力學(xué)競(jìng)賽之拉格朗日方程市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、第一章分析力學(xué)基礎(chǔ)第1頁(yè)第1頁(yè) 18世紀(jì)提出了處理多個(gè)約束剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。 利用矢量力學(xué)分析出現(xiàn)下列問(wèn)題： 對(duì)于復(fù)雜約束系統(tǒng)約束力性質(zhì)和分布是未知； 表述形式復(fù)雜。如球坐標(biāo)系下運(yùn)動(dòng)方程。 質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題為大量方程微分方程組。 1788年拉格朗日發(fā)表了分析力學(xué)一書，提出了處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題新觀點(diǎn)和新辦法：采用功和能量來(lái)描述物體運(yùn)動(dòng)和互相作用力之間關(guān)系。第2頁(yè)第2頁(yè)與矢量力學(xué)相比，分析力學(xué)特點(diǎn)： （3）追求普通理論和普通模型，對(duì)于詳細(xì)問(wèn)題，只要代入和展開 工作，處理問(wèn)題規(guī)范化。（1）把約束當(dāng)作對(duì)系統(tǒng)位置（速度）限定，而不是當(dāng)作一個(gè)力。 （2）使用廣義坐標(biāo)、功、能等標(biāo)量研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，大量使用數(shù)學(xué) 分析辦

2、法，得到標(biāo)量方程。（4）不但研究取得運(yùn)動(dòng)微分方程辦法，也研究其求解普通方 法。第3頁(yè)第3頁(yè) 在完整約束條件下，擬定質(zhì)點(diǎn)系位置獨(dú)立參數(shù)數(shù)目，稱為質(zhì)點(diǎn)系自由度數(shù)，簡(jiǎn)稱自由度。 11 自由度和廣義坐標(biāo) 例：擬定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間位置需3個(gè)獨(dú)立參量 自由質(zhì)點(diǎn)為3個(gè)自由度。例：質(zhì)點(diǎn)M 被限定只能在球面上半部分運(yùn)動(dòng)由此解出第4頁(yè)第4頁(yè)這樣該質(zhì)點(diǎn)在空間中位置就由x,y這兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)所擬定它自由度數(shù)為2。 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)系，若受到s個(gè)完整約束作用自由度數(shù)為 N=3n-s描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中位置獨(dú)立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。對(duì)于完整約束廣義坐標(biāo)數(shù)目系統(tǒng)自由度數(shù)思考：非完整約束，廣義坐標(biāo)數(shù)目和系統(tǒng)自由度數(shù)目的關(guān)系？第5頁(yè)第5

3、頁(yè)拉格朗日廣義坐標(biāo) 約束方程為 系統(tǒng)N個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)參量表示為系統(tǒng)n個(gè)坐標(biāo)參量 設(shè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)受s個(gè)完整雙側(cè)約束 其中為廣義坐標(biāo) 變分稱為廣義虛位移。 第6頁(yè)第6頁(yè)例：一單擺在空間擺動(dòng)，擺長(zhǎng)為l。 約束方程為 自由度數(shù)為2。 x，y為獨(dú)立變量 （單擺在xy面上投影與x軸夾角）為獨(dú)立變量。 第7頁(yè)第7頁(yè)思考：導(dǎo)彈在追蹤飛機(jī)情況下，廣義坐標(biāo)數(shù)目和自由度數(shù)目的關(guān)系如何？描述導(dǎo)彈位置：質(zhì)心位置導(dǎo)彈縱軸和x 軸夾角獨(dú)立廣義坐標(biāo)數(shù)目為3 約束方程 導(dǎo)彈速度方向要對(duì)準(zhǔn)飛機(jī)質(zhì)心 非完整約束 獨(dú)立虛位移數(shù)目自由度數(shù)目2 第8頁(yè)第8頁(yè)設(shè)作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上積極力合力 在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影分別為 虛功方程 12 以廣

4、義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系平衡條件 1.以廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系平衡條件第9頁(yè)第9頁(yè)稱為與廣義坐標(biāo) 相相應(yīng)廣義力 。 由于廣義坐標(biāo)獨(dú)立性 可認(rèn)為任一值 如令 質(zhì)點(diǎn)系平衡條件是系統(tǒng)所有廣義力都等于零。 用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系平衡條件 第10頁(yè)第10頁(yè)求廣義力兩種辦法 1.直接計(jì)算法（解析法） 2.幾何法 令某一個(gè) 不等于零 而其它N-1個(gè)廣義虛位移都等于零 利用廣義虛位移任意性， 第11頁(yè)第11頁(yè)例11已知：桿OA和AB以鉸鏈相連， O端懸掛于圓柱鉸鏈上， 桿長(zhǎng)OA=a AB=b，桿重和鉸鏈摩擦都忽略不計(jì)。今在點(diǎn)A和B分別作用向下鉛錘力 和又在點(diǎn)B作用一水平力試求：平衡時(shí) 與 ， ， 之間關(guān)系。 第12頁(yè)第12

5、頁(yè)系統(tǒng)有兩個(gè)自由度。 現(xiàn)選擇 和 為系統(tǒng)兩個(gè)廣義坐標(biāo) 計(jì)算其相應(yīng)廣義力 和用第一個(gè)辦法計(jì)算廣義力：解：第13頁(yè)第13頁(yè)故系統(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)有 第14頁(yè)第14頁(yè)用第二種辦法計(jì)算： 保持 不變， 只有 時(shí)則相應(yīng)于 廣義力為 可得一組虛位移 第15頁(yè)第15頁(yè)保持 不變， 只有 時(shí)可得另一組虛位移 相應(yīng)于 廣義力 第16頁(yè)第16頁(yè)例 12已知：重物A和B分別連接在細(xì)繩兩端，重物A放置在粗 糙水平面上。重物B繞過(guò)定滑輪E鉛直懸掛。 在動(dòng)滑輪H軸心上掛一重物C。 設(shè)重物A重量為重物B重量為，不計(jì)動(dòng)滑輪H重量。試求：平衡時(shí)重物C重量 ；以及重物A與水平面間靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)。 第17頁(yè)第17頁(yè)系統(tǒng)含有兩個(gè)自由度。廣義

6、坐標(biāo)： 首先令 向右， 積極力所做虛功和為 相應(yīng)廣義坐標(biāo) 廣義力為 解：第18頁(yè)第18頁(yè)由于系統(tǒng)平衡時(shí)應(yīng)有 因此平衡時(shí),要求物塊與臺(tái)面間靜摩擦因數(shù) 再令 向下， 第19頁(yè)第19頁(yè)2.以廣義坐標(biāo)表示保守系統(tǒng)平衡條件及系統(tǒng)穩(wěn)定性 假如作用在質(zhì)點(diǎn)系上積極力都是有勢(shì)力，勢(shì)能為各力投影為 虛功為 虛位移原理表示式成為 第20頁(yè)第20頁(yè) 在勢(shì)力場(chǎng)中，含有抱負(fù)約束質(zhì)點(diǎn)系平衡條件為質(zhì)點(diǎn) 系勢(shì)能在平衡位置處一階變分為零。假如用廣義坐標(biāo) 表示質(zhì)點(diǎn)系位置。 則質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能能夠?qū)懗蓮V義坐標(biāo)函數(shù) 第21頁(yè)第21頁(yè)由廣義坐標(biāo)表示平衡條件可寫成下列形式 在勢(shì)力場(chǎng)中含有抱負(fù)約束質(zhì)點(diǎn)系平衡條件是勢(shì)能 對(duì)于每個(gè)廣義坐標(biāo)偏導(dǎo)數(shù)分別等

7、于零。不穩(wěn)定平衡：在平衡位置上系統(tǒng)勢(shì)能含有極大值。隨遇平衡：系統(tǒng)在某位置附近其勢(shì)能是不變。 穩(wěn)定平衡：在平衡位置處系統(tǒng)勢(shì)能含有極小值。第22頁(yè)第22頁(yè)對(duì)于一個(gè)自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)含有一個(gè)廣義坐標(biāo)q，因此系統(tǒng)勢(shì)能能夠表示為q一元函數(shù)即當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，在平衡位置處有假如系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處系統(tǒng)勢(shì)能含有極小值。即系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)廣義坐標(biāo)二階導(dǎo)數(shù)不小于零 一個(gè)自由度系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性判據(jù)第23頁(yè)第23頁(yè)例 13已知：如圖所表示一倒置擺，擺錘重量為 ，擺桿長(zhǎng)度為l，在擺桿上點(diǎn)A連有一剛度為k水平彈簧，擺在鉛直位置時(shí)彈簧未變形。設(shè)OA=a擺桿重量不計(jì)。試求：擺桿平衡位置及穩(wěn)定平衡時(shí)所應(yīng)滿足條件。第24頁(yè)第

8、24頁(yè)解：該系統(tǒng)是一個(gè)自由度系統(tǒng)，選擇擺角 為廣義坐標(biāo)。 擺鉛直位置為擺錘重力勢(shì)能和彈簧彈性勢(shì)能零點(diǎn)。系統(tǒng)總勢(shì)能為由有由得到系統(tǒng)平衡位置為第25頁(yè)第25頁(yè)對(duì)于穩(wěn)定平衡要求即第26頁(yè)第26頁(yè) 13 動(dòng)力學(xué)普遍方程n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn) , ， ， ， 。慣性力為抱負(fù)約束作用 在抱負(fù)約束條件下，質(zhì)點(diǎn)系在任一瞬時(shí)所受積極力系和虛加慣性力系在虛位移上所作功和等于零。第27頁(yè)第27頁(yè) 寫成解析表示式動(dòng)力學(xué)普遍方程尤其適合于求解非自由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。第28頁(yè)第28頁(yè)例 14已知：滑輪系統(tǒng)中，動(dòng)滑輪上懸掛著質(zhì)量為 重物，繩子繞過(guò)定滑輪后懸掛著質(zhì)量為 重物。設(shè)滑輪和繩子重量以及輪軸摩 擦都忽略不計(jì)。求：

9、質(zhì)量為 物體下降加速度。第29頁(yè)第29頁(yè)解：取整個(gè)滑輪系統(tǒng)為研究對(duì)象。由動(dòng)力學(xué)普遍方程第30頁(yè)第30頁(yè)例 15已知：兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m。求：當(dāng)細(xì)繩直線部分為鉛垂時(shí)，輪II中心C 加速度。第31頁(yè)第31頁(yè)解：研究整個(gè)系統(tǒng)。此系統(tǒng)含有兩個(gè)自由度取轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo)令則點(diǎn)C 下降動(dòng)力學(xué)普遍方程（a）第32頁(yè)第32頁(yè)令則代入動(dòng)力學(xué)普遍方程或（b）運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系（c）聯(lián)立式（a）（b）（c）解出第33頁(yè)第33頁(yè) 14 第二類拉格朗日方程 設(shè)由n質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)受s個(gè)完整約束作用，系統(tǒng)含有N=3n-s個(gè)自由度。設(shè) 為系統(tǒng)一組廣義坐標(biāo)第34頁(yè)第34頁(yè)對(duì)于完整約束系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是互相獨(dú)立。故 是任意

10、，為使上式恒成立，必須有廣義慣性力上式不便于直接應(yīng)用，為此可作下列變換：（1）證實(shí)：第35頁(yè)第35頁(yè)注意 和 只是廣義坐標(biāo)和時(shí)間函數(shù)（2）證實(shí)：第36頁(yè)第36頁(yè)對(duì)時(shí)間求微分而若函數(shù) 一階和二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)第37頁(yè)第37頁(yè)第38頁(yè)第38頁(yè)得到第二類拉格朗日方程 拉格朗日方程方程式數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系自由度數(shù)。假如作用在質(zhì)點(diǎn)系上積極力都是有勢(shì)力（保守力）第39頁(yè)第39頁(yè)于是拉格朗日方程能夠?qū)懗梢肜窭嗜蘸瘮?shù)（又稱為動(dòng)勢(shì)）則拉格朗日方程又能夠?qū)懗傻?0頁(yè)第40頁(yè)例 16已知：輪A沿水平面純滾動(dòng)，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上。A，B兩輪皆為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為 物塊C以細(xì)繩跨過(guò)定滑輪B聯(lián)于點(diǎn)A，半徑為R，質(zhì)量為 ，彈

11、簧剛度為k，質(zhì)量不計(jì)。試求：當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能始終保持張緊條件下， 此系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。第41頁(yè)第41頁(yè)解：此系統(tǒng)含有一個(gè)自由度，以物塊平衡位置為原點(diǎn)。取x為廣義坐標(biāo)。以平衡位置為重力零勢(shì)能點(diǎn)。取彈簧原長(zhǎng)處為彈性力零勢(shì)能點(diǎn)。系統(tǒng)在任意位置x處勢(shì)能為其中 為平衡位置處彈簧伸長(zhǎng)量此系統(tǒng)動(dòng)能為第42頁(yè)第42頁(yè)系統(tǒng)動(dòng)勢(shì)為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為第43頁(yè)第43頁(yè)例 17試求：此系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。已知：運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑，兩個(gè)物體重物 質(zhì)量為擺錘 質(zhì)量為水平面移動(dòng)。用無(wú)重桿連接，桿長(zhǎng)為l。第44頁(yè)第44頁(yè)解：選 和 為廣義坐標(biāo)（a）將式（a）兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)（b）系統(tǒng)動(dòng)能第45頁(yè)第45頁(yè)則系統(tǒng)勢(shì)能為選質(zhì)點(diǎn) 在最低處時(shí)位置為系統(tǒng)零勢(shì)能位置由此得第46頁(yè)第46頁(yè)把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中第47頁(yè)第47頁(yè)假如質(zhì)點(diǎn) 擺動(dòng)很小，能夠近似地認(rèn)為且能夠忽略含 和