函數(shù)的奇偶性(講義)

1、函數(shù)的奇偶性【知識(shí)要點(diǎn)】.函數(shù)奇偶性的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫偶函數(shù)(evenfunction).如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)叫奇函數(shù)(oddfunction).奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，反之亦真.由此，可由函數(shù)圖象的對(duì)稱性判斷函數(shù)的奇偶性,也可由函數(shù)的奇偶性作函數(shù)的圖象.判別方法：先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再用比較法、計(jì)算和差、比商法等判別f(-x)與f(x)的關(guān)系；奇函數(shù)of(-x)=-f(x)ofl)+f(x)=0Of:-1(fx)*0)

2、；(2)偶函數(shù)Of(-x)=f(x)of(-x)-f(x)=0o.函數(shù)奇偶性的幾個(gè)性質(zhì)：(1)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在判斷函數(shù)奇偶性時(shí),應(yīng)先考察函數(shù)的定義域；(2)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x都必須成立；(3)若奇函數(shù)fQ)在原點(diǎn)有意義，則f(0)=0；(4)根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)；(5)在公共的定義域內(nèi)：兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的和與差仍是奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)；(6)函數(shù)fQ)與函數(shù)-jx)有有相同的奇偶性.奇偶性與單調(diào)性:（1）奇函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)

3、對(duì)稱的區(qū)間lb,-ja,4上有相同的單調(diào)性;（2）偶函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間lb,-ja,4上有相反的單調(diào)性.【典例精講】類型一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(1)f(x)=qx-2+0,f(x)=x2+x-1,x0；x2+2x+3,x0.變式判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=(1)f(x)=X4；f(x)=X5；(5)f(x)=x3-2x，、b,(7)y=axH(a0,b0)x1(3)f(x)=x+；x2(6)f(x)=2x4+x2(8)y=x(k0)x2-kf(x)=-.x2例2已知/Q)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)X0時(shí)，fQ)=x3+2x2-1，求fQ)的表達(dá)式。類

4、型二函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用例3(1)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)(x+a)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；x(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，若f(2)+f(1)3=f+f+3,求f(1)+f的值；1(3)已知fQ)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(X)-g(x)=-,求fQ)與g(x)的解析式。x+1變式(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xW0時(shí)，f(x)=2x2-x,則f(1)=已知f(x)為奇函數(shù)，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,f(2)=.(3)已知y=f(x)+x2是奇函數(shù)，且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=。類型三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(1)奇函數(shù)f(x)在

5、-b,-a上為增函數(shù)，試分析它在(a,b上的單調(diào)性(a0)。已知奇函數(shù)f(x)在單調(diào)區(qū)間L7,-31上有最大值f(-5)=2，則f(x)在b,7上的最值是。已知偶函數(shù)f(x)在單調(diào)區(qū)間L7,-31上有最大值f(-5)=2，則f(x)在b,7上的最值是。例5定義在R上的函數(shù)fQ)滿足fQ+y)=f(x)+f(y),且對(duì)任意x,yeR,都成立。證明：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；如果xeR+,f(x)0,并且f=-1,試求f(x)在區(qū)間L2,61上的最值。乙【課堂練習(xí)】1,函數(shù)y=xIxI+px，xeR是()A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C不具有奇偶函數(shù)D.與p有關(guān).若奇函數(shù)f(x)在3,7上是增函數(shù)，且最小值是1

6、,則它在-7,-3上是()A,增函數(shù)且最小值是1B,增函數(shù)且最大值是1C.減函數(shù)且最大值是C.減函數(shù)且最大值是1D.減函數(shù)且最小值是1.若函數(shù)/G)=G+D(x)為偶函數(shù)，則。=()(A)-2(B)-1(C)1(D)2.已知f(x+1)是偶函數(shù)則函數(shù)y=/Gx)的圖象的對(duì)稱軸是()1A.x=-1B.x=1C.x=D.x=一2.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5,若當(dāng)x0,5時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)0。x+y(1)證明：函數(shù)fQ)是奇函數(shù)；用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷并證明函數(shù)fQ)在L1,11上的單調(diào)性?！菊n外作業(yè)】.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x(1-x);當(dāng)x0B.f(x)-f(-x)0C.f(x)-f(-x)0.若f(x)=(2-)2+(m-1%+n-2為奇函數(shù)，則m,n的值為()A.m=1,n=2B.m=-1,n=2C.m=1,n=2D.m=1,neR.已知f(x)的定義域?yàn)閤eRx豐0上且滿足2f(x)+f(1)=x,則f(x)的表達(dá)式為x.若f(x)=(m-Lx2+6mx+2是偶函數(shù)，則f(0),f(1),f(-2)的大小順序