《無窮集合論的創(chuàng)立》課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品

1、無窮集合論的創(chuàng)立課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品無窮集合論的創(chuàng)立課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品1.問題的引入有限和無窮香迪悖論小說香迪傳的講述者香迪曾說自己用了兩年時間來記錄其生活中頭兩天的歷史，然后香迪抱怨說，按照這種速度他永遠(yuǎn)也寫不完自己的傳記。在這一情節(jié)啟發(fā)下，數(shù)學(xué)家羅素巧妙利用“無限未來”的概念提出了香迪悖論：如果香迪可以永遠(yuǎn)活下去，而且堅持不懈的寫下去，那么，即是他的一生始終像開端那樣充滿需要記錄的內(nèi)容，他的傳記也不會遺留任何部分。羅素的論證大致如下：假定香迪生于1700年1月1日，而寫作開始于1720年1月1日。其寫作進(jìn)程如下：1.問題的引入有限和無窮香迪悖論寫作

2、的年份 涵蓋的事件 1720 1700年1月1日 1721 1700年1月2日 1722 1700年1月3日 但是，每一天對應(yīng)于一年，每一年對應(yīng)于一天。對于任何一天，在未來都由指定的一年去記錄它，絕無例外?！跋愕系膫饔洸粫z漏任何部分。” 羅素的香迪悖論在常識看來不可思議。事實(shí)上，當(dāng)我們逐漸了解集合論中的無窮觀點(diǎn)后，就可以明白這一論證是正確的，并無荒謬之處。寫作的年份 無窮集合的概念集合論的基礎(chǔ)集合論的意義無窮集合的概念無窮集合（元素個數(shù)無窮）一個“矛盾”的集合Aristotle（亞里士多德）考慮過無窮集合，他認(rèn)為潛在的無窮（大）需要和真實(shí)的無窮（大）加以區(qū)別。微積分重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 微積分理論遇

3、到嚴(yán)重的邏輯困難 對微積分基礎(chǔ)的嚴(yán)密論證成為集合論產(chǎn)生的一個重要原因 2.無窮集合的概念無窮集合（元素個數(shù)無窮）一個“矛盾”的集合2.無窮集合的在重建微積分理論的過程中，Bolzano（波爾查諾）是第一個朝著建立集合的明 確理論方向采取了積極步驟的人，他維 護(hù)了集合的存在，并強(qiáng)調(diào)了兩個集合等價的概念，即兩個集合元素間的一一對應(yīng)關(guān)系。他注意到無限集合的部分或子集可以等價于整體，例如0到5之間的實(shí)數(shù)可以通過公式 與0到12間的實(shí)數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)，雖然和第二個數(shù)集包含了第一個數(shù)集。但是他同樣也遇到了一些問題在他看來屬于悖論的，因此他認(rèn)為這些不必深入研究。 3.集合論的基礎(chǔ)在重建微積分理論的過程中，Bo

4、lzano 3.集合論的基礎(chǔ) x y 00 1 2.4 2.5 6 0.5 1.2 5 12 x 隨著實(shí)數(shù)不可列性質(zhì)的確立，康托又提出一個新的，更大膽的問題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)。從直觀上說，平面上的點(diǎn)顯然要比線上的點(diǎn)要多得多。康托自己起初也是這樣認(rèn)識的。但三年后，康托宣布：平面和直線之間可以建立一一對應(yīng)，證明簡述為只需證明區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點(diǎn)一樣多即可。 在區(qū)間(0,1)內(nèi)的點(diǎn)都可以表示成一個無窮小數(shù)，比如0.2574892 如果是1/4，可以表示成0.25000000。 以0.257489257621為例 我們把它的奇數(shù)位和偶數(shù)位分別

5、取出來 得到兩個新的數(shù)0.278272和0.549561 無窮集合論的創(chuàng)立課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品 1845.3.31918.1.6Georg Cantor 集合論的創(chuàng)立者是Georg Cantor， Cantor對集合所下的定義是一些確定 的，不同東西的總體，這些東西使人 能意識到并判斷一個給定的東西是否 屬于這個總體。對Cantor來說，如果 一個集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一 對應(yīng)，它就是無窮的。當(dāng)他把全體自 然數(shù)看作一個集合時,他是把無限的整體作為了一個構(gòu)造完成了的東西,這樣他就肯定了實(shí)無窮。他定義了基數(shù),可數(shù)集合（凡是能和自然數(shù)集一一對應(yīng)的集合都稱作可數(shù)集，也叫可列集）

6、等概念。 1845.3.31918.1.6Georg 過去數(shù)學(xué)家認(rèn)為靠得住的只有有限，而無窮最多只是模模糊糊的一個記號。而康托爾把無窮分成許多“層次”。在最初階段，康托爾主要證明了無窮之間也有差別，既存在可數(shù)的無窮，比如自然數(shù)集，也存在那種像實(shí)數(shù)集合那樣不可數(shù)的無窮。我們不妨看一些有關(guān)這些無窮集合分類的最基本的證明，了解一些最基本的數(shù)學(xué)思想 。首先康托爾證明了有理數(shù)是可數(shù)集隨后他又證明了實(shí)數(shù)是不可數(shù)集過去數(shù)學(xué)家認(rèn)為靠得住的只有有限，而無窮最多只是模模糊糊的一個 實(shí)數(shù)不可數(shù)集（局部化思想） 在（0，1）上考慮 實(shí)數(shù)可表示為 0. 為非負(fù)整數(shù) 1 0. 2 0. 3 0. 令 b=0. 當(dāng) =5，

7、 =4； 當(dāng) 5 =5。 b=0. = 矛盾！ 反證法 反證法隨著實(shí)數(shù)不可列性質(zhì)的確立，康托又提出一個新的，更大膽的問題。1874年，他考慮了能否建立平面上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)。從直觀上說，平面上的點(diǎn)顯然要比線上的點(diǎn)要多得多。康托自己起初也是這樣認(rèn)識的。但三年后，康托宣布：平面和直線之間可以建立一一對應(yīng)，證明簡述為只需證明區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點(diǎn)一樣多即可。 在區(qū)間(0,1)內(nèi)的點(diǎn)都可以表示成一個無窮小數(shù)，比如0.2574892 如果是1/4，可以表示成0.25000000。 以0.257489257621為例 我們把它的奇數(shù)位和偶數(shù)位分別取出來 得到兩個新的數(shù)0.27827

8、2和0.549561 無窮集合論的創(chuàng)立課件-優(yōu)質(zhì)公開課-人教A版選修3-1精品以它們作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的點(diǎn)是單位正方形內(nèi)的一個點(diǎn) 。所以區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意點(diǎn)都可以在單位正方形內(nèi)找到唯一的對應(yīng)點(diǎn)。 反過來，單位正方形內(nèi)的一個點(diǎn)， (0.278272,0.549561) 可以對應(yīng)為一個數(shù)0.257489257621， 即單位正方形內(nèi)的任意一個點(diǎn)都可以在區(qū)間(0,1)上找到唯一的對應(yīng)點(diǎn) 。所以區(qū)間(0,1)和單位正方形上的點(diǎn)一樣多 同理可證直線和平面上的點(diǎn)一樣多這一結(jié)果是出人意外的。就連康托本人也覺得“簡直不能相信”。然而這又是明擺著的事實(shí)，它說明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發(fā)現(xiàn)真理，避免謬誤。以它們作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的點(diǎn)是單位正方形內(nèi)的一個點(diǎn) 。所以區(qū)集合論基礎(chǔ)我們知道，在有限集合中，兩個元素是可以比較大小的，自然數(shù)集中的元素是同樣可以比較大小的。在一般的無限集合中是怎樣的情況呢？康托爾系統(tǒng)地研究了序數(shù)理論，提出了良序原理，即可以給任何集合內(nèi)的所有元素定義一個大小關(guān)系，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。集合論本身出現(xiàn)矛盾 20世紀(jì)集合論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的出發(fā)點(diǎn) 集合論基礎(chǔ)從無窮集合發(fā)展起來的集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論。它的概念和方法已經(jīng)滲透到代數(shù)、拓?fù)浜头治龅仍S多數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)等一些自然學(xué)科中，為這些學(xué)科提供了