221綜合法和分析法（2）學(xué)案（人教A版選修1-2）

1、第2課時(shí)分析法及其應(yīng)用課標(biāo)解讀1.了解分析法證明數(shù)學(xué)問題的格式、步驟(重點(diǎn))2.理解分析法的思考過程、特點(diǎn)，會用分析法證明較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題(難點(diǎn))分析法【問題導(dǎo)思】證明不等式：eq r(3)2eq r(2)2eq r(7)成立，可用下面的方法進(jìn)行證明：要證明eq r(3)2eq r(2)0,2eq r(7)0，只需證明(eq r(3)2eq r(2)2(2eq r(7)2.展開得114eq r(6)114eq r(7)，只需證明67，顯然67成立eq r(3)2eq r(2)2eq r(7)成立1本題證明從哪里開始？【提示】從結(jié)論開始2證題思路是什么？【提示】尋求每一步成立的充分條件1分析法的

2、定義從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做分析法2分析法的框圖表示QP1P1P2P2P3得到一個(gè)明顯成立的條件應(yīng)用分析法證明不等式設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證：eq r(a2b2)eq f(r(2),2)(ab)【思路探究】分析：討論eq r(a2b2)eq f(r(2),2)(ab)成立的條件，分ab0和ab0兩種情況【自主解答】若ab0，b0，證明不等式eq f(a2,b)eq f(b2,a)ab.【證明】要證eq f(a2,b)eq f(b2,a)ab，只需證a3b3a2bb2a只需證

3、a3b3a2bb2a即證(ab)2(ab)0.又a0，b0，(ab)2(ab)0顯然成立因此，原不等式成立.用分析法證明其他問題在數(shù)列an中，a1eq f(1,2)，an1eq f(1,2)aneq f(1,2n1)，設(shè)bn2nan，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列【思路探究】分析bn成為等差數(shù)列的條件是否成立【自主解答】要證bn為等差數(shù)列，只要證bn1bnd(常數(shù))(n1)，即證2n1an12nan為常數(shù)即證2n1(eq f(1,2)aneq f(1,2n1)2nan為常數(shù)，而2nan12nan1為常數(shù)成立bn是等差數(shù)列1利用分析法證明時(shí)，在敘述過程中“要證”“只需證”“即要證”這些詞語必不可少，否

4、則會出現(xiàn)錯(cuò)誤2逆向思考是用分析法證題的主題思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向，使問題順利獲解已知，keq f(,2)(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2，求證：eq f(1tan2,1tan2)eq f(1tan2,21tan2).【證明】eq f(1tan2,1tan2)eq f(1tan2,21tan2)eq f(1f(sin2,cos2),1f(sin2,cos2)eq f(1f(sin2,cos2),21f(sin2,cos2)cos2sin2eq f(cos2sin2,2)2(12sin2)12sin24sin22sin21，由

5、已知得：4sin2sin2cos22sin cos ，12sin cos ，2sin22sin cos ，4sin22sin21成立，eq f(1tan2,1tan2)eq f(1tan2,21tan2)成立.綜合法和分析法的綜合應(yīng)用已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A，B，C的對邊求證：(ab)1(bc)13(abc)1.【思路探究】利用分析法得出c2a2b2ac，再利用綜合法證明其成立【自主解答】要證(ab)1(bc)13(abc)1，即證eq f(1,ab)eq f(1,bc)eq f(3,abc)，只需證eq f(abc,ab)eq f(abc,bc)3.化

6、簡，得eq f(c,ab)eq f(a,bc)1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需證c2a2b2ac.因?yàn)锳BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60，所以cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(1,2)，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立1綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路2在實(shí)際證明命題時(shí)，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0 x1.求證：logxeq f(ab,2)logxeq f(bc,2)logxeq f(ac,2)logx alogx blogx c.【證明】要證明lo

7、gxeq f(ab,2)logxeq f(bc,2)logxeq f(ac,2)logx alogx blogx c，只需要證明logx(eq f(ab,2)eq f(bc,2)eq f(ac,2)logx(abc)由已知0 x1，只需證明eq f(ab,2)eq f(bc,2)eq f(ac,2)abc.由公式eq f(ab,2)eq r(ab)0，eq f(bc,2)eq r(bc)0，eq f(ac,2)eq r(ac)0.又a，b，c是不全相等的正數(shù)，eq f(ab,2)eq f(bc,2)eq f(ac,2)eq r(a2b2c2)abc.即eq f(ab,2)eq f(bc,2)e

8、q f(ac,2)abc成立logxeq f(ab,2)logxeq f(bc,2)logxeq f(ac,2)logx alogx blogx c成立.因邏輯混亂而出錯(cuò)設(shè)向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，若tan tan 16，求證：ab.【錯(cuò)解】ab，且a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，(4cos )(4cos )sin sin ，即sin sin 16cos cos ，eq f(sin ,cos )eq f(sin ,cos )16，tan tan 16，即結(jié)論正確【錯(cuò)因分析】以上證明混淆了已知和結(jié)論，把頭腦中的分析過程當(dāng)成了證明過程，如果

9、按分析法書寫就正確了；當(dāng)然，本題用綜合法書寫證明過程更簡潔【防范措施】分析法的優(yōu)點(diǎn)是方向明確，思路自然，故利于思考，但表述易錯(cuò)；綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表達(dá)，條理清晰，形式簡捷，故我們一般用分析法尋求解題思路，用綜合法書寫解題過程【正解】分析法：要證明ab，而a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，即要證明(4cos )(4cos )sin sin ，即要證sin sin 16cos cos ，即要證eq f(sin ,cos )eq f(sin ,cos )16，即要證tan tan 16，而tan tan 16已知，所以結(jié)論正確綜合法：tan tan 16，eq f(sin ,c

10、os )eq f(sin ,cos )16，即sin sin 16cos cos ，(4cos )(4cos )sin sin ，即a(4cos ，sin )與b(sin ，4cos )共線，ab.1綜合法的特點(diǎn)是：從已知看可知，逐步推出未知2分析法的特點(diǎn)是：從未知看需知，逐步靠攏已知3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來1直接證明中最基本的兩種證明方法是()A類比法和歸納法B綜合法和分析法C比較法和二分法

11、D換元法和配方法【解析】根據(jù)綜合法和分析法的定義可知，二者均為直接證明方法【答案】B2欲證eq r(2)eq r(3)eq r(6)eq r(7)，只需要證()A(eq r(2)eq r(3)2(eq r(6)eq r(7)2B(eq r(2)eq r(6)2(eq r(3)eq r(7)2C(eq r(2)eq r(7)2(eq r(3)eq r(6)2D(eq r(2)eq r(3)eq r(6)2(eq r(7)2【解析】eq r(2)eq r(3)0，eq r(6)eq r(7)0，要證eq r(2)eq r(3)eq r(6)eq r(7)，只需證eq r(2)eq r(7)eq r

12、(3)eq r(6)，即證(eq r(2)eq r(7)2(eq r(3)eq r(6)2.【答案】C3在證明命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的過程“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”中應(yīng)用了()A分析法B綜合法C分析法和綜合法綜合使用D間接證法【解析】符合綜合法的證明思路【答案】B4已知ab0，試用分析證明eq f(a2b2,a2b2)eq f(ab,ab).【證明】要證明eq f(a2b2,a2b2)eq f(ab,ab)(由ab0，得ab0)只需證(a2b2)(ab)(a2b2)(ab)，只需證(ab)2a2b2，即2ab0

13、，因?yàn)閍b0，所以2ab0顯然成立因此當(dāng)ab0時(shí)，eq f(a2b2,a2b2)eq f(ab,ab)成立.一、選擇題1下列表述：綜合法是由因?qū)Ч?；綜合法是順推法；分析法是執(zhí)果索因法；分析法是間接證明法；分析法是逆推法其中正確的語句有()A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)【解析】結(jié)合綜合法和分析法的定義可知均正確，分析法和綜合法均為直接證明法，故不正確【答案】C2要證明eq r(a)eq r(a7)eq r(a3)eq r(a4)(a0)可選擇的方法有多種，其中最合理的是()A綜合法 B類比法C分析法 D歸納法【解析】要證eq r(a)eq r(a7)eq r(a3)eq r(a4)，只需證2a72e

14、q r(aa7)2a72eq r(a3a4)，只需證eq r(aa7)eq r(a3a4)，只需證a(a7)(a3)(a4)，只需證012，故選用分析法最合理【答案】C3已知f(x)eq f(a2x12,2x1)是奇函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值等于()A1 B1 C0 D1【解析】當(dāng)a1時(shí)，f(x)eq f(2x1,2x1)，f(x)eq f(12x,2x1)f(x)，f(x)為奇函數(shù)a1,0時(shí)得不出f(x)為奇函數(shù)，故A正確【答案】A4下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1f(x2)”的是()Af(x)eq f(1,x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)

15、【解析】若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，)上為減函數(shù)，在A、B、C、D四選項(xiàng)中，由基本函數(shù)性質(zhì)知，A是減函數(shù)，故選A.【答案】A5對一切實(shí)數(shù)x，不等式x2a|x|10恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，2 B2,2C2，) D0，)【解析】用分離參數(shù)法可得a(|x|eq f(1,|x|)(x0)，而|x|eq f(1,|x|)2，a2，當(dāng)x0時(shí)原不等式顯然成立【答案】C二、填空題6設(shè)Aeq f(1,2a)eq f(1,2b)，Beq f(2,ab)(a0，b0)，則A、B的大小關(guān)系為_【解析】ABeq f(ab,2ab)eq f(2,ab)eq f(ab24ab,2abab)0.【答案

16、】AB7若拋物線y4x2上的點(diǎn)P到直線y4x5的距離最短，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_【解析】數(shù)形結(jié)合知，曲線y4x2在點(diǎn)P處的切線l與直線y4x5平行設(shè)l：y4xb.將y4xb代入y4x2，得4x24xb0，令0，得b1.4x24x10，xeq f(1,2)，y1.【答案】(eq f(1,2)，1)8補(bǔ)足下面用分析法證明基本不等式eq f(a2b2,2)ab的步驟：要證明eq f(a2b2,2)ab，只需證明a2b22ab，只需證_，只需證_由于_顯然成立，因此原不等式成立【解析】要證明eq f(a2b2,2)ab，只需證明a2b22ab，只需證a2b22ab0，只需證(ab)20，由于(ab)20顯然

17、成立，因此原不等式成立【答案】a2b22ab0(ab)20(ab)20三、解答題9如圖223所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EFBDG圖223求證：平面B1EF平面BDD1B1.【證明】要證明平面B1EF面BDD1B1，只需證面B1EF內(nèi)有一線垂直于面BDD1B1，即EF面BDD1B1.要證EF面BDD1B1，只需證EF垂直平面BDD1B1內(nèi)兩條相交直線即可，即證EFBD，EFB1G而EFAC，ACBD，故EFBD成立故只需證EFB1G又B1EF為等腰三角形，EF的中點(diǎn)為G，B1GEFEF面BDD1B1成立，從而問題得證10設(shè)a，b0，且ab，用分析法

18、證明：a3b3a2bab2.【證明】要證a3b3a2bab2成立只需證(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，又因ab0，只需證a2abb2ab成立，只需證a22abb20成立，即證(ab)20成立而依題設(shè)ab，則(ab)20顯然成立由此命題得證11已知a0，b0，用兩種方法證明：eq f(a,r(b)eq f(b,r(a)eq r(a)eq r(b).【證明】法一(綜合法)：因?yàn)閍0，b0，所以eq f(a,r(b)eq f(b,r(a)eq r(a)eq r(b)(eq f(a,r(b)eq r(b)(eq f(b,r(a)eq r(a)eq f(ab,r(b)eq f(ba,r(a)(ab)(eq f(