2022年湖南省長沙市湖南師大附中博才實驗中學湘江校區(qū)數學高二下期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數學模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1九章算術中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？ ”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內

2、隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是 ( )ABCD2從名男生和名女生中選出名學生參加一項活動，要求至少一名女生參加，不同的選法種數是（ ）ABCD3函數 在的圖像大致為（ ）ABCD4已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為ABCD5設集合，那么集合中滿足條件的元素個數為( )A60B90C120D1306已知13個村莊中，有6個村莊道路在維修，用表示從13個村莊中每次取出9個村莊中道路在維修的村莊數，則下列概率中等于的是（ ）ABCD7若對任意實數，有，則（ ）ABCD8下列命題中真命題的個數是（ ），；若“”是假命題，則都是假命題；若“，”的否定是“，”A0B1C2D39九

3、章算術是我國古代的數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，其中中有很多對幾何體體積的研究已知某囤積糧食的容器是由同底等高的一個圓錐和一個圓柱組成,若圓錐的底面積為、高為,則該容器外接球的表面積為（ ）ABCD10已知集合，那么( )ABCD11下列選項中，說法正確的是（ ）A命題“”的否定是“”B命題“為真”是命題“為真”的充分不必要條件C命題“若，則”是假命題D命題“在中，若,則”的逆否命題為真命題12在極坐標系中，點關于極點的對稱點為ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的展開式中的常數項為_。14已知隨機變量X的分布列為P(X=i)= (i=1,2,3),則P

4、(X=2)=_.15若對任意，都有恒成立，則實數的取值范圍是_.16設，若不等式對任意實數恒成立，則取值集合是_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）習近平總書記在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，某城市選用某種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數據圖如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數的散點圖如下(1)請根據散點圖判斷，與中哪一個更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結

5、果及表中數據，建立y關于x的回歸方程，并預測第144天這株幼苗的高度(結果保留1位小數).附：，參考數據：140285628318（12分）某水產養(yǎng)殖基地要將一批海鮮用汽車從所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運費由水產養(yǎng)殖基地承擔若水產養(yǎng)殖基地恰能在約定日期（月日）將海鮮送達，則銷售商一次性支付給水產養(yǎng)殖基地萬元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給水產養(yǎng)殖基地萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給水產養(yǎng)殖基地萬元為保證海鮮新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運送海鮮，已知下表內的信息： 統(tǒng)計信息汽車 行駛路

6、線不堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）堵車的概率運費（萬元）公路公路（注：毛利潤銷售商支付給水產養(yǎng)殖基地的費用運費）（）記汽車走公路時水產養(yǎng)殖基地獲得的毛利潤為（單位：萬元），求的分布列和數學期望（）假設你是水產養(yǎng)殖基地的決策者，你選擇哪條公路運送海鮮有可能讓水產養(yǎng)殖基地獲得的毛利潤更多？19（12分）已知過點的橢圓的左右焦點分別為、，為橢圓上的任意一點，且，成等差數列.（）求橢圓的標準方程；（）直線交橢圓于，兩點，若點始終在以為直徑的圓外，求實數的取值范圍.20（12分）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若不等式在時恒成立，求實數的取值范圍；（3）

7、當時，證明：21（12分）已知函數，（其中，且），（1）若，求實數的值；（2）能否從（1）的結論中獲得啟示，猜想出一個一般性的結論并證明你的猜想22（10分）雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程； （2）雙曲線上有兩個點，直線和的斜率之積為，判別是否為定值，；（3）經過點的直線且與雙曲線有兩個交點，直線的傾斜角是，是否存在直線（其中）使得恒成立？（其中分別是點到的距離）若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】本題首先可以根據直角三角形的三邊長求出三角形

8、的內切圓半徑，然后分別計算出內切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率，故選C【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時 , 忽視驗

9、證事件是否等可能性導致錯誤2、B【解析】從反面考慮，從名學生中任選名的所有選法中去掉名全是男生的情況，即為所求結果【詳解】從名學生中任選名，有種選法，其中全為男生的有種選法，所以選出名學生，至少有名女生的選法有種.故選：B.【點睛】本題考查組合問題，也可以直接考慮，分類討論，在出現“至少”的問題時，利用正難則反的方法求解較為簡單，考查計算能力，屬于基礎題.3、C【解析】利用定義考查函數的奇偶性，函數值的符號以及與的大小關系辨別函數的圖象【詳解】，所以，函數為奇函數，排除D選項；當時，則，排除A選項；又，排除B選項故選C【點睛】本題考查函數圖象的辨別，在給定函數解析式辨別函數圖象時，要考查函數的

10、定義域、奇偶性、單調性、零點以及特殊值，利用這五個要素逐一排除不符合要求的選項，考查分析問題的能力，屬于中等題4、C【解析】試題分析： 因為雙曲線的離心率為,所以,又因為雙曲線中,所以,而焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為,所以此雙曲線的漸近線方程為,故選C.考點：1、雙曲線的離心率；2、雙曲線漸近方程.5、D【解析】從，且入手，可能取，分3種情況討論種的個數，再求5個元素的排列個數，相加即可得到答案.【詳解】因為，且，所以可能取，當時，中有1個1或，4四個 所以元素個數為；當時，中有2個1，3個0，或1個1,1個，3個0，或2個，3個0，所以元素個數為，當時，中有3個1,2個0，或2個1,1個

11、，2個0，或2個，1個1,2個0，或3個 ，2個0，元素個數為，故滿足條件的元素個數為，故選：D【點睛】本題考查了分類討論思想，考查了求排列數，對的值和對中的個數進行分類討論是解題關鍵，屬于難題.6、D【解析】根據古典概型的概率公式可得解.【詳解】由 可知選D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式，容易誤選B，屬于基礎題.7、B【解析】分析：根據，按二項式定理展開，和已知條件作對比，求出的值，即可求得答案.詳解：，且 ，.故選：B.點睛：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數.8、B【解析】若，故命題假；若“”是假命題，則至多有一個是真命題，故命題是假命題；依

12、據全稱命題與特征命題的否定關系可得命題“”的否定是“”，即命題是真命題，應選答案B9、C【解析】首先求出外接球的半徑，進一步利用球的表面積公式的應用求出結果【詳解】根據已知條件，圓錐的底面積為8，所以r28，解得圓錐的底面半徑為，由題外接球球心是圓柱上下底面中心連線的中點，設外接球半徑為R,則，解得 所以表面積故選C【點睛】本題考查的知識要點：組合體的外接球的半徑的求法及應用，球的表面積公式的應用，主要考察學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型10、C【解析】解出集合B，即可求得兩個集合的交集.【詳解】由題：，所以.故選：C【點睛】此題考查求兩個集合的交集，關鍵在于準確求出方程的解集，根據集合

13、交集運算法則求解.11、C【解析】對于A，命題“”的否定是“”，故錯誤；對于B，命題“為真”是命題“為真”的必要不充分條件，故錯誤；對于C，命題“若，則”在時，不一定成立，故是假命題，故正確；對于D，“在中，若，則或”為假命題，故其逆否命題也為假命題，故錯誤；故選C.12、C【解析】分析：在極坐標系中，關于極點的對稱點為詳解：關于極點的對稱點為，關于極點的對稱點為故選：C點睛：本題考查一個點關于極點的對稱點的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意極坐標性質的合理運用二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240【解析】根據二項式展開式通項公式確定常數項對應項數，再代入得結果【詳解

14、】，令得，所以的展開式中的常數項為.【點睛】本題考查求二項式展開式中常數項，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、【解析】分析：根據所給的隨機變量的分布列，寫出各個變量對應的概率，根據分布列中各個概率之和是1，把所有的概率表示出來相加等于1，得到關于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）詳解：P（X=i）= (i=1,2,3)，a=3，P（X=2）=.故答案選：C點睛：（1）本題主要考查分布列的性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2) 分布列的兩個性質： Pi0，i1，2，；P1+P2+=115、【解析】根據（）代入中求得的最大值，進而得到實數的取值范圍?！驹斀狻恳驗?，所以（當

15、且僅當時取等號）；所以，即的最大值為，即實數的取值范圍是；故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題的解題方法，解題關鍵是利用基本不等式求出的最大值，屬于中檔題。16、【解析】將不等式轉化為，分別在、的情況下討論得到的最大值，從而可得；分別在、的情況去絕對值得到不等式，解不等式求得結果.【詳解】對任意實數恒成立等價于：當時， 當時，當時，當時， 綜上可知：，即當時，解得：當時，無解當時，解得：的取值集合為：本題正確結果；【點睛】本題考查絕對值不等式中的恒成立問題，關鍵是能夠通過分類討論的思想求得最值，從而將問題轉化為絕對值不等式的求解，再利用分類討論的思想解絕對值不等式即可得到結果.三、解答題

16、：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 (1) 更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型；(2) ；預測第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【解析】（1）根據散點圖，可直接判斷出結果；（2）先令，根據題中數據，得到與的數據對，根據新的數據對，求出，再由最小二乘法求出，即可得出回歸方程，從而可求出預測值.【詳解】解：(1)根據散點圖，更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型； (2)令，則構造新的成對數據，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計算，.通過上表計算可得：因此 回歸直線過點(，)，故y關于的回歸直線方程為 從而可

17、得：y關于x的回歸方程為令x=144，則， 所以預測第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【點睛】本題主要考查非線性回歸方程，先將問題轉化為線性回歸方程，根據最小二乘法求出參數的估計值，即可得出結果，屬于?？碱}型.18、（）見解析，萬元；（）走公路可讓水產養(yǎng)殖基地獲得更多利潤【解析】試題分析：（）根據題意得到不堵車時萬元，堵車時萬元，結合題目中給出的概率得到隨機變量的分布列，求得萬元。（）設設走公路利潤為，同（）中的方法可得到隨機變量的分布列，求得萬元，故應選擇走公路可讓水產養(yǎng)殖基地獲得更多利潤。試題解析：（I）由題意知，不堵車時萬元，堵車時萬元。 隨機變量的分布列為 萬元（II）設走公路利

18、潤為，由題意得，不堵車時萬元，萬元， 隨機變量的分布列為： 萬元， 走公路可讓水產養(yǎng)殖基地獲得更多利潤19、 (1).(2)或.【解析】試題分析：（1）由題意，利用等差數列和橢圓的定義求出a、c的關系，再根據橢圓C過點A，求出a、b的值，即可寫出橢圓C的標準方程；（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），根據題意知x1=2，y1=0；聯(lián)立方程消去y，由方程的根與系數關系求得x2、y2，由點A在以PQ為直徑的圓外，得PAQ為銳角，0；由此列不等式求出k的取值范圍試題解析：（1），成等差數列，由橢圓定義得，；又橢圓：（）過點，；，解得，；橢圓的標準方程為；（2）設，聯(lián)立方程，消去得：；依題意：恒

19、過點，此點為橢圓的左頂點，由方程的根與系數關系可得，；可得；由，解得，；由點在以為直徑的圓外，得為銳角，即；由，；即，整理得，解得：或.實數的取值范圍是或.點睛：在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值.在利用代數法解決最值與范圍問題時，常從以下方面考慮：利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的關鍵是兩個參數之間建立等量關系；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；利用基本不等式求出參數的取值范圍；利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍.20、（1）

20、見解析；（2）；（3）見解析【解析】分析：（1）求出的導函數，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，注意在解不等式時要按的值分類討論；（2）由（1）的結論知當時，題中不等式成立，而當時，題中不等式不恒成立；（3）時，由（2）知上有，從而，令，然后所有不等式相加可證詳解： (1)yf(x)g(x)ln(ax1)，y， 當a1時，y0，所以函數yf(x)g(x)是0，)上的增函數；當0a0得x2，所以函數yf(x)g(x)在上是單調遞增函數，函數yf(x)g(x)在上是單調遞減函數； (2)當a1時，函數yf(x)g(x)是0，)上的增函數所以f(x)g(x)f(0)g(0)1，即不等式f(x)g(x)1在x0，)時恒成立，當0a1時，函數yf(x)g(x)是上的減函數，存在，使得f(x0)g(x0)g(x)1在x(0，)時恒成立，即