頻域分析信號(hào)的正交分解

1、頻域分析信號(hào)的正交分解第1頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四第2頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四0.0 信號(hào)的正交分解 0.0.1 矢量的正交分解 1. 正交矢量 圖 0.0-1 兩個(gè)矢量正交 兩矢量V1與V2正交時(shí)的夾角為90，不難得到兩正交矢量的點(diǎn)積為零， 即 第3頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四圖 0.0-2 矢量的近似表示及誤差 2. 非正交矢量的近似表示及誤差 用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，則誤差矢量顯然，當(dāng)兩矢量V1與V2正交時(shí)，c12=0，即V1V2=0。 oV2V1qVec12V2V2第4頁(yè)，

2、共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四3. 矢量的分解 圖 3.0-3 平面矢量的分解 圖 3.0-4 三維空間矢量的分解 第5頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四 上述矢量分解的概念可以推廣到n維空間。由n個(gè)相互正交的矢量組成一個(gè)n維的矢量空間，而正交矢量集V1, V2, ，Vn為n維空間的完備正交矢量集。n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為這n個(gè)正交矢量的線性組合， 即 式中，ViVj=0(ij)，顯然第r個(gè)分量的系數(shù) 第6頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四0.0.2 信號(hào)的正交分解 1. 正交函數(shù) 設(shè)f (t)和g(t)為定義在(

3、t1, t2)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，現(xiàn)在要用與g(t)成比例的一個(gè)函數(shù)c g(t)近似地表達(dá) f(t)，其誤差函數(shù)為 設(shè)f(t)、g(t)均為復(fù)函數(shù)，此時(shí)，c可以為實(shí)系數(shù)，也可能為復(fù)系數(shù),下面的式中，右上標(biāo)出現(xiàn)“*”則代表取共軛復(fù)數(shù) 定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)f(t)和g(t), 若滿足 則稱f(t)和g(t) 在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交 第7頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四(1). 實(shí)域正交分解如何選擇系數(shù)c 使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小?通常使誤差最小,即顯然，如果f(t)與g(t)正交應(yīng)有 c=0,因此正交的條件為：第8頁(yè)，共49頁(yè)

4、，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四(2). 復(fù)域正交分解第9頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四上式中，據(jù)平方誤差的定義知Ee0，式中惟一可供選擇的參數(shù)為c。為使Ee最小，只有選擇c=B，于是有 顯然，如果f(t)與g(t)正交應(yīng)有 c=0,因此正交的條件為：第10頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四2. 信號(hào)的正交展開(kāi) 設(shè)有一函數(shù)集g1(t), g2(t)，gN(t)，它們定義在區(qū)間(t1, t2)上，如果對(duì)于所有的i、 j ( 可取1, 2, ，N ) 都有 則該函數(shù)集就稱為區(qū)間(t1, t2)上的正交函數(shù)集。 如果 則稱該函數(shù)集為歸一化正

5、交函數(shù)集。 第11頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四如果在正交函數(shù)集g1(t)， g 2(t)， g n(t)之外，不存在函數(shù)g(t)(0）滿足 則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。( i =1，2，n)三角函數(shù)集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和 虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。第12頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四（1）. 實(shí)域信號(hào)的正交展開(kāi) 用一個(gè)在區(qū)間(t1, t2)上的正交函數(shù)集gi(t)中各函數(shù)的線性組合來(lái)逼近定義在(t1, t2)區(qū)間上的信號(hào)f(t

6、)，即 如何選擇系數(shù)使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小?通常使誤差最小,即第13頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四第14頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四 用一個(gè)在區(qū)間(t1, t2)上的正交函數(shù)集gi(t)中各函數(shù)的線性組合就可逼近定義在(t1, t2)區(qū)間上的信號(hào)f(t)，即 這種近似表示所產(chǎn)生的平方誤差為： 2. 復(fù)域信號(hào)的正交展開(kāi) 第15頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四第16頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四第17頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四同樣可

7、以導(dǎo)出，欲使平方誤差最小，其第r個(gè)函數(shù)gr(t)的加權(quán)系數(shù)cr應(yīng)按下式選?。?此時(shí)的平方誤差為 (0.1-1)(0.1-2)第18頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四 定理 0.0-1 設(shè)gr(t)在(t1, t2)區(qū)間上是關(guān)于某一類信號(hào)f(t)的完備的正交函數(shù)集，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)f(t)都可以精確地表示為gi(t)的線性組合， 即 式中，cr為加權(quán)系數(shù)，且有 式(0.1-3)稱為正交展開(kāi)式，有時(shí)也稱為廣義傅里葉級(jí)數(shù)，ci稱為傅里葉系數(shù)。 (0.1-3)(0.1-4)第19頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四 定理 0.0-2 在式(0.1-

8、3)條件下，平方誤差Ee=0，由(0.1-2)式有 式(0.1-5)可以理解為：f(t)的能量等于在完備正交函數(shù)集中分解的各個(gè)分量的能量之和， 即能量守恒定理, 有時(shí)也稱帕塞瓦爾定理。 (0.1-5)在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則誤差越小, 當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)集）誤差為零。第20頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四積化和差公式 和差化積公式 第21頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四0.1 周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù) 0.1.1 三角形式的傅里葉級(jí)數(shù) 三角函數(shù)集cosnt, sinnt|n=0,1,2,是一個(gè)正交函數(shù)集，

9、正交區(qū)間為(t0, t0+T)。這里T=2/是各個(gè)函數(shù)cosnt，sinnt的周期。三角函數(shù)集正交性的證明可利用如下公式： 第22頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四上述正交三角函數(shù)集中，當(dāng)n=0時(shí)，cos 0=1, sin 0=0，而0不計(jì)在正交函數(shù)集中，故正交三角函數(shù)集可具體寫為 式中，=2/T稱為基波角頻率，a0，an和bn為加權(quán)系數(shù)。 由于f(t)為周期信號(hào)，且其周期T與三角函數(shù)集中各函數(shù)的周期T相同，故上述展開(kāi)式在(-, )區(qū)間也是成立的。 第23頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四可得加權(quán)系數(shù)： 第24頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4

10、點(diǎn)54分，星期四an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,3, 第25頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四上式表明，時(shí)域周期信號(hào)可分解為直流和簡(jiǎn)單正余弦分量的線性組合，利用傅里葉級(jí)數(shù)的變換，可以把復(fù)雜的問(wèn)題分解成為簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行分析處理 。 這里， A0為直流分量； A1cos(t+1) 稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同； A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍； Ancos(nt+n)稱為n次諧波。第26頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四0.2 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)式中，T=2/為指數(shù)函數(shù)公共周期，

11、m、n為整數(shù)。任意函數(shù)f(t)可在區(qū)間(t0, t0+T)內(nèi)用此函數(shù)集表示為 第27頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的 虛指數(shù)信號(hào)之和， F0 = A0為直流分量。第28頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四第29頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四另一證法：第30頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四第31頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四0.3 周期信號(hào)的頻譜總結(jié)：以正余弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào) 為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解 為一系列不同頻率的正余

12、弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。第32頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四 周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將 An(n) 和 n(n) 的關(guān)系分別畫在以 (n) 為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖，因?yàn)閚0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|Fn|(n)和n (n)的關(guān)系，稱為雙邊譜。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫Fn ，負(fù)頻率無(wú)實(shí)際意義。許多場(chǎng)合，周期信號(hào)的頻譜比時(shí)域表達(dá)更能反映信號(hào)的本質(zhì)特征。（周期信號(hào)對(duì)應(yīng)離散頻譜， 周期大小決定頻譜的離散間隔）例子：周期矩形脈沖信號(hào) f(t)t0/2/2TTT/2E第33頁(yè)，共49頁(yè)，202

13、2年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四（1）三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)第34頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四(2) 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)4/ Ann0 22/n n0 2 第35頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四4/ |Fn|n 2 -4/02 2/-2/n n0 2 2/ Fnn 2 4/02 4/-2/第36頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四 取樣函數(shù)定義:是偶函數(shù)， 且x0時(shí)，Sa(x)=1；當(dāng)x=k時(shí)， Sa(k)=0。 第37頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：(1)離散性，頻譜由不連續(xù)

14、的譜線組成 (2)諧波性，頻譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上(3)收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨n的變化有起伏變化， 總的趨勢(shì)是隨著n的增大而逐漸減小。 當(dāng)n時(shí)，|Fn|0。 第38頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四 Fnn0 2/ 4/ Fnn0 2/f(t)t0TEt0Tf(t)Et0Tf(t)E Fnn0 2/ 4/ 第39頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四0.3 非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T時(shí)的周期信號(hào)，當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔趨近于無(wú)窮小量d ，而離散頻率n變成連續(xù)頻率 。各頻率分量的

15、幅度Fn也趨近于無(wú)窮小，但 可望趨于有限值，且為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。 為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令 (單位頻率上的頻譜） 稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。第40頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四傅立葉變換傅立葉逆變換F(j)=F f (t) 稱頻譜函數(shù) f (t) = F(j) 稱為原函數(shù)第41頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四F 變換對(duì)常用函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù) f(t) = et(t)， 0實(shí)數(shù)2. 雙邊指數(shù)函數(shù) f(t) = et , 0 wF(jw)oa2 第42頁(yè)，共49頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期四3. 門函數(shù)(矩形脈沖)4. 沖激函數(shù)(t)F(jw)wof (t)to1d(t)第43頁(yè)，