小學(xué)數(shù)學(xué)六年級知識點等積變形

1、學(xué)點形1.等模等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如圖 : : b 夾在一組平行線之間的等積變形，如圖； eq oac(,S)ACD BCD反之，如果 ，可知直線 平行于 等底等高 兩平 四形面積相長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊)； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等面積比等于它們的底之比個平行四邊形底相等面比等于 它們的高之比2.鳥定兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應(yīng)(相等角或互補兩夾邊的乘積之比如圖在 ABC 中D E

2、 分別是 , 上點如圖 (或 在 的長線上 在 上， 則 S : S ) : ( AD AE ) ADE3.蝶定任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝶定理： S 或者 : 4 3 3 蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑過造模型方可 以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系方面可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系DAS2S1OS4S3B梯形中比例關(guān)系(“梯形蝶形定： S : : S : : : : : : ab ； 的對應(yīng)份數(shù)為 4.相模(一金字塔模型 二 沙漏型A AFEBGC G CAD AE ；AB AG ： AF : AG eq oac(,S) ABC所謂的相似三角

3、形，就是形狀相同，大小不同的三角(要其形狀不改變，不論大小怎樣 改變它們都相似)，與相似三角相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形5.共定（尾型風(fēng)模）共邊定理：若直線 AO 和 BC 相于 （有四種情形有 : S : DC ABO ACO在三角形 中 ， ， 相交于同一點

4、 O ，么 BD : DC ABO ACO上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段 ABO 和 的形狀很象燕子 的尾巴所以這個定理被稱為燕定理定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用的 特殊性在于可存在于任何個三角形之中三形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提 供互相聯(lián)系的途.F C例 ：圖正方 的邊長 6， ， CF 方 EFGH 的面為分：接 DE，DF，長方形 的面積是三角形 面積的二倍 三角形 的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，S 1.5 4.5 ,所以長方形 EFGH 面積 33 2EHB 2EHB CHB 例 2：方 的積 36 cm ， E 、 、 G 為邊點 H 為 AD

5、上意點， 問影分積多？ H D 分：法一：尋找可利用的條件，連接 BH 、 ，下圖： 可得：EHB12、F C 1 S 、 FHB CHB DHC，即而 S ABCD CHD 1 ( ) 2；而 SEHBBHF陰影，SEBF 1 1 BE AB) ) 2 2 所以陰影部分的面積是：陰影 EBF 13.5解法二：特殊點法找 的殊點，把 H 點與 D 點合， 那么圖形就可變成右圖：A D H)E GBF 這樣陰影部分的面積就是 DEF 面積，根據(jù)鳥頭定理，則有： 陰影 1 1 1 2 2 2 例 ：圖示，方 BCD 內(nèi)的影分面之為 ， ， AD ，邊 EFGO 的積A DEB 分：用圖形中的包含關(guān)

6、系可以先求出三角形 AOE DOG 四邊形 EFGO 面積之和， 以及三角形 和 的積之和，進(jìn)而求四邊形 EFGO 的積由于長方形 ABCD 面積為 120 ，所以三角形 OC 的面積為 1 所以三角形 AOE 和 DOG 的積之和為 120 70 ； 又三角形 AOE 、 和邊形 的面積之和為 1 所四邊形 4 的面積為 20 另解：從整體上來看，四邊形E 的面積 角形 AFC 面 角形 面 色部 分的面積而角形 AFC 積 三角形 面積為長方形面積的一半即 60白色部的 面 積 等 于 長 方 形 面 積 減 去 陰 影 部 的 面 積 即 120 70 ， 所 以 四 邊 形 的 面 積

7、 為 60 例 ：知 ABC 為邊角，積 400 D 、 E 、F 分別三的點已甲乙 丙積為 143，陰五形面(是角 HBC A I FBMENC分：為 、 、 F 分為三邊的中點，所以D 、 、 EF 是三角形 的位線， 也就與對應(yīng)的邊平行據(jù)積例模型角形 和角形 AMC 的積都等于三角形 的半，即 根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有 丙ABNAMCAMHN，即 400 200 丙AMHN，所以丙AMHN又陰影 甲 乙AMHN，所以BEC 28 28 ADGBEC 28 28 ADG陰影 甲 乙 丙1 400 43 4例 ：圖已知CD ， DE ， EF ， FG ，線 將形成部，邊 部面是 38，邊分積

8、 ，那三形 的面是AAC DE FC E BB分：接 AF ， 根據(jù)題意可知， CF 27 DG 28 ；所以， ， 7 S ， S ， S CBF ADG，于是：21 S S ； 38 27；可得S故三角形 的積是 40例 6：如在 中， E 別 AB , 上的， : AB ， AE : AC 4:7 ， eq oac(,S) eq oac(, ) 平方米， 的積AADDEEBCB C分：接 BE ， : : AB : ， eq oac(, ) eq oac(, ): : AC : : (7 ， 所 以 : S : ， eq oac(,S) eq oac(, ) eq oac(,S) eq

9、oac(, )ABC ADE 份則 S 份， S 方厘米，所 1 份 2 平方厘米，35 份就是 ABC ADE方厘米， ABC 面積是 70 方厘米由我們得到一個重要的定理，共角定理：共角 三角形的面積比等于對應(yīng)(相角或互補兩夾邊的乘積之比 例 ：圖 中， 在 BA 延線， E 在 AC 上， AB : 2 : EC 3: ， 平方米求 ABC 的面 eq oac(, )ADEDAEB D 分：接 BE ， eq oac(, ): eq oac(,S) eq oac(, )AD : AB :5 (2 : (5 : S : AC 3: 2) (3 : 所以 : S : 25 則 份， eq o

10、ac(, ) eq oac(, ) eq oac(,S) eq oac(, )平方厘米以 份 平厘米25 就是 50 平方厘米 eq oac(,，) eq oac(, )ABC 的面積是 50 平厘米 此我們得到一個重要的定理角定理角角形的面積比等于對應(yīng)(相等角或互補) 兩夾邊的乘積之比例 ：圖平行邊 ABCD ， BE ，CF ， DC ， HA ，行 邊 的面積 2 ， 求平四形 ABCD 與邊 的面積HHABEABEGDDF分：接 AC 、 BD 據(jù)共角定理在 BFE 中， ABC 與 互，F(xiàn) eq oac(,S) eq oac(, ) eq oac(, ) 1 1 又 S ，所以 S

11、FBE同 可 ， eq oac(,S) eq oac(,S)DHG eq oac(, )所以 15+3+2 EFGH eq oac(,2) eq oac(, )AEH eq oac(,S)CFG eq oac(,S)DHG eq oac(,S) eq oac(, ) 1所以 18例 9如所的邊的積于少 A分：目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運公式直接求面. 我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實施變換：把三角形 OAB 繞點 逆時針旋轉(zhuǎn)使長為3 的條重合此時三角形 OAB 將旋轉(zhuǎn)到三 角形 的置這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個邊長 的方形，且這個正 方形的面積就是原來四邊形的面.因此

12、，原來四邊形的面積為 144 也可以用勾股定理例 10：如圖示 ABC 中， ABC AB ， BC ， 為一向 ABC 外作 正形 ，中心 O ，求 OBC 的面積EA3B 5 CDO 5 DF分：圖，將 OAB 沿 O 順時針旋轉(zhuǎn) 90達(dá) 的位置由于 ABC 以 OCB 180 OCF ， 所以 OCB 么 、 C 、 F 三點在一條直線上由于 OB BOF AOC 是等腰直角三角形邊 為 ，所以它的面積為 根據(jù)面積比例模型， OBC 的積為 如圖示正形ABCD 的邊為8 厘米長形 的長 BG 為0 厘米那長形的 寬幾米答；題主要是讓學(xué)生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積(方形和正方形可以

13、 看作特殊的平行四邊)三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半 證明：連接 (我通過 把兩個長方形和正形聯(lián)系在一在正方形 ABCD ， eq oac(, )ABG AB邊上的高， eq oac(,S) eq oac(, )ABGABCD(三角形面積等于與它等底等高平行四邊形面積的一)同理， eq oac(, )ABG正方形 ABCD 長方形 面相等 長形的寬 6.4 (米2.在長 6 厘米的方 內(nèi)取點 ，將方的一對二分另組 邊等，別 P 點連,陰部面A D () D DP PB C C3 3 答 特點法由 是方形內(nèi)部任意一點可采用特殊點法假設(shè) 與 A 點重合則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D示中兩

14、個陰影三角形的面積分別占正方形面積的141 1 1和 ，以陰影部分的面積為 2 ) 平厘米6 4 6（法 2）連接 、 PC 由于 PAD 與 的面積之等于正方形 ABCD 面的一半以下個陰影三角形的面積之和等于正方形 ABCD 面積的14，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于1正方形 ABCD 面的 ，以陰影部分的面積為 62 1 ) 平厘米 63.如，方 的面是 36， 是 AD 的三分， ED ，陰部的積 為 DAEOCB答；圖，連接 OE 根據(jù)蝶形定理， : ND : S : COE CDE，所以S SOED； : MA : : S 4BOE BAE ，所以 OEA又1 1 OE

15、D 矩形BCD，S S OEA OED， 所 以 陰 影 部 分 面 積 為 ： 2.7 4.如，角 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍如果角 ADE 的面 等 1，么角形 的面積多？AADEEB CB 答；接 BE EC S ABE 又 AB S ADE ， SADE 5.如，三形 ABC被成甲陰部)、兩分 DC ，BE ， AE ，乙分積甲分積幾？AABE甲乙DCBE甲D乙答；接 AD ， AE ， SABD 又 BD ， S S ， S ， S ABD BDE 乙 甲6.如，正形邊 為邊正形作角角 ABE ， 、 BD 交 O 知 AE 、 BE 長分別 3c

16、m 、 ，求三形 OBE 的面積 C OEOEF DA答；圖，連接 DE ，以 A 點為中心，將 ADE 順針旋轉(zhuǎn) 的置 那么 AEB 也 以四邊形 是直角梯形，且 ，所以梯形 的面積為： cm )又因為 是角三角形，根據(jù)勾股定理， ABBE34 ，以 AB2( cm )那么SABDABDAFBE ( )，所以S OBE12S 2.5BDE( cm)7.如圖六邊 ABCDEF 中 ED ， BC EF ，且 AB 行 ED ，AF 平于 CD ， 平于 ，角 FD 直 ，已 FD 厘， BD 厘， 問邊 ABCDEF 面是少方米BGBACACFDFDEE答；如，我們將 BCD 平移使得 重合，

17、將 平使得 ED 與 AB 重， BDF eq oac(,S) eq oac(, )ABC eq oac(, )ADE eq oac(,S) eq oac(, ) eq oac(, )ABC eq oac(,S) eq oac(, )DEF eq oac(,S) eq oac( BDF eq oac(,S) eq oac(, )ABC eq oac(, )ADE eq oac(,S) eq oac(, ) eq oac(, )ABC eq oac(,S) eq oac(, )DEF eq oac(,S) eq oac(, )DEB eq oac(,S) eq oac(, ) eq oac(,

18、) eq oac(, )F F E x y B C eq oac(, )這樣 、 都合到圖中的 AG 了這樣就組成了一個長方形 ，它的面積與原六 邊形的面積相等然方形 的面積為 24 432 平方厘米以邊形 ABCDEF 的面積為 平厘米8.如，角 ABC 的積 ， 是 的點點 上， BD : ， 與 交于 F 四形 DFEC 的積于AEBDFCAABF 2DEBDEBD 1 S AE答；法一：連接 CF ，據(jù)燕尾定理， eq oac(, )ABF ， eq oac(,S) eq oac(, ) ,DC EC eq oac(, )ACF CBF設(shè) S 份，則 ， 份 份如圖所 eq oac(,

19、 )DCF eq oac(,S) eq oac(, ) eq oac(,S) eq oac(, )EFC標(biāo) 5 所以DCEF 方法二：連接 DE ，由題目條件可得到 eq oac(, )ABD1 3 3， 2 ，所以 eq oac(, )ABD ， 3 1 eq oac(, ) 1 1 3 12，而CDE2 1 1 3 35所以則四邊形 DFEC 的積等于 129.如，方 的積 平方米 DE ， F 是 DG 中影分面 積多平厘?ADAADD答；設(shè)B DEF13 F E23 xB G C 份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示EyCS陰影 5 平方厘米.那 么 CEF那 么 CEF四形 的角 與

20、BD 于 O (如所)如三形 的面等三角 BCD 的積 且 AO ，DO 那 CO 的長是 DO 的長的_倍ADADOHOGBC BC答；本題中，四邊形 為任意四邊形，對于這種”不良四邊形乎兩種處理 方法用已知條件向有型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊 形看到題目中給出條件 : 1:3 ，這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一ABD 種解法又觀察題目中給出的已條件是面積的關(guān)系化為邊的關(guān)系可以得到第二種解 法第種解法需要一個中介來改造這個四形以作 AH 垂 BD 于 H ， CG 垂 BD 于 ，面積比轉(zhuǎn)化為高之比再應(yīng)用結(jié)論：三角形相同，則面積之比等于底 邊之比，得出結(jié)果老師注意比

21、較兩種解法，使學(xué)生體會到蝶形定理的優(yōu)勢，從而主觀上 愿意掌握并使用蝶形定理解決問題解法一： AO : : S 3 ， ， : 2:1 ABD BDC解法二：作 AH 于 H ， BD 于 G SABD1 3BCD， AH CG ， S ， AO CO ， OC ， OC OD 6:3 2:1 如，行邊形 ABCD 的角交 點 CEF 、 、 ODF 、 的 面依是 2 和 6求 OCF 的面；求 GCE 的面ADOGB EC答；根據(jù)題意可知 的面積為 那么 BCO 和 CDO 面積都 是 ，以 OCF 的積為 8 ；由于 BCO 的積為 8， 的積為 6，所以 OCE 的面積為 ，根據(jù)蝶形定理

22、EG FG : : 2 COF 1 3 3S : FG GCE ，如圖，方 ABCD 中， BE EC ， DF : FC ，角 的面為 2 平方 厘，長形 ABCD 的面長 方形2 AFD長 方形2 AFDDDCC答；接 ， 因為 : EC 2:3 ， DF : FC 2 ，所以SDEF3 1 ) S5 3 10長方形因為1 AED長方形ABCD 1， AG : GF : ， 10所以所以S 方厘米， AGD GDF 平厘米因為 1 S6長方形ABCD，所以長方形 ABCD 面積是 平方厘米如正形 ABCD 面積 3 平方米 是 AD 邊上中求中影部的積 GMD答；為 M 是 AD 邊的中點

23、，所以 AM : ，據(jù)梯形蝶形定理可以知道: : : 2 : 2 : 4 eq oac(, ) eq oac(, ) eq oac(, )MCG eq oac(,S)BCG設(shè) S 份則 份 eq oac(,S) eq oac(, )MCD所 正形的面積為 份，陰影 份，所以 : 陰影 正方形，所以 陰影平方厘米在下圖正形 中， E 是 BC 邊的點 AE 與 相于 F 點三形 BEF 的 面為 平方厘，么方 ABCD 面積是方米所 以 所 以 F答；接 ，據(jù)題意可知 BE : 2 ，根據(jù)蝶形定理得梯形(平方厘)， eq oac(,S) eq oac(, )ECD(平方厘米，么12ABCD(平方

24、厘米已 是行四形 CE ，角 的面積 平方厘陰 部的積平厘AADB C EOB E答；接 AC 由于 ABCD 是行四邊形， CE ，以 : AD ，根據(jù)梯形蝶形定理， S : 所以 (方厘米)， AOC: S : S 2 : 2 3:3 DOE AODS 平方厘米，AOD : 6 6 :9 (平方厘米， ACD陰影部分面積為 6 (平厘米)1.右中 是形ABED 是平行邊已三形積圖示(位方米)， 陰部的積平厘A 99212144C CB E答：接 由 AD 與 平行的所以 AECD 也梯形那么根據(jù)蝶形定理， (平方厘米OAD ，故2，2.右中 是形 是平四形知角面如所(單平厘) 陰部的積平厘

25、S OCDS OCDA 88161622B E BE答：接 于 AD 與 是行的，所以 AECD 也梯，那么根據(jù)蝶形定理， ， S 2 ，所以 (平厘) 另解：在平行四邊形 ABED 中SS (平方厘米，所以 12 (平厘米)，AOE ADE AOD根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為8 平方厘米3.如，方 ABCD 被 CE 、 DF 分成塊已知中 3 塊面分為 2、5 平方 米那余的邊 的面積_平厘米A EFB A FB225?5?88C DC答：接 、 四邊形 為形所以 ，根據(jù)蝶形定理， FOCS 所 S 所以 S (平 厘米)， S (平方厘米么長方形 的面積為 1 平厘米，四 邊形 OFB

26、C 的面積為 (平方厘4.如， 等直角角， DEFG 是方，段 AB 與 相交于 知 方 DEFG 的積 48， AK : KB 1:3 ，則 的面是少DA D KKB E E M C答由于 是正方形以 與 BC 行么邊形 是梯形梯形 ADBC 中， BDK 和 ACK 的積是相等的而 AK : KB ，以 ACK 的積是 ABC 面 1 的 ，么 BDK 的面積也是 ABC 面的 4 4由于 是腰直角三角形如過 A 作 的線， 為足那 是 BC 的點， 而且 AM 可 和 ACM 的積都等于正方形 面積的一半以 的面積與正方形 的面積相等，為 48那么 的面積為 48 5.下中，邊 ABCD

27、 都邊為 1 的正形 F 、 、H 分是 ， CD ， 的中，果圖陰部與圖中影分面之是簡數(shù) ( ) 的值于A H D A H DE Gmn，么B F B F C答：、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個圖中 的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積 如下圖所示，在左圖中連接 EG 設(shè) AG 與 DE 的點為 M 1左圖中 為方形知 AMD 的積為長方形 AEGD 面的 以三角形 AMD 的4面積為1 1 又左圖中四個空白三角形的面積相等的，所以左圖中陰影部分的面 8 積為 1 H A DM G EN 如上圖所示，在右圖中連接 、

28、EF 設(shè) AF 、 的交點為 N 1可知 EF 且 EF 那么三角形 的面積為三角形 ABC 面的 所三角形4 1 1 1 3 的面積為12 ，形 的面積為 4 8 2 8 8在梯 形 AEFC 中由 于 : AC 2 ，據(jù)梯形 蝶定理 ，其部分的 面比 ：:1 1 2: 2: 4 ，以三角形 EFN 的積為 1 ，那么四邊形 1 1BENF 的面積為 右圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部 6 分的面積為1 3那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為 : 3: 2 ， ， 2那么 用三不同的方法，把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形 答：方法 1：如圖，將 B 邊四

29、分BD=DE=EF=FC= eq oac(,、)AEF AFC 等。14BC連 AD， eq oac(,則)ABD、ADE方法 2：如圖，先將 BC 二分分點 D連結(jié) AD得到兩個等積三角形， eq oac(,即)ABD 與ADC 等積然后取 AC、AB 中點 E，并連結(jié) DE、DF以而得到四個等積三角形， ADF、 BDF、 eq oac(,、) ADE 等積方法 3如先 BC 四等分 BD=1 BC連結(jié) AD再將 AD 三分 AE=EF=FD= AD，4 3連結(jié) CE、CF，從而得到四個等級的三角形，即ABD eq oac(,、)CDF eq oac(,、) ACE 等。用三不同的方法將任意一個三角形分成三個小三角形，使它們的面積比為及 134 答：方法 1：如圖，將 邊等分，取 134 的點 、E連結(jié) AD、AE，從而得到ABD eq oac(,、)ADE AEC 的積比為 134方法 2：如圖，先取 的點 D再取 AB 的等分點 ，連結(jié) AD、DE，從而得到三個三角 形： eq oac(,、) eq oac(,、)BDE eq oac(,) 其積比為 34方法 3：如圖，先取 AB 的中點 D連結(jié) CD再取 的等分點 E，連結(jié) AE，從而得到三個 三角形： eq oac(,、)ACE eq oac(,、) eq oac(,) 其面積比為 3如右