江西省高中數學青年教師業(yè)務能力競賽

1、江西省高中數學青年教師業(yè)務能力競賽（解題）試題 命題：張園和本試卷分第 = 1 * ROMAN I卷（選擇題）和第 = 2 * ROMAN II（非選擇題）兩部分，共150分考試時間120分鐘考試結束，將本試卷和答題紙一并交回第 = 1 * ROMAN I卷 (選擇題共60分)注意事項：1答第 = 1 * ROMAN I卷前，參賽選手務必在試卷及答題紙上將自己的單位、姓名、準考證號填在指定的位置2所有試題的答案均應填入答題紙上的相應位置, 不能答在試卷上。未填入答題紙的部分一律按零分計一、本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1設集合,則實數a的

2、取值范圍是ABC(1,+) D(,1)2若都是實數，i是虛數單位，則=A1+2iB12 i C2+ i D2i3已知的值應是ABCD4若函數的反函數為,則滿足的x的集合是A(0,+)B(1,+)C(1,1)D(0, 1)5已知變量滿足約束條件,則的取值范圍是ABCD6設隨機變量服從標準正態(tài)分布，已知，則=A0.025B0.050C0.950D0.9757已知兩個等差數列和的前項和分別為A和，且,則使得為整數的正整數n的個數是A2 B3C4D58已知橢圓有相同的準線,則動點P (n, m)的軌跡為A橢圓的一部分B雙曲線的一部分C拋物線的一部分D直線的一部分9半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點

3、,則與兩點間的球面距離為 A. B. C. D. 10如圖,設P為ABC內一點,且則A B C D11將號碼分別為1、2、9的九個小球放入一個袋中, 這些小球僅號碼不同，其余完全相同甲從袋中摸出一個球，其號碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個球，其號碼為b則使不等式a2b+100成立的事件發(fā)生的概率等于A. B. C. D. 12已知定義域為R上的函數單調遞增，如果的值A可能為0B恒大于0 C恒小于0 D可正可負第 = 2 * ROMAN II卷 (共90分)注意事項：1用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上2答卷前將密封線內的項目填寫清楚二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在

4、答題紙中的相應位置上13在的展開式中，x5的系數為.14當時,不等式恒成立,則的取值范圍是15若函數=.16對于函數, 存在一個正數,使得的定義域和值域相同, 則非零實數的值為_.三、解答題：本大題共6小題,共74分. 解答應寫出必要的文字說明, 演算步驟或證明過程2,4,617(本小題滿分12分) 已知定義域為R的函數是奇函數2,4,6(1) 求的值；(2)若對任意的, 不等式恒成立, 求k的取值范圍. 18(本題滿分12分) 在九江市教研室組織的一次優(yōu)秀青年教師聯誼活動中，有一個有獎競猜的環(huán)節(jié)主持人準備了A、B兩個相互獨立的問題，并且宣布：幸運觀眾答對問題A可獲獎金1000元，答對問題B可

5、獲獎金2000元，先答哪個題由觀眾自由選擇，但只有第一個問題答對，才能再答第二題，否則終止答題若你被選為幸運觀眾，且假設你答對問題A、B的概率分別為、(1) 記先回答問題A的獎金為隨機變量, 則的取值分別是多少？(2) 你覺得應先回答哪個問題才能使你獲得更多的獎金?請說明理由19(本小題滿分12分) 已知函數(R,且)的部分圖象如圖所示(1) 求的值；(2) 若方程在內有兩個不同的解,求實數m的取值范圍20(本小題滿分12分) 如圖,在四棱錐中,底面，, 是的中點(1)證明；(2)證明平面；(3)求二面角的大小.21(本小題滿分12分) 設不等式組表示的平面區(qū)域為,區(qū)域內的動點到直線和直線的距

6、離之積為2, 記點的軌跡為曲線. 是否存在過點的直線l, 使之與曲線交于相異兩點、,且以線段為直徑的圓與y軸相切？若存在,求出直線l的斜率;若不存在, 說明理由22(本小題滿分14分) 已知函數及正整數數列. 若,且當時,有; 又,且對任意恒成立. 數列滿足:.(1) 求數列及的通項公式;(2) 求數列的前項和；(3) 證明存在，使得對任意均成立參考答案命題：張園和題號123456789101112答案BCBAACDACADC題號13141516備注答案11 解: 畫出數軸,由圖可知,選B.2 解: 由得,所以.3 解: ,故選B.4 解: 因為, 所以,于是原不等式為,解得.5 解: 畫出可

7、行域(圖略),為一個三角形區(qū)域,頂點分別為.表示可行域內的點與原點連線的斜率,當時取最大值6,當時取最小值.故選A.6 解: 服從標準正態(tài)分布，7 解: 由等差數列的前項和及等差中項，可得，故時，為整數。故選D8 解:由已知得: , 化簡為,軌跡為橢圓的一部分. 故選A.9 解:半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點，設AB=a，P為BCD的中心，O為球心，則OB=1，OP=，BP=a，由解得，由余弦定理得AOB=arcos()，與兩點間的球面距離為，選C。10 解: 設. 則. 所以,解得.于是.11解：甲、乙二人每人摸出一個小球都有9種不同的結果，故基本事件總數為92=81個. 由不等式a

8、2b+100得2ba+10，于是，當b=1、2、3、4、5時，每種情形a可取1、2、9中每一個值，使不等式成立，則共有95=45種；當b=6時，a可取3、4、9中每一個值，有7種；當b=7時，a可取5、6、7、8、9中每一個值，有5種；當b=8時，a可取7、8、9中每一個值，有3種；當b=9時，a只能取9，有1種. 于是，所求事件的概率為.12 解: 由題設知,的圖象關于點對稱. 又由已知,且, 由在時單調遞增知,.故選C.13 解: .14 解: 由題設得,故只需求.由單調性知,在時, ,所以.15 解: 易知為奇函數, 所以.16 解: 若，對于正數，的定義域為，但的值域，故，不合要求.若

9、，對于正數，的定義域為.由于此時，故函數的值域.由題意，有，由于，所以.17、解：(1)因為是奇函數, 所以=0, 即又由知(2) 解法一：由(1)知, 易知在上為減函數。又因是奇函數，從而不等式：等價于.因為減函數,由上式推得:即對一切有：, 從而判別式解法二：由(1)知又由題設條件得：即：整理得: .上式對一切均成立, 從而判別式18、解：(1) 題意，的取值可以為0元，1000元，3000元(2) 設先答A的獎金為元,先答B(yǎng)的獎金為元,則有，,所以.同理, ,.所以.故先答A,能使所獲獎金期望較大.19、解：(1) 由圖象易知函數的周期為()=，又, 且, 即, 解得: . 所以,. 也

10、可以按以下解釋: 上述函數的圖象可由的圖象沿軸負方向平移個單位而得到，其解析式為 (2)，設，問題等價于方程在（0，1）僅有一根或有兩個相等的根方法一：m = 3t2 t，t (0, 1). 作出曲線C：y = 3t2 t，t (0, 1)與直線l：y = m的圖象t =時，y =；t = 0時，y = 0；t = 1時，y = 2當m =或0m2時，直線l與曲線C有且只有一個公共點m的取值范圍是：或方法二：當僅有一根在(0, 1)時，令則得到; 或時，或時（舍去）當兩個等根同在（0,1）內時得到，綜上所述，m的取值范圍是：或20、解：(1)證明：在四棱錐中，因底面，平面，故，平面而平面，(2

11、) 證明：由，, 可得是的中點，由(1)知，且，所以平面而平面，底面在底面內的射影是，又，綜上得平面(3) 解法一：過點作，垂足為，連結則由(2)知，平面，在平面內的射影是，則因此是二面角的平面角由已知，得設，可得在中，則在中，所以二面角的大小是解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為過點作，垂足為，故平面過點作，垂足為，連結，故因此是二面角的平面角由已知，可得，設，可得，于是，在中，所以二面角的大小是xyO21、解：由題意可知，平面區(qū)域如圖陰影所示設動點為，則xyO，即由知，xy0，即x2y20所以y2x24(y0)，即曲線的方程為 eq f(y2,4) eq f(x2,4)1(y0)

12、設，則以線段為直徑的圓的圓心為. 因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以半徑，即因為直線AB過點F(2 eq r(2)，0)，當AB x軸時，不合題意所以設直線AB的方程為yk(x2 eq r(2)代入雙曲線方程 eq f(y2,4) eq f(x2,4)1(y0)得:k2(x2 eq r(2)2x24，即(k21)x24 eq r(2)k2x(8k24)0因為直線與雙曲線交于A，B兩點，所以k1于是x1x2 eq f(4 eq r(2)k2,k21)，x1x2 eq f(8k24,k21)故 |AB| eq r(x1x2)2(y1y2)2) eq r(1k2)(x1x2)24x1x2) eq r(1k2) eq bbc( eq f(4 eq r(2)k2,k21) eq sup10(2)4 eq f(8k24,k21)|x1x2| eq f(4 eq r(2)k2,k21)|，化簡得：k42k210解得: k2 eq r(2)1 （k2 eq r(2)1不合題意，舍去）由(4 eq r(2)k2)24(k21)(8k24)3k210，又由于y0，所以1k eq f( eq r(3),3)所以, k eq r( eq r(2)1)2