導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用

1、中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 推廣微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、羅爾( Rolle )定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 一、中值定理 一、費(fèi)馬引理(費(fèi)馬引理)如果對(duì) 有 則設(shè) f (x)在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)有定義,且在 處可導(dǎo), 注：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).推論 (最值的必要條件) 設(shè)如果 存在,如果 在a, b上連續(xù), 則 在a, b上一定有最大值和最小值. 由最值的必要條件, 最大、最小值點(diǎn)只可能是的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn).求函數(shù)最大值與最小值的一般步驟:1. 求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.

2、求出區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小, 其中最大者就是最大值,最小者就是最小值;3. 在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中, 問(wèn)題本身可以保證目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值一定存在, 我們通常用這種思想求取應(yīng)用問(wèn)題的最值.定理3.2 (羅爾定理) (1) 在閉區(qū)間a, b上連續(xù);(2) 在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo);(3)使得2 羅爾中值定理及其應(yīng)用若函數(shù) f (x) 滿足:推論: 可微函數(shù) 的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間至少有 的一個(gè)零點(diǎn)例1. 證明方程有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 .證: 1) 存在性 .則在 0 , 1 連續(xù) ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾

3、定理?xiàng)l件 ,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)二、拉格朗日中值定理(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使例2. 證明等式證: 設(shè)由推論可知 (常數(shù)) 令 x = 0 , 得又故所證等式在定義域 上成立.自證:三、其他未定式 二、 型未定式一、 型未定式二、洛必達(dá)法則 微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化( 或 型)一、存在 (或?yàn)?)定理 1.型未定式(洛必達(dá)法則) 推論1.定理 1 中換為下列過(guò)程之一:推論 2. 若理1條件, 則條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必達(dá)法則例1. 求解:原

4、式注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !洛洛例2. 求解: 原式 洛二、型未定式存在 (或?yàn)?定理 2.(洛必達(dá)法則)例3. 求解:原式例4. 求解: (1) n 為正整數(shù)的情形.原式洛洛洛例4. 求(2) n 不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時(shí),例4.例3. 說(shuō)明:1) 例3 , 例4 表明時(shí),后者比前者趨于更快 .例如,事實(shí)上用洛必達(dá)法則2) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問(wèn)題 . 3) 若例如,極限不存在不能用洛必達(dá)法則 ! 即 三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例5. 求解: 原式洛解: 原式例6. 求通

5、分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化洛例7. 求解: 利用 例5通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化三、泰勒公式 公式 稱為 的 n 階泰勒公式 .公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) .泰勒(Taylor)中值定理 :階的導(dǎo)數(shù) ,時(shí), 有其中則當(dāng)在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫(xiě)為注意到特例:(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理稱為麥克勞林( Maclaurin )公式 .則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中麥克勞林公式 其中麥克勞林公式 麥克勞林公式 類似可得其中

6、其中麥克勞林公式 已知其中因此可得麥克勞林公式 二、最大值與最小值問(wèn)題 一、函數(shù)的極值及其求法 四、函數(shù)的極值與 最大值最小值定義:在其中當(dāng)時(shí),(1) 則稱 為 的極大值點(diǎn) ,稱 為函數(shù)的極大值 ;(2) 則稱 為 的極小值點(diǎn) ,稱 為函數(shù)的極小值 .極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .一、函數(shù)的極值及其求法注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2) 對(duì)常見(jiàn)函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如 ,為極大值點(diǎn), 是極大值 是極小值 為極小值點(diǎn), 函數(shù)定理 1 (極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1) “左正右負(fù)” ,(2) “左負(fù)右正” ,點(diǎn)

7、擊圖中任意處動(dòng)畫(huà)播放暫停例1. 求函數(shù)的極值 .解:1) 求導(dǎo)數(shù)2) 求極值可疑點(diǎn)令得令得3) 列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為定理2 (極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且則 在點(diǎn) 取極大值 ;則 在點(diǎn) 取極小值 .二、最大值與最小值問(wèn)題 則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法:(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2) 最大值最小值特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí), 當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對(duì)應(yīng)用問(wèn)題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小)1. 連續(xù)函數(shù)的極值

8、(1) 極值可疑點(diǎn) :使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2) 第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3) 第二充分條件為極大值為極小值(4) 判別法的推廣最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別 .2. 連續(xù)函數(shù)的最值一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn) 五、函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理 1. 設(shè)函數(shù)則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增(遞減) .在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),例1. 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為說(shuō)明: 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函

9、數(shù)的單調(diào)性 .例如,定義 . 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 I 上連續(xù) ,(1) 若恒有則稱圖形是凹的;(2) 若恒有則稱圖形是凸的 .二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn) .拐點(diǎn)定理2.(凹凸判定法)(1) 在 I 內(nèi)則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi)則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)例3. 判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.例4. 求曲線的拐點(diǎn). 解:不存在因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線的拐點(diǎn) .凹凸內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在 I 上單調(diào)遞增在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)一、 曲線的漸近線二、 函數(shù)圖形的描繪六、函數(shù)圖形的描繪無(wú)漸近線 .點(diǎn) M 與某一直線 L 的距離趨于 0,一、 曲線的漸近線定義 . 若曲線 C上的點(diǎn)M 沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),則稱直線 L 為曲線C 的漸近線 .例如, 雙曲線有漸近線但拋物線或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”1. 水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有鉛直漸近線例1. 求曲線的漸近線 .解:為水平漸近線;為鉛直漸近線.2. 斜漸近線斜漸近線若例2. 求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因?yàn)榍€的斜漸近線 .二、函數(shù)圖形的