蘇教版高中數(shù)學(xué)高一必修一2.4《冪函數(shù)》考點(diǎn)歸納

1、冪函數(shù)考點(diǎn)分析1、冪函數(shù)高考內(nèi)容與要求考試內(nèi)容：冪函數(shù);常見(jiàn)的冪函數(shù)模型及其應(yīng)用.考試要求：會(huì)畫(huà)冪函數(shù)（Q，0，且為常數(shù)）,當(dāng)=,1,2,3,-1的圖象,了解冪函數(shù)的概念，并了解這些冪函數(shù)的性質(zhì).了解常見(jiàn)的冪函數(shù)模型(如流量與管道半徑關(guān)系，飛機(jī)、汽車耗油與速率的關(guān)系)及其應(yīng)用，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2、冪函數(shù)高考考點(diǎn)分析了解冪函數(shù)圖象及其性質(zhì)冪函數(shù)是作為特殊的函數(shù)，能夠類比研究一般函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的過(guò)程與方法，來(lái)研究?jī)绾瘮?shù)的圖象和性質(zhì),并體會(huì)冪函數(shù)的變化規(guī)律及蘊(yùn)含其中的對(duì)稱性定義域RRR0,+)(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)值域R0,+)R0,+)(-,0)(0,+)(0,

2、+)圖象性質(zhì)直線拋物線拐線拋物線(半支)雙曲線雙曲線奇偶性奇偶奇非奇非偶奇偶單調(diào)性增(0,+)增(-,0)減增增(0,+)減(-,0)減(0,+)減(-,0)增定點(diǎn)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)(1,1)觀察圖象綜合以上特征，我們可以得到冪函數(shù)具有以下重要性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，圖象都過(guò)點(diǎn)(0,0)和(1,1)；函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù)；當(dāng)1時(shí)，指數(shù)大的圖象在上方；當(dāng)時(shí)，指數(shù)大的圖象在下方.當(dāng)時(shí)，圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi),圖象向上無(wú)限的接近y軸,向右無(wú)限的接近x軸;當(dāng)1時(shí)，指數(shù)大的圖象在上方

3、；當(dāng)時(shí)，指數(shù)大的圖象在下方.例1下列命題：冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)和(1,1)；冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；=0時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線；冪函數(shù)，當(dāng)0時(shí)是増函數(shù);冪函數(shù), 當(dāng)0時(shí),在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨著x值的增大而減小.其中正確的是 .畫(huà)出冪函數(shù)的圖象,并能根據(jù)所給函數(shù)圖象判斷函數(shù)指數(shù)的大小關(guān)系.用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象時(shí),要善于運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì),特別是函數(shù)的定義域、值域、奇偶性，這樣不僅可以簡(jiǎn)化作圖過(guò)程，還可以使圖象更準(zhǔn)確；在列表取點(diǎn)時(shí)，適當(dāng)多取一些x的值會(huì)使得圖象更準(zhǔn)確；連線時(shí)一定要用光滑的曲線；依據(jù)所畫(huà)函數(shù)的圖象，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)準(zhǔn)確判斷函數(shù)指數(shù)的大小關(guān)系.例2. 如圖所示，曲線為冪函數(shù)在

4、第一象限的圖象，則大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 求冪函數(shù)的定義域與值域冪函數(shù)的定義域是由其解析式確定的，實(shí)質(zhì)上是與指數(shù)有關(guān)，通常的做法是將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為根式，并使根式有意義；而求值域要在其定義域內(nèi)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解。例3.求函數(shù)的定義域.冪函數(shù)值大小的比較當(dāng)兩個(gè)冪函數(shù)的指數(shù)相同時(shí)，如果底數(shù)是負(fù)數(shù)，先根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，把底數(shù)化為正數(shù)再比較大?。划?dāng)兩個(gè)冪函數(shù)的指數(shù)不相同時(shí)，常常要借用“0”或“1”為中間量過(guò)渡，運(yùn)用冪函數(shù)的單調(diào)性及其圖象特征進(jìn)行比較。例4. ，的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性與一般函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一樣，在判斷、

5、計(jì)算或證明時(shí)通常運(yùn)用圖象特征法、定義法和導(dǎo)數(shù)法。用定義法研究?jī)绾瘮?shù)的單調(diào)性時(shí)，通常有“作差法”與“作商法”兩種?！白鞑罘ā币话悴捎谩胺肿佑欣砘钡氖侄危弧白魃谭ā睍r(shí)，需要特別注意分子分母都要為正數(shù)。例5. 已知冪函數(shù)(-,0)(0,+)的圖象如圖，則（ ）A. p為偶數(shù)，q為奇數(shù) B. p為偶數(shù)，q為負(fù)奇數(shù) C. p為奇數(shù)，q為偶數(shù) D. p為奇數(shù)，q為負(fù)偶數(shù)例6.已知函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù),求函數(shù)解析式,并討論其單調(diào)性與奇偶性.求冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的解析式的求解，一般利用待定系數(shù)法，即設(shè)所求函數(shù)解析式為，有已知求出即可。例7.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上,則的表達(dá)式為( )冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用解決這類綜合問(wèn)題，通常要把握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)各自的圖象特征（特別是記住圖象的大致形狀）、奇偶性與單調(diào)性等性質(zhì)，靈活運(yùn)用分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想加以解決。例8. 已知函數(shù)是偶函數(shù),且.求m的值,并確定的函數(shù)解析式;若在2,3上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.常見(jiàn)的冪函數(shù)模型及其應(yīng)用解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，而最常見(jiàn)的冪函數(shù)模型是“增長(zhǎng)率型”.在增長(zhǎng)率問(wèn)題中，我們通常用a表示原有數(shù)量，x表示增長(zhǎng)率，n表示年數(shù)，y表示n年后的數(shù)量，則先