第四篇多元函數(shù)微分學(xué)

1、第四篇多元函數(shù)微分學(xué)第1頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二多元函數(shù)微分法 在前面各章的學(xué)習(xí)中，我們討論的函數(shù)都只限于一個(gè)自變量的函數(shù)，稱為一元函數(shù)在更多的問題中所遇到的是多個(gè)自變量的函數(shù)一.多元函數(shù)的概念第2頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 例如：矩形的面積s=xy，描述了面積s與長x、寬y這兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系。又如，燒熱的鐵塊中每一點(diǎn)的溫度T與該點(diǎn)的位置之間有著密切的函數(shù)關(guān)系，即當(dāng)鐵塊中點(diǎn)的位置用坐標(biāo)(x,y,x)表示時(shí)，溫度T由x、y、z這三個(gè)變量確定，如果進(jìn)一步考慮到冷卻過程，那么T還和時(shí)間t有關(guān)，即T由x、y、x、t四個(gè)變量所決定。以上例

2、子中兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)變量，分別稱為二元、三元、四元函數(shù)，一般稱為多元函數(shù)。第3頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二ff定義1： 的非空子集D到R的映射f，稱為D上的一個(gè)點(diǎn)函數(shù)或n元函數(shù)。D稱為這個(gè)函數(shù)的定義域。由以上定義，任意p D，p為( ) y R,記為y=f(p)，稱 為函數(shù)f的第i個(gè)變量。Y稱為f的因變量或y的自變量 的函數(shù)。又有： 多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，因此它仍然保留了一元函數(shù)的許多性質(zhì)。 一元函數(shù) y=f(x) 定義D： R x：D中的一個(gè)點(diǎn)p的坐標(biāo)將P擴(kuò)大到平面或幾何空間或n維抽象n維空間 的點(diǎn)，所以稱n元有序?qū)崝?shù)組( )是n維空間 的一個(gè)點(diǎn)。由此可有第4

3、頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 定義2：如果獨(dú)立變量 在它們的變化范圍內(nèi)任取一組值時(shí)，變量y按照一定的法則，總有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則y叫做 的n元函數(shù)，記為y=f( ). 叫做自變量，y叫做因變量，自變量 的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。當(dāng)n=1時(shí)，y=f(p)即為一元函數(shù)。n 2時(shí)，n元函數(shù)稱為多元函數(shù)。若強(qiáng)調(diào)一組 對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值時(shí)，函數(shù)稱為單值函數(shù)。否則稱為多元函數(shù)，今后一般的多元函數(shù)均為單值函數(shù)。 第5頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二二： 二元函數(shù)的幾何表示 二元函數(shù)z=f(x,y)，定義域D為XOY面上的某一區(qū)域D。對(duì) P(x,y)

4、D,空間中有點(diǎn)M(x,y,z)與P(x,y)中的(x,y)對(duì)應(yīng)，其中z=f(x,y)。這樣，p在D中變動(dòng)時(shí)，M也在空間中變動(dòng)。M形成軌跡就是z=f(x,y)的圖像，一般來說，它是一曲面。例如：z= 為半球面。第6頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二三： 點(diǎn)函數(shù)的極限將一元函數(shù)微分法推廣到多元函數(shù)，首先要將一元函數(shù)的極限推廣到多元函數(shù)。一元函數(shù)的極限：y=f(x), f(x)=A, 即對(duì) 0, 0,當(dāng)0|x- | 時(shí)，|f(x)-A|0, 的一個(gè)去心鄰域N( , )當(dāng) x N( , ) 時(shí)，f(x) N(A, )。因此有，定義3：設(shè)函數(shù)f(p)在點(diǎn)集D上有定義， 為D的聚點(diǎn)，

5、A是一個(gè)定常數(shù)，如果 0, 0，當(dāng)p N ( , )時(shí)，恒有 |f(p)-A| 成立則稱A是點(diǎn)函數(shù)f(p)當(dāng)p 時(shí)的極限，記為 f(p)=A 或記為f(p) A (p ) 多元函數(shù)的極限經(jīng)常遇到的形式為n=2的情形。n=2，p=(x,y). f(p)記為z=f(x,y), ( , )N( , )=(x,y)|0 ，記p 極限記為 f(x,y)=A或f(x,y) A(p )第7頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二二元函數(shù)的極限也稱為二重極限。多元函數(shù)的極限經(jīng)常遇到的形式為n=2的情形。n=2，p=(x,y). f(p)記為z=f(x,y), ( , )N( , )=(x,y)

6、|0 ，記p 極限記為 f(x,y)=A或f(x,y) A(p )第8頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二例題分析：1.求證 : 證明：對(duì) ,要證因?yàn)橹豁毩?即可 對(duì) 當(dāng) 時(shí)，有 第9頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二對(duì)于二重極限，務(wù)必注意： 二重極限存在，是指 以任何方式趨近于 時(shí)，函數(shù) 都無限接近于 ,故若 是以某一特定方式趨近于 ；即使 無限接近于A,也不能斷定 的極限存在。反過來，若當(dāng) 以不同方式趨近于 時(shí)， 的極限不同，則可斷定 的極限不存在。同理，當(dāng)取某一特定路徑時(shí)， 的極限不存在，則可確定 的極限不存在。這與一元函數(shù)的極限存在一定是左右極

7、限存在且相等的道理相同。第10頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二例2：證明： ，當(dāng) 時(shí)極限不存在。證明：取 時(shí)的路徑。極限不存在。 得證。例3：以知第11頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二求解：沿沿 極限不存在。四。多元函數(shù)的連續(xù)性：1。一元函數(shù)的連續(xù)性： 在點(diǎn) 連續(xù) 多元函數(shù)的連續(xù)性： 在點(diǎn) 連續(xù)第12頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二二元函數(shù) 在 連續(xù):若 在D上每一點(diǎn)均連續(xù)，稱 在D內(nèi)連續(xù).2。間斷點(diǎn)： 在 不連續(xù)，稱 為的間斷點(diǎn)。以下情形的 為間斷點(diǎn)：1） 在 處極限不存在2） 在 處無定義3）第13頁，共62頁，202

8、2年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二3。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理1（最值定理）： 在有界閉區(qū)域D上有定義，且在D上連續(xù)，則 ,使得 , 稱為 在D上的最小值和最大值.定理2（介值定理） 在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且m,M分別為 在D上的最小值，最大值。若數(shù)u滿足 ，則 使得4.運(yùn)算：多元連續(xù)函數(shù)的和，差，積均連續(xù)。分母不為零時(shí)，連續(xù)函數(shù)的商是連續(xù)的，多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合第14頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二函數(shù)也是連續(xù)的。多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域上連續(xù)。五：本節(jié)例題1.已知 ， 若當(dāng)y=1，z=x時(shí)，求 及z.解： y=1，z=x 有又第15頁，共62頁，2022年，5月20日，

9、3點(diǎn)29分，星期二2.求極限.1) 2)3)解:1) 2 ) 3)第16頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二2. 全微分與偏導(dǎo)數(shù)一。偏導(dǎo)數(shù) 回憶y=f(x) 在x0的導(dǎo)數(shù)：f (x0)= 對(duì)于多元函數(shù)來說，由于有n個(gè)變量，其偏導(dǎo)數(shù)即是對(duì)于某一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)，其它的自變量看成是不變的量的導(dǎo)數(shù)，故有定義1：設(shè)z=f(x,y)在P0的某一領(lǐng)域上有定義，當(dāng)自變量x 取增量， ，y不變， z取得偏增量第17頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二若當(dāng) 時(shí)，極限 存在，此極限值稱為z=f(x,y)在P0處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記為fx(x0,y0)第18頁，共62頁，2022年

10、，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二若z=f(x,y)在D上任意一點(diǎn)P(x,y)均對(duì) x存在偏導(dǎo)，則在P上形成對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)，即第19頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二從定義看，求z=f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏微分法，實(shí)際上與一元函數(shù)的微分法是一致的。同理，可以得到其他的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，u=f(x1,x2,xn)給x1以增量第20頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二例1。F(x,y)=x3+2x2y-y3在點(diǎn)（1，3）關(guān)于x與y的偏導(dǎo)。解：第21頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二例2。第22頁，共62頁，2022年，5月20日，3

11、點(diǎn)29分，星期二例3。u=ln(1+x+y2+z3).求（ux+uy+uz)l(1,1,1)第23頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形是一曲面，將y固定為b，則f(x,b)就是z=f(x,y)與平面y=b的交線，故為交線在（a,b)處對(duì)x軸的斜率二。全微分1。全微分的概念： 一元函數(shù)y=f(x),給x以增量第24頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二類似的多元函數(shù)也有(以二元函數(shù)為例)(1).全增量,z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某領(lǐng)域上有定義.對(duì)自變量x給增量 增量,y給則稱為z=f(x,y)

12、在點(diǎn)P(x,y)對(duì)(2)定義: 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的全增量可表示為其中A,B與x, y無關(guān)z=A x+B y+o(p)第25頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二dz,或df(x,y),即dz=同理可定義其他多元函數(shù)的全微分.第26頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二例:考察f(x,y)=xy在點(diǎn)(處的可微性第27頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二處可微時(shí)，在 處一定連續(xù)。故有以下結(jié)論：f(x,y)在點(diǎn)（x,y）可微，則一定在(x,y)連續(xù)。若f(x,y)在D沒一點(diǎn)處均可微，則說在D上可微。2?？晌⒌臈l件：（以二

13、元函數(shù)z=f(x,y)為例）由y=f(x)可微大家知道， ，即那么z=f(x,y)的微分中的A=?,B=?定理1：(可微的必要條件)若z=f(x,y)在p(x,y)處可微，那么，z=f(x,y)在點(diǎn)（x,y）處的偏導(dǎo)數(shù) 一定存在，且 證明：z在p(x,y)處可微第28頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二故 當(dāng)中 ， 所以 所以 類似多元函數(shù) 可微，則 由以上定理知，可微則偏導(dǎo)數(shù)存在，若偏導(dǎo)數(shù)存在，是否一定可微呢？答案是否定的。 第29頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二舉例： 在原點(diǎn)（0，0）顯然同理若f(x,y)在（0，0）可微，則 應(yīng)是 的高階無窮子

14、。而 不存在所以，雖然f(x,y)在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，但f(x,y)在（0，0）處不可微。故有:第30頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二定理2：(可微的充分條件) z=f(x,y)的偏導(dǎo) 在點(diǎn)p(x,y)的某一領(lǐng)域內(nèi)存在，且在點(diǎn)p處連續(xù)，則z=f(x,y)在p(x,y)處可微證明：應(yīng)用一元函數(shù)的拉格朗日中值定理有：又由 在p(x,y)連續(xù)，所以有同理：第31頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二而所以z=f(x,y)在p(x,y)可微。經(jīng)常地，記 的微分同樣可記為：第32頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二例題分析：1。 解：

15、2。解：3解：第33頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 3. 復(fù)合函數(shù)微分法一。連鎖法則：定理1：設(shè)函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)z=f(u,v) 在相應(yīng)于（x,y）的點(diǎn)(u,v)可微，則有：證明： 第34頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二f(u,v)在（u,v）可微，故 均存在，故上式當(dāng) 時(shí)的極限為第35頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二例1：z= ,x=rcos ,y=rsin . 求 ， . 解： = =2xcos +2ysin =2rcos +2rsin =2r. = =2x(-r

16、sin )+2yrcos =-2r cos sin +2r sin cos =0.第36頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二以上規(guī)則稱為連鎖規(guī)則。如下圖所示：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的微分法，注意以下幾點(diǎn)： 1. z=f(u.v),u=u(x).v=v(x).則： ，這時(shí)z實(shí)際上是x的一元函數(shù)。 2.z=f(u,v,w).u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y).則：3.z=f(u,v,x).u=u(x,y),v=v(x,y).則： （令w=x）第37頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 = .這里的 是z=f(u,v,x)=f(u(x,y),v(x,y

17、),x)中將y看成是常量，對(duì)x的偏導(dǎo)。而 是z=f(u,v,x)中將u,v看成常量對(duì)x的偏導(dǎo)。這二者意義不一樣。所以：4.實(shí)際上,也可以將u=u(x,y),v=v(x,y)代入到z=f(u,v)中，變成z是x,y的函數(shù)，再對(duì)求偏導(dǎo)，效果應(yīng)是一致的，只是用連鎖規(guī)則會(huì)更簡潔一些例題解析：Z=arcsin ,y=x .求，解： 第38頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二x=2.z=uv+sinx,u=e ，v=cosxy.求 解： cosx =v +u-sin(xy) y+cosy第39頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 =cosxy +e (-ysinxy

18、)+cosx3.y=x .求解：令y=u ,u=x,v=x,則：vuu lnu 1 =xx+x lnx =x (1+lnx)4.z= ,f為可微函數(shù),驗(yàn)證:解:令v=x y ,z= =F(y.v)第40頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二所以 = = 2x, = = 故 + =2 - + = 而 =上式. 得證. 二.一階微分形式不變性:在一元函數(shù)中,y=f(x), dy=f (x)dx, y=f(u), u是自變量時(shí), dy=f (u)du. u是中間變量時(shí), u=u(x),dy=f (u)du 第41頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 即不論u是中

19、間變量還是自變量,dy=f (u)du,這就是一元函數(shù)二階微分形式具有不變性. 對(duì)于多元函數(shù)(以二元函數(shù)為例).z=f(u,v).u,v為自變量時(shí), dz= du+ dv而當(dāng)z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)時(shí),因dz= dx+ dy = ( )dx+( )dy = dx+ dy+ dx+ dy = du+ dv. 所以不論u,v是自變量,還是中間變量,z=f(u,v),均有dz= du+ dv多元函數(shù)一階全微分形式只有不變性.第42頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 4 隱函數(shù)微分法一. 一元函數(shù)隱函數(shù)微分法 設(shè)y=f(x)是由方程F(x,y)=0確定

20、的隱函數(shù),求 =f(x). 對(duì)F(x,y)=0兩邊對(duì)x求導(dǎo),將y看成是中間變量, =0. 例: e -xy=0,確定y是x的函數(shù).求 . 解: e -y-x =0 = .二. 由方程確定的隱函數(shù) Th1.(隱函數(shù)存在定理) 設(shè)(n+1)元函數(shù)F(x ,x ,x ,u)在點(diǎn)p ( )的某一鄰域上具有偏導(dǎo)數(shù),且F( )=0,F ( ) 0,則在P 的某個(gè)鄰域上,由方程F(x ,x ,x ,u)=0確定的唯一單值連續(xù)函數(shù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)的n元函數(shù).u=f(x ,x ,x ),它滿足條件: 第43頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 u =f( ) F , f( )=0而且有: =-

21、 事實(shí)上:將F(x ,x ,x ,u)看成是復(fù)合函數(shù),則兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo): + =0 =- = 這就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式. 例1: 設(shè) ,決定z=z(x,y),求 , . 解: = , F(x,y,z)= , =2x, =2z-4.故 =- = .第44頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 例2: 2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny=0決定u=u(x,y,z).求 . 解:令F(x,y,z,u)=2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny 所以 = =4cos(x+2y-3z-u )+cosy =2cos(x+2y-3z-u ) 2u 所以 =- 例3

22、: siny+e xy =0,決定y=f(x).求 . 解: =- =e y , =cosy-2xy 所以 =第45頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二同時(shí)對(duì)上述各題,也可直接對(duì)方程兩邊求偏導(dǎo),但必須注意到其中一個(gè)變量是中間變量.例如: = ln ,決定z=z(x,y),求 .解:兩邊對(duì)求x偏導(dǎo).有: = 故 = 三.由方程組確定的隱函數(shù) 一般情況下: 當(dāng)只有量x,y獨(dú)立變化時(shí),這方程組就可以確定兩個(gè)二元函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y). 定理2: (隱函數(shù)存在定理) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v),在 p (x ,y ,u ,v )的某一鄰域上是有連續(xù)的

23、偏導(dǎo) 第46頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二并且F(p )=0,G(p )=0,若由偏導(dǎo)組成的方程雅可比行列式 J= = ,當(dāng)J 時(shí),則 在p 的N(p , )上唯一確定單值連續(xù)且只有連續(xù)的偏導(dǎo)的函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y),且 u =u(x ,y ),v =v(x ,y ) =- =- =- =-第47頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二第48頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二第49頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二 2. 確定了 解:兩邊對(duì)x求導(dǎo)四;反函數(shù)微分法則: 若 在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào),可

24、導(dǎo)且 則的反函數(shù)也可導(dǎo),且對(duì)于二元函數(shù)來說有定理：（反函數(shù)微分法）設(shè)第50頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二在點(diǎn)(u,v)的某一鄰域上連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)，又則由決定唯一一組連續(xù)單值函數(shù)函數(shù)u,v連續(xù)，且偏導(dǎo)也連續(xù)，且推導(dǎo)如下：上式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)第51頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二例：由確定的反函數(shù)求解：方程組兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，解：第52頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二由對(duì)x求偏導(dǎo)第53頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二高階偏導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)中：是x的函數(shù)，在可導(dǎo)的情況下，f對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)n階導(dǎo)數(shù)對(duì)于二元函數(shù)來說，仍是x,y的二元函數(shù)因而考慮二階偏導(dǎo)數(shù)，乃至高階的偏導(dǎo)數(shù)（在可導(dǎo)的情況下）第54頁，共62頁，2022年，5月20日，3點(diǎn)29分，星期二若