022年，5月

3、20日，20點(diǎn)45分，星期四定義:形如的方程稱為一階線性微分方程.當(dāng)時(shí),稱為一階線性齊次方程.當(dāng)時(shí),稱為一階線性非齊次方程.一階線性齊次微分方程的通解:分離變量兩邊積分所以通解為(為任意常數(shù))3.一階線性微分方程8第8頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四積分得是的一個函數(shù),所以令其等于則非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解:在的兩邊同時(shí)除以得9第9頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四“常數(shù)變易法”通常把齊次方程通解中任意常數(shù)變易為待定函數(shù)的求解方法,稱為常數(shù)變易法.求設(shè)是方程的解10第10頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45

4、分，星期四代入式得所以非齊次方程的通解為11第11頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四例7.2.5解方程解法1:“用常數(shù)變易法”先解對應(yīng)的齊次方程齊次方程的通解:代入方程得用常數(shù)變易法 設(shè)或所以原方程的通解為12第12頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四解法2:通解為13第13頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四例7.2.6求的通解(以為未知函數(shù)的一階線性非齊次方程.)方程的通解為解:14第14頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四伯努利方程的解法:將方程的兩邊同除以得令則4.伯努利方程定義:形如的方程稱為伯

5、努利方程.其中為常數(shù).當(dāng)時(shí),為可分離變量微分方程.當(dāng)時(shí),為一階線性非齊次微分方程.15第15頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四代入方程得是以為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程.代入通解即可.16第16頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四例7.2.7求方程的通解.解:方程兩邊同除以得令代入上式得方程的通解為原方程的通解為17第17頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四例題:一容器內(nèi)盛有清水90升,現(xiàn)將每升含鹽量為4克的鹽水以每分鐘6升的速率注入容器,不斷攪拌使混合液迅速均勻，并以沒分鐘升的速率流出容器，問在時(shí)刻容器的含鹽量是多少？

6、解：設(shè)在時(shí)刻，容器內(nèi)含鹽量為，在時(shí)間內(nèi)鹽的改變量）（相應(yīng)設(shè)注入與流出的鹽的量分別為平均變化率當(dāng)時(shí)時(shí)刻的瞬時(shí)改變速度升分18第18頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四即：容器內(nèi)某個量的變化率注入量的變化率流出量的變化率整理得代入通解公式求解.19第19頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四一室模型：把機(jī)體當(dāng)著一個動力學(xué)上的同質(zhì)單元，使用于給藥后，藥物瞬即分布到血液及其他組織中，并達(dá)到動態(tài)平衡表室的容積，通常稱為藥物的表面分布容積為時(shí)間時(shí)體內(nèi)的藥量入出分別表示藥物給藥和消除速率藥物動力學(xué)室模型:為了揭示藥物在體內(nèi)的動力學(xué)規(guī)律，便于用數(shù)學(xué)方法處理，在藥物吸收

7、，分布代謝動力學(xué)中，廣泛采用簡化的 室模型來研究藥物在體內(nèi)的和排泄的時(shí)間過程.給藥消除出入20第20頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四一室模型的一般動力學(xué)方程為入出通常假定消除是一級速率過程，即出其中為一級速率常數(shù).將代入有機(jī)體內(nèi)藥量的變化規(guī)律由給藥速率入而定.入單位時(shí)間內(nèi)室中藥物的變化率等于輸入與輸出之差21第21頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四按三種給藥途徑建立相應(yīng)的一室模型快速靜脈滴注在快速靜脈注射情況下,可以認(rèn)為一個劑量是瞬時(shí)輸入到房室內(nèi)的,沒有吸收過程,因?yàn)槿? 0,這時(shí)體內(nèi)藥量減少的速度與當(dāng)時(shí)體內(nèi)藥量成正比,初始條件為.所以由式得解

8、之，并代入初始條件，得描述了快速靜脈注射后，機(jī)體內(nèi)的藥量隨時(shí)間的變化規(guī)律.因?yàn)檠帩舛扔煞匠虄蛇呁醚帩舛入S時(shí)間的變化規(guī)律, 即22第22頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四其中表示初始(時(shí))血藥濃度.恒速靜脈滴注以恒定速率作靜脈給藥時(shí),入初始條件為,所以由式得,解方程得兩邊同除以得血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律為口服或肌肉注射在這種給藥情況下,大多數(shù)藥物輸入室內(nèi)(吸收入血)的過程可作為一級過程處理,有23第23頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四入其中表示在時(shí)刻“吸收部位”的藥量，為一級吸收速率常數(shù).為所給劑量中可吸收的分?jǐn)?shù)(),稱為生物利用度.此時(shí)

9、方程為解之,得滿足初始條件的解為兩邊同除以得血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律為24第24頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四圖形為求最大血藥濃度(峰濃度)及其到達(dá)的時(shí)間達(dá)峰時(shí)).由式得令得代入得(曲線)稱為25第25頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四由于,此時(shí),代入化簡得在藥物動力學(xué)中,曲線下的總面積(AUC)有重要作用,這是由于在一定條件下,(AUC)能反映藥物最終吸收的程度.由式可計(jì)算得顯然,在一定劑量,與吸收分?jǐn)?shù)成正比.26第26頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四關(guān)于腫瘤生長的幾個常見數(shù)學(xué)模型腫瘤的生長模型是指描述腫瘤大小(體

10、積、重量或細(xì)胞數(shù)等)與時(shí)間關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表達(dá)式.指數(shù)生長模型: 假設(shè)腫瘤體積變化率與當(dāng)時(shí)腫瘤的體積成正比,若在時(shí)間腫瘤體積為速率常數(shù)為,則有分離變量,并帶入初始條件得其解為其中為開始觀察的時(shí)間.通常把這種用指數(shù)函數(shù)描述的生長稱為指數(shù)生長,把指數(shù)函數(shù)稱為指數(shù)生長模型,其圖形稱為指數(shù)生長曲線.指數(shù)生長模型27第27頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四是一連續(xù)型模型,體積隨時(shí)間的增大而迅速單調(diào)遞增,通常把腫瘤體積增大一倍所需要的時(shí)間稱為腫瘤倍增時(shí)間,記為,倍增時(shí)間是研究腫瘤生長、分析腫瘤性質(zhì)和類型等問題的重要參數(shù).在指數(shù)生長的情況下,腫瘤的倍增時(shí)間為常數(shù).將常數(shù)代入式,且令得設(shè)

11、腫瘤近似為球形,為直徑,因且若按直徑計(jì)算,便有臨床上常用該式推算腫瘤的大小.28第28頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四Gompertz模型研究表明,隨著腫瘤的增大,倍增時(shí)間也不斷延長,即不是常數(shù),可假設(shè)的變化率隨的增大而減少,即其中為正常數(shù),于是腫瘤生長的數(shù)學(xué)模型為若初始條件為:則由式解得29第29頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四將式代入式,得求得其解為符合Gompertz模型生長的腫瘤，其倍增的時(shí)間為Logistic模型在腫瘤生長過程中,由于營養(yǎng)供應(yīng)受到限制等原因,將會阻滯自身的繼續(xù)生長,故有30第30頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四其中、為正常數(shù).假設(shè)初始條件為求解貝努利方程得滿足初始條件的解為稱為logistic方程,也稱logistic生長模型.當(dāng)時(shí),故是腫瘤生長的極限值.符合此模型腫瘤生長的倍增時(shí)間為31第31頁，共33頁，2022年，5月20日，20點(diǎn)45分，星期四漢英詞匯對照可分離變量的微分方程 separable equation一階線性微分方程 linear first-order differential equation一階齊次線性微分方程 homegeneous linear first-order differential equatio