數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)

1、數(shù)列解題技巧歸納總結(jié)知識(shí)框架數(shù)列的概念數(shù)列的分類 2) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：=a1 + (n 1)d等差數(shù)列的求和公式S = -(a + a )= n 21 nn(n 1)na +d1等差數(shù)列的性質(zhì)氣+ a=a + a (m + n = p + q)兩個(gè)基本數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列的定義=q(n 2)an1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式氣=aq-1a 一 anq = -qn)等比數(shù)列的求和公式Sn= 1 q = 1 q叫0 = 1)等比數(shù)列的性質(zhì)a a = a a (m + n = p + q)n m p q(q 豐 1)公式法分組求和數(shù)列1 求和錯(cuò)位相減求和裂項(xiàng)求和倒序相加求和 累加累積歸納猜想證明數(shù)列的應(yīng)

2、用分期付款 其他掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握 了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法 1、求通項(xiàng)公式 (1)觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對(duì)遞 推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為a =a +d及a =qa (d，q為常數(shù))例1、已知a滿足a二a+2,而且a=1。求a。nn+1 n1n例1、解 Va +i-a =2為常數(shù) .a 是首項(xiàng)為1,公 差為2的等差數(shù)列a =1+2 (n-1)即 a =2n-1例2、已知們滿足、a a

3、 a解 .金七是常數(shù)n+1 2二？ .d)是以2為首項(xiàng)，公比為:的等比數(shù)列n+1 n (2n + 1)(2n 1)22n 1 2n +1令n=1，2，(n-1)，代入得(n-1)個(gè)等式累加，即(a2-a1) + (a3-a2) + (a -a ,(2)遞推式為a +1=a +f (n)例3、已知a 牛 a =， a = a +- n 1 2n+1 n 4n 2 1解：由已知可知a a 一 1一 1() Li 1 、_4n 3an - a1+ 2(1-211 - 4n2說明 只要和f (1) +f (2) +f (n-1)是可求 的，就可以由a +1=a +f (n)以n=1，2，(n-1)代

4、入，可得n-1 個(gè)等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pan+q(p，q為常數(shù))例 4、 a ， a = 1，1 （ flN）a - 3a + 2，a *n1n n-1n解法一：由已知遞推式得a =3a+2, a=3a +2。兩式n+1 nn n-1相減：a -a =3 （a -a ）n+1 nn n-1因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 a-a = （3X1+2） -1=4 3n-1即 a =2 3n-1-1n解法二：上法得an+1-an 是公比為是有: a -a =4, a -a =4 3, a -a =4 ,32,213243.L aa =4 3a +2-a =4

5、 3n-1 nnan+1=3an+23的等比數(shù)列，于 ，a -a =4 3n-2,n-1把n-/f*E等、式）、莉頂?shù)胊n=2 3n-1-1（4）遞推式為an+1=p an+q n （p, q為常數(shù)）例5】己知佰盤中，電二:，（?） 5,求電 略解 在心二，電十（：）5的兩邊乘以嚴(yán)得 產(chǎn) 1，也+i = j十 1，令、=2n則于是可得b/n=fnbn /由上題的解法，得:bnbnnn說明對(duì)于遞推式j(luò) =四+ q氣可兩邊除以疔，得粉5圭f引輔助敷列后用（5）遞推式為a 2 =pa + qaa -aa P(a -aa )，思路：設(shè)a qa，可以變形為:a pa qa就是M = （ 口 + 0 ）項(xiàng)

6、Q d，則可從:二解得J 6，于是a -aa是公比為B的等比數(shù)列想就轉(zhuǎn)化為 n+1n前面的類型。21解 在5 = M 七電兩邊減去訕+i，得（電+-褊是公比為-:,首項(xiàng)為幻-紂=1的等比數(shù)列(6)遞推式為S與a的關(guān)系式 n n此類型可利用也七，頊*21-13疾2)【例7】設(shè)(電刖H項(xiàng)的和囂=4-日n -芬7 Q (1)求日n+1與日玖的系；(2)試用n表示a o解C1)由氟=4-$得第1 = 4 _ 口 -芬ZT TOC o 1-5 h z S S =(i a ) + ()+1 n n +12-22-1 1 q = q a +71+1 n n+12-11 1 a = a + +i2 n 2&上

7、式兩同乘以2n+i得2n+ia 2na +2則2na 是公差為 n+l nn2的等差數(shù)列。 2na = 2+-如T)* 2=2n n f -次2.數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 公式求和，另外記住以下公式對(duì)求和來說是有益的。1 + 2 + 3+ +n =1+3+5 + (2n-1)=n2 f I ! 2 口(ii + 1)(2n+l)1 十 十S 十十n =；1*+/=匹戶已【例8】求數(shù)列 1，(3+5), (7+9+10), (13+15+17+19), 前n項(xiàng)的和。解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+n=i個(gè)奇數(shù)，2

8、 n,n 1)最后一個(gè)奇數(shù)為：1+ i n(n+1)-1 X 2=n2+n-1因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為=偵(ii+i)七(2)、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1) + 2 (n2-22) +3 (n2-32) +n (n2-n2)解 S=n2 (1+2+3+n) - (13+23+33+。+n3)(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。S = 3C1 + 6C2 + 3nCn例10、求和：例 10、解 S= 0 . O +3C + 60 + +3nC又S

9、n = 3nC + 3 (n - 1) C 混.十十 0理相加，且運(yùn)用堂= C!：t可得2氟=3門以+以+ +尊)=勿尸:.S =3n 2n-1n(4)、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng) 項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的 公比，然后錯(cuò)位相減求和.例口求數(shù)列1, 3x,5x2,，(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和.例11、解設(shè) S =1+3+5x2+(2n-1)xn-1.當(dāng)x = l時(shí)，Sn = 1 +* n = n3.x=0 時(shí)，S=1.當(dāng)x=0且x=1時(shí)，在式兩邊同乘以x得n.xS =x+3x2+5x3+(2nT)Xn, n-，得 (1-x)S =1+2

10、x+2x2+2x3+2xn-i-(2nT)x n._12x(1 - x11-1)理由公式知囂= 1 + 一( & 一 1)廣1 -X1- X1+ x - (2n + l)n + (2n - 1)3醇(iF(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法:1 1 1 1 1 n(n + k) k. n n. + k1 11 1 1 1 n(n + l)(n +2)2n n + 1 n +2_日E=：y項(xiàng)例12、求和上+上+上+11 5 3 7 5 9(2 n - 1)(2n + 3)值 1)3 求養(yǎng)口 十十 + - +P 5 3 * 7 5 *9. (2n-l)(

11、2n+3)解寸(2ii-l)(2n + 3) = 3C2n-1 北 + 步_ 門11F H11I4L5 3 7 5 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3J4L 3 2n+l 2n + 3Jn(4n+5)3(細(xì)+ 1)(2n + 3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，1G一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想liiJ運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問 題解決?！纠?3】 等差數(shù)列a 的首項(xiàng)a 0,前n項(xiàng)的和為S ,n1n=J若S=S (1乂k )問n為何值時(shí)S最大？

12、1 kn的二次函數(shù)苔沱。年小1的圖像開口向下時(shí)季大口此函wn為自變量L尹k)沒啟o次霸二當(dāng)1廿為偶數(shù)時(shí)，口= -f (1) =f (k) 廿十1當(dāng)1+k為奇敷時(shí)，口=寫時(shí)紀(jì)最大.2.方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列a 前n項(xiàng)和為S ,若S +S =2S , nn369求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力。解.依題意可知q尹1。.如果q=1,則S3=3aS6=6a1，、9=9氣。由此應(yīng) 推出a1=0與等比數(shù)列不符。16191 q=1,有Sj Cl- qe) 2a Cl - q) ?)1 - q1 - q1 - q整理得q3 (2q6-q3-1) =0Lq乂02q6 -q3 -1=0 qpl舍，qf = |. V4-q=-T此題還可以作如下思考： TOC o 1-5 h z S =S +q3S = (1+q3)S S=S +q3S =S (1+q3+q6), 6333O 9363.由 S +S =2S 可得 2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=0 369? i 泌q = 一衫一亍3.換元思想112【例15】 已知