復(fù)變函數(shù)與積分變換課堂PPT市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第二章 解析函數(shù)1 解析函數(shù)概念2 函數(shù)解析充要條件3 初等函數(shù)1第1頁第1頁1 解析函數(shù)概念1.復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分2.解析函數(shù)概念2第2頁第2頁1. 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分存在, 則就說 f (z)在z0可導(dǎo), 此極限值就稱為 f (z)在 z0i ) 導(dǎo)數(shù)定義定義 設(shè)函數(shù) w=f (z)定義于區(qū)域D, z0為D中一點(diǎn), 點(diǎn)導(dǎo)數(shù), 記作不出D范圍。假如極限3第3頁第3頁也就是說, 對(duì)于任給時(shí), 有, 存在, 使得當(dāng)應(yīng)當(dāng)注意, 定義中任意, 定義中極限值存在要求與無關(guān), 也就是說, 當(dāng)都趨于同一個(gè)數(shù)。若 f (z)在D內(nèi)處處可導(dǎo), 就說 f (z)在內(nèi)可導(dǎo)。(即)方式是方式在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于

2、z0時(shí), 比值4第4頁第4頁因此例1 求 f (z)=z2 導(dǎo)數(shù)。解 由于5第5頁第5頁例2 問 f (z)=x + 2yi 是否可導(dǎo)？解設(shè)沿著平行于 x軸直線趨向于 z，因而這時(shí)極限6第6頁第6頁設(shè)沿著平行于 x軸直線趨向于 z，因而這時(shí)極限因此 f (z)=x + 2yi 導(dǎo)數(shù)不存在。設(shè)沿著平行于 y軸直線趨向于 z，因而這時(shí)極限7第7頁第7頁ii)可導(dǎo)與連續(xù)容易證實(shí), 在z0點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)必定在z0點(diǎn)連續(xù)。事實(shí)上, 由在z0點(diǎn)可導(dǎo)定義，對(duì)于任給相應(yīng)地有一個(gè)令則, , 使得當(dāng)時(shí), 有8第8頁第8頁由此得因此即在連續(xù)。iii) 求導(dǎo)法則 與實(shí)函數(shù)相同, 復(fù)變函數(shù)也有類似求導(dǎo)公式與法則，羅列下列：

3、, 其中c為復(fù)常數(shù)。, 其中n為正整數(shù)。9第9頁第9頁, 其中c為復(fù)常數(shù)。, 其中n為正整數(shù)。，其中，其中w = f (z)與是兩個(gè)互為反函數(shù)單值函數(shù)，且。10第10頁第10頁iv) 微分概念小量, 而設(shè)函數(shù)w =f (z)在z0可導(dǎo), 則有其中因此, 假如函數(shù)在z0微分存在, 則稱函數(shù) f (z)在z0可微。是高階無窮線性部是函數(shù)w=f (z) 改變量分, 稱為函數(shù)w = f (z)在點(diǎn)z0微分, 記作11第11頁第11頁即由此可見, 函數(shù)w = f (z)在z0可導(dǎo)與在z0可微是等價(jià)。尤其, 當(dāng)f (z) = z時(shí), 得。于是上式可變?yōu)槿鬴 (z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微, 則稱 f (z)在D

4、內(nèi)可微。12第12頁第12頁2. 解析函數(shù)概念定義 假如函數(shù) f (z)在z0及z0鄰域內(nèi)處處可導(dǎo), 則稱 假如 f (z)在 z0不解析, 則稱 z0為 f (z)奇點(diǎn)f (z)在z0解析, 若 f (z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析, 則稱 f (z)在D內(nèi)解析, 或稱 f (z)是 D內(nèi)一個(gè)解析函數(shù)(全純函數(shù)或由定義可知, 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)。但是, 函數(shù)在一點(diǎn)處解析和在一點(diǎn)處可導(dǎo)不等價(jià)。即, 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo), 不一定在該點(diǎn)處解析。函數(shù)在一正則函數(shù))點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)要求要高得多。13第13頁第13頁例3 研究函數(shù)解和解析性。由解析函數(shù)定義與前面例題可知，在復(fù)平面內(nèi)是解析

5、，而卻是處處不解析。下面研究解析性。由于14第14頁第14頁假如，那么當(dāng)時(shí)，上式極限是零。假如，令沿直線趨于，由于k 任意性，不趨于一個(gè)擬定值。因此當(dāng)極限不存在。時(shí)，因此，僅在 z = 0 處可導(dǎo)，而在其它點(diǎn)都不可導(dǎo)，由定義，它在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。15第15頁第15頁例4 研究函數(shù)解解析性。由于w在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)z=0外處處可導(dǎo)，且因此在除 z = 0外復(fù)平面內(nèi)，函數(shù)處處解析，而z = 0是它奇點(diǎn)。16第16頁第16頁所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析, 任何一個(gè)和,差,積,商(除去分母為零點(diǎn))在D內(nèi)解析。2) 設(shè) h=g (z)在 z平面上區(qū)域 D內(nèi)解析, w =f (h) 在 h平面上區(qū)域 G

6、 內(nèi)解析。假如對(duì)D內(nèi)每一個(gè)點(diǎn) z, g (z) 相應(yīng)值 h 都屬于G, 則復(fù)合函數(shù) w= f g (z)在D內(nèi)有理分式函數(shù) P (z)/Q( z)在不含分母為零點(diǎn)區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù), 使分母為零點(diǎn)是它奇點(diǎn)。依據(jù)求導(dǎo)法則可知：定理 1) 在區(qū)域D內(nèi)解析兩個(gè)函數(shù) f (z)與g (z)解析。17第17頁第17頁2 函數(shù)解析充要條件18第18頁第18頁在工程中, 往往是要用復(fù)變函數(shù)來處理實(shí)際問題。而實(shí)際問題中碰到復(fù)變函數(shù), 通常都是某個(gè)實(shí)變函數(shù)延拓而來。即, 假如本來有一個(gè)實(shí)變函數(shù) f (x)，自變量是實(shí)數(shù), 函數(shù)值也是實(shí)數(shù), 則將x用一個(gè)復(fù)數(shù)代替，就產(chǎn)生了一個(gè)自變量和函數(shù)值都是復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)。事實(shí)上我

7、們只關(guān)懷這樣復(fù)變函數(shù)。比如說實(shí)變函數(shù)經(jīng)常就是實(shí)變函數(shù)中基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成初等函數(shù)延拓到復(fù)變函數(shù)。, 則相應(yīng)延拓復(fù)變函數(shù)就是19第19頁第19頁件。設(shè) f (z) = f (x+iy)=u (x, y)+iv (x, y)定義在區(qū)域D內(nèi), 且在D內(nèi)一點(diǎn)z=x + iy可導(dǎo)。，有判斷一個(gè)函數(shù)是否解析，假如只依據(jù)解析函數(shù)定義，往往比較困難。因此，需要尋找判斷函數(shù)解析簡(jiǎn)便辦法。先考察函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)(或可微)應(yīng)當(dāng)滿足什么條其中則對(duì)于充足小20第20頁第20頁令。由上式得從而有由于，因此。因此得知 u(x, y)和 v (x, y) 在(x, y)可微，并且滿足方程21第21頁第21頁這就是函數(shù) f

8、(z) = f (x + iy) =u (x, y) +iv (x, y)在區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)z = x + iy可導(dǎo)必要條件。并且滿足方程方程稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程 。事實(shí)上，這個(gè)條件也是充足。且也有下面定理：22第22頁第22頁定理一 設(shè)函數(shù) f (z)= u (x, y)+ i v (x, y)定義在區(qū)域D內(nèi), 而 f (z)在D內(nèi)一點(diǎn) z=x + iy可導(dǎo)充足必要條件是:u (x, y)與v (x, y)在點(diǎn)(x, y)可微, 并且在該點(diǎn)滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程 。證 條件必要性上面已經(jīng)證實(shí), 下面證充足性。充足性由于23第23頁第23頁

9、這里充足性由于又由于u (x, y)與v (x, y)在點(diǎn)(x, y)可微，可知24第24頁第24頁因此依據(jù)柯西-黎曼方程因此25第25頁第25頁或最后兩項(xiàng)都趨于零。因此這就是說, 函數(shù) f (z)= u(x, y)+ iv(x, y)在點(diǎn)z=x + iy處可導(dǎo)由于，故當(dāng)趨于零時(shí)，上式右端26第26頁第26頁依據(jù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析定義及定理一，就可得由定理一可得函數(shù) f (z) = u (x, y)+ iv (x, y) 在點(diǎn)z = x + i y 處導(dǎo)數(shù)公式：到判斷函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析一個(gè)充要條件。定理二 函數(shù) f (z)= u(x,y) + i v(x,y)在其定義域D內(nèi)解析充要條件是 u(x

10、, y)與 v(x, y)在D內(nèi)可微, 并滿足柯西-黎曼方程。27第27頁第27頁這兩個(gè)定理是本章主要定理。不但提供了判斷函數(shù) f (z)在某點(diǎn)是否可導(dǎo)，在區(qū)域內(nèi)是否解析慣用辦法，并且給出了一個(gè)簡(jiǎn)練求導(dǎo)公式。是否滿足柯西-黎曼方程是定理中主要條件。假如 f (z)在區(qū)域D內(nèi)不滿足柯西-黎曼方程，那么，f (z)在D內(nèi)不解析；假如在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程, 且u和v含有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 那么, f (z)在D內(nèi)解析。對(duì)于f (z)在一點(diǎn)z = x + iy可導(dǎo)性，也有類似結(jié)論。28第28頁第28頁例1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：解不可導(dǎo), 處處不解析。1) 由于可知柯西-黎曼方程不滿

11、足, 因此在復(fù)平面內(nèi)處處29第29頁第29頁2) 由于柯西-黎曼方程成立, 由于上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù), 因此 f (z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo), 處處解析, 且有從而解例1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：30第30頁第30頁3) 由容易看出，這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，但僅當(dāng)x=y=0時(shí)，, 得, 因此才滿足柯西-黎曼方程，因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo)，但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析。解例1 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：31第31頁第31頁1) 由于時(shí)，柯西-黎曼方程才成立，故此函數(shù)在直線從而僅當(dāng)解例 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：上處處可導(dǎo)，而在復(fù)平面上處處不解析。32第32頁第3

12、2頁2) 由于時(shí)，柯西-黎曼方程才成立，故此函數(shù)在直線從而僅當(dāng)解例 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析：上處處可導(dǎo)，而在復(fù)平面上處處不解析。33第33頁第33頁例2 設(shè)函數(shù) 問常數(shù)a, b, c, d 取何值時(shí), f (z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?解 由于 從而要使只需因此, 當(dāng)內(nèi)處處解析, 這時(shí)時(shí), 此函數(shù)在復(fù)平面34第34頁第34頁例 設(shè)函數(shù) 問常數(shù)a, b, c 取何值時(shí), f (z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?解 先求 從而要使只需，因此, 因此，有35第35頁第35頁例 設(shè)解析函數(shù) 實(shí)部解 由于 又函數(shù)解析，則有即對(duì)求v關(guān)于y偏導(dǎo)數(shù)，得積分得，那么求 f (z)。則即因此有36第36頁第36頁

13、例3 假如因此u=常數(shù), v=常數(shù), 因而 f (z)在D內(nèi)是常數(shù)。證 由于在區(qū)域D處處為零, 則 f (z)在D內(nèi)為故一常數(shù)。37第37頁第37頁例4 假如 f (z) = u + iv為一解析函數(shù)，且 f (z)0，則曲線族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2為證 由于假如在曲線交點(diǎn)處 uy與 vy都不為零，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族中任一條曲線斜率分別為利用柯西-黎曼方程得和故 uy與 vy不全為零。常數(shù)。38第38頁第38頁例4 假如 f (z) = u + iv為一解析函數(shù)，且 f (z)0，則曲線族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交

14、，其中c1, c2為因此，二曲線族互相正交。假如uy與vy其中有一個(gè)為零，則另一個(gè)必不為零, 此時(shí)易知交點(diǎn)切線一條是垂直, 一條是水平,仍然正交。常數(shù)。證利用柯西-黎曼方程得39第39頁第39頁3 初等函數(shù).指數(shù)函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù).乘冪與冪函數(shù).三角函數(shù)與雙曲函數(shù).反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)40第40頁第40頁1.指數(shù)函數(shù)內(nèi)也能定義一個(gè)函數(shù) f (z)含有ex三個(gè)性質(zhì):i) f (z)在復(fù)平面內(nèi)解析;前面例題中已經(jīng)知道, 函數(shù)是一個(gè)在復(fù)平面處處解析函數(shù), 且有時(shí), f (z)=ex。f (z)稱為指數(shù)函數(shù)。記作實(shí)函數(shù)中指數(shù)函數(shù)是很特殊, 希望能夠在復(fù)平面ii) f (z)= f (z);iii) 當(dāng)I

15、m(z)=0時(shí), f (z)=ex, 其中x=Re(z)。, 當(dāng)y=041第41頁第41頁等價(jià)于關(guān)系式：為整數(shù))由上式可知事實(shí)上, 設(shè)z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定義有跟ex同樣, exp z也服從加法定理：42第42頁第42頁鑒于exp z滿足條件iii)，且加法定理也成立，為了以便，往往用ez代替exp z。但必須注意，這里ez 沒有冪意義，僅僅作為代替exp z符號(hào)使用，因此就有由加法定理, 能夠推出exp z周期性。, 即尤其, 當(dāng)x=0時(shí), 有其中k為任何整數(shù)。這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)沒有。它周期是43第43頁第43頁2.對(duì)數(shù)函數(shù)因此和實(shí)變函數(shù)同樣，對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)

16、函數(shù)反函數(shù)。將滿足方程函數(shù)w = f (z)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。令, 則由于Arg z為多值函數(shù)，因此對(duì)數(shù)函數(shù) w = f (z)為多因此值函數(shù)，并且每兩個(gè)值相差整數(shù)倍,記作44第44頁第44頁假如要求上式中Arg z取主值arg z，則Ln z為一單值函數(shù)，記作ln z, 稱為Ln z主值, 因此有表示。對(duì)于每一個(gè)固定k，上式為一單值函數(shù), 稱為Ln z一個(gè)分支。而其余各值可由尤其, 當(dāng)z= x 0時(shí), Ln z主值ln z=ln x, 就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)。45第45頁第45頁例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它們相應(yīng)主值。解 由于, 因此它主值就是ln2。而(k為整數(shù)), 因此它主值是 。不再

17、成立。并且正實(shí)數(shù)對(duì)數(shù)也是無窮多值。 在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù), 此例闡明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)利用幅角性質(zhì)不難證實(shí)，復(fù)變數(shù)對(duì)函數(shù)函數(shù)保持了實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)基本性質(zhì)：46第46頁第46頁例 求Ln (-i), Ln(-3+4i)以及它們相應(yīng)主值。解 由于因此它主值就是而(k為整數(shù)), 因此它主值是, 47第47頁第47頁但應(yīng)注意，與第一章中關(guān)于乘積和商輻角等式體是相同，還應(yīng)注意是，等式：不再成立，其中n為不小于1正整數(shù)。同樣，這些等式也應(yīng)理解為兩端也許取函數(shù)值全對(duì)數(shù)函數(shù)解析性 就主值ln z而言, 其中l(wèi)n|z|除原點(diǎn)外在其它點(diǎn)都是連續(xù)，而arg z在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù)。48第48頁第48頁因此除去原

18、點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸，在復(fù)平面內(nèi)其它點(diǎn)，lnz處處由于若設(shè) z = x+iy, 則當(dāng) z 0)時(shí), 由于ab含有q個(gè)值, 即當(dāng)k=0,1,.,(q-1)時(shí)相應(yīng)各個(gè)值。除此而外, 普通而論ab含有無窮多個(gè)值。52第52頁第52頁例2 求和值。解由此可見,是正實(shí)數(shù)，它主值是53第53頁第53頁例 求和值。解54第54頁第54頁例 求和值。解55第55頁第55頁時(shí)是與 an 次冪及an 次根定義是完全一致。應(yīng)當(dāng)指出，定義，當(dāng)b為正整數(shù)n及分?jǐn)?shù)i) 當(dāng)b 為正整數(shù)n 時(shí)，依據(jù)定義(指數(shù)n項(xiàng))(因子n個(gè))(因子n個(gè))ii) 當(dāng)b為分?jǐn)?shù)時(shí)，有由于56第56頁第56頁ii)當(dāng)b為分?jǐn)?shù)時(shí)，有其中因此，假如 a = z為

19、一復(fù)變數(shù)，就得到普通冪函數(shù)，當(dāng)b=n與時(shí)，就分別得到通常冪函數(shù)及zn 在復(fù)平面內(nèi)是單值解析函數(shù), 且(zn)=nzn-1.57第57頁第57頁對(duì)數(shù)函數(shù)Ln z各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)是解析, 因而各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)也是解析，且有冪函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)，含有n個(gè)分支，又值函數(shù)，當(dāng)b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，是無窮多值。同樣道理，它各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸復(fù)平面冪函數(shù)(除去b=n與兩種情況外)也是一個(gè)多內(nèi)也是解析，并且有58第58頁第58頁4. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復(fù)值情形, 定義當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí), 顯然這與上式完全一致。由歐拉公式有將這兩式相加與相減, 分別得到59第59頁第59頁為周期周期函數(shù), 因此cos z和sin z以由于ez是以也容易推出cos z是偶函數(shù), sin z是奇函數(shù)：又由