高等數(shù)學(xué)課件：2-11高階導(dǎo)數(shù)

1、二、求高階導(dǎo)數(shù)舉例第四節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)三、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 第二章 一、高階導(dǎo)數(shù)的定義速度即加速度即1. 引例 變速直線運(yùn)動(dòng)2. 定義二階導(dǎo)數(shù)，記作(2)若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a, b)或即或類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,或的二階導(dǎo)(函)數(shù) ,記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù) .上可導(dǎo), 則稱二、求高階導(dǎo)數(shù)舉例1. 逐階求導(dǎo)法: 按高階導(dǎo)數(shù)的定義逐階求導(dǎo).解例12. 歸納法:n 階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式.逐階求出若干階導(dǎo)數(shù)后,再歸納出例2解由此結(jié)果可得下列重要結(jié)論:(1) 若為自然數(shù)n, 則(3)若=1,則由上

2、式易得(其中a為常數(shù))(2)只要自然數(shù)mn, 就有3. 利用已知高階導(dǎo)數(shù)法常用高階導(dǎo)數(shù)公式：解 設(shè)求例34. 隱函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)舉例例4 由方程確定 , 求解方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),得再求導(dǎo), 得當(dāng)時(shí),故由 得再代入 得5. 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)舉例若參數(shù)方程二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程, 可得中?已知注意 :例5解設(shè), 且求三、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則(C為常數(shù)) 萊布尼茨(Leibniz) 公式及設(shè)函數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茨公式成立 .例6求解 設(shè)則代入萊布尼茲公式 , 得解可導(dǎo)不一定存在，故用定義求例7內(nèi)容小結(jié)1. 逐階求導(dǎo)法2

3、. 利用歸納法3. 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式4. 利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法：如,5. 求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí), 從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式.直接法思考題1. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?解 解 2. (填空題) (1) 設(shè)則提示:各項(xiàng)均含因子 ( x 2 )(2) 已知任意階可導(dǎo), 且時(shí)提示:則當(dāng)3. 設(shè)求使存在的最高分析: 但是不存在 .2又階數(shù)備用題例1-1解解 設(shè)求其中 f 二階可導(dǎo).例1-2例2-1解例2-2解規(guī)定 0 ! = 1思考:求例2-3 設(shè)求解 一般地 ,類似可證:例2-4證假設(shè)：則例2-5 設(shè)解例3-1 解解例3-2例3-3 設(shè)解 令令x = 2,可得A = 1.求令x = 1,可得B = 1.解例3-4例4-1分析（不一致）（一致）（不一致）解例4-2解兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)解例4-3例5-1解求由星形線的參數(shù)方程解所確定的函數(shù)y = y(x)的二階導(dǎo)數(shù).例5-2xyOa- a例6-1解