力學4剛體的定軸轉(zhuǎn)動1

1、（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）五 剛體定軸轉(zhuǎn)動陀螺儀1CAB F由于彈性，力在連續(xù)體內(nèi)傳播需要一定時間：5.1 剛體的運動一. 剛體（rigid body）的概念t t +t 才感受到力固體中彈性波的速度（k勁度）若 v ，則 k ，此時物體有無限的剛性，它受作用力不會變形，因而可以瞬時傳遞力。我們把這種不能變形的物體稱為剛體。下頁上頁2 顯然，剛體是個理想化的模型，而且考慮到剛體的特點，規(guī)律的表示還可較一剛體是特殊的質(zhì)點系，其上各質(zhì)點間的相對位置保持不變。質(zhì)點系的規(guī)律都可用于剛體，般的質(zhì)點系有所簡化。通常v固體 103m/s，所以只要我

2、們討論的運動過程的速度比此慢得多，就可把固體視為剛體。實際的意義。但是它有下頁上頁3的直線在運動各個時刻的位置都彼此平行。二 . 剛體的運動形式1.平動（translation）： 剛體做平動時，可用質(zhì)心或其上任何一平動是剛體的基本運動形式之一。 2.轉(zhuǎn)動（rotation）： 轉(zhuǎn)動也是剛體的基本運動形式之一，它又可分為定軸轉(zhuǎn)動和定點轉(zhuǎn)動。連接剛體內(nèi)任意兩點點的運動來代表整體的運動。下頁上頁4 定軸轉(zhuǎn)動：且各圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。 定點轉(zhuǎn)動：整個剛體繞過該定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動。 3.平面平行運動：剛體上各點的運動都平行于4.一般運動：剛體不受任何限制的的任意運動。它可分解為以下

3、兩種剛體的基本運動： 隨基點O（可任選）的平動 繞通過基點O的瞬時軸的定點轉(zhuǎn)動運動中各質(zhì)元均做圓周運動，運動中剛體上只有一點固定不動，某一固定平面的運動。下頁上頁5OOOO轉(zhuǎn)動與基點的選取無關(guān)。兩種分解，基點選取不同，例如：平動可以不同， 動力學中，常選質(zhì)心為基點。三 . 剛體轉(zhuǎn)動的描述（運動學問題）1.定點轉(zhuǎn)動（rotation about a fixed point）（1）角量的描述 為反映瞬時軸的方向及剛體轉(zhuǎn)動的快慢轉(zhuǎn)動卻相同，或和轉(zhuǎn)向，引入角速度矢量下頁上頁6與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。（不一定沿著瞬時軸） 基點OP瞬時軸剛體的方向沿瞬時軸，為反映 的變化情況，引入角加速度矢量 。 轉(zhuǎn)向下頁上

4、頁7（2）線量和角量的關(guān)系vrrP 基點O瞬時軸剛體旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度 2.定軸轉(zhuǎn)動（rotation about a fixed axis）轉(zhuǎn)軸固定，。和和退化為代數(shù)量下頁上頁8 O剛體vPrr定軸參考方向z下頁上頁95.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 把剛體看作無限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點系。令轉(zhuǎn)動慣量（對z軸）（rotational inertia）vi剛體 O,ri定軸zmiriFi下頁上頁10vi剛體 O,ri定軸zFiimiri則即轉(zhuǎn)動定律其中定軸情況下，可不寫下標 z ，記作：與牛頓第二定律相比，有：M 相應(yīng)F ，J 相應(yīng) m ， 相應(yīng) a 。下頁上頁11哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？下頁上頁125.3

5、 轉(zhuǎn)動慣量的計算dmrm轉(zhuǎn)軸 J 由質(zhì)量對軸的分布決定。一. 常用的幾種轉(zhuǎn)動慣量表示式 下頁上頁131、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：細圓環(huán)R又解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。下頁上頁142 求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是mR2/2。下頁上頁153. 求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑 為軸的 轉(zhuǎn)動慣量。解： 一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離 球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動慣量

6、：YXZORrdZZ下頁上頁16YXZORrdZZ下頁上頁174、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標dm=dx下頁上頁18前例中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量， JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：JJCmd2。這個結(jié)論稱為平行軸定理。平行軸定理下頁上頁19二. 計算轉(zhuǎn)動慣量的幾條規(guī)律1.對同一軸J具有可疊加性下頁上頁20 右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？(棒長為L、球半徑為R）下頁上頁21 2.平行軸定理JCdmJC平行3.對薄平板剛體的正交軸定理 ri mi x z yi y xiO即如圖下頁上頁22例求對薄圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量，已知圓盤 yx z 圓盤 R C m 解：思考下圖中的 Jz 如何求？zlDmCaazm下頁上頁235.4 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例定軸 ORthmv0= 0 繩（不可伸長）已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m，滑動，下落時間 t =3s。求：輪對 O 軸 J =？ 解：動力學關(guān)系：對輪：T = TmgmaRGTN對m