課標(biāo)版高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題9.4 雙曲線及其性質(zhì)（講解練）教學(xué)講練

1、專題九平面解析幾何9.4雙曲線及其性質(zhì)高考文數(shù)考點(diǎn)一雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.雙曲線的定義(1)雙曲線的定義用符號表示為|MF1|-|MF2|=2a,其中2a|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是根據(jù)雙曲線的定義,通過建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出的.若已知所求曲線是雙曲線,則可利用待定系數(shù)法求方程.參數(shù)b=是由于進(jìn)一步化簡方程的需要而引入的,但它同樣具有明確的幾何意義:b表示雙曲線虛半軸的長.由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可確定雙曲線實(shí)半軸長a和虛半軸長b,再結(jié)合c2=a2+b2,就可得到雙曲線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo),實(shí)軸長,虛軸長,焦距,離心率,漸近線等性質(zhì).求雙曲線的

2、標(biāo)準(zhǔn)方程也是從“定形”“定式”和“定量”三個(gè)方面去考慮.“定形”是指對稱中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸的情況下,焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上;“定式”是根據(jù)“形”設(shè)雙曲線方程的具體形式;“定量”是指用定義法或待定系數(shù)法確定a,b的值.若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0);若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0);若焦點(diǎn)位置無法確定,可設(shè)雙曲線方程為+=1(mn0)或Ax2+By2=1(AB0,b0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為()A.-=1

3、B.-=1C.-=1D.-=1解析雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為2,e2=1+=4,=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,不妨設(shè)點(diǎn)A(2a,3a),B(2a,-3a),=3,漸近線方程為y=x,則點(diǎn)A與點(diǎn)B到直線x-y=0的距離分別為d1=a,d2=a,又d1+d2=6,a+a=6,解得a=,b2=9.雙曲線的方程為-=1,故選A.答案A考向基礎(chǔ)考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)一般方程mx2+ny2=1(mn1)漸近線方程y=xy=x【知識拓展】1.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為.2.P為雙曲線上的點(diǎn),F1,F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)

4、,且F1PF2=,則F1PF2的面積為.3.焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.4.(1)等軸雙曲線:實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.(2)雙曲線為等軸雙曲線雙曲線離心率e=兩條漸近線互相垂直.5.雙曲線-=1(a0,b0)的共軛雙曲線為-=1(a0,b0),它們有共同的漸近線y=x,離心率滿足的關(guān)系式為+=1.6.設(shè)P,A,B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn),其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱,則直線PA與PB的斜率之積為.考向一求雙曲線的離心率考向突破例3(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值是.解析雙曲線的一條

5、漸近線方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線的距離為=c,b=c,b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2.答案2考向二求雙曲線的漸近線方程例4(2019四川成都二診,2)已知雙曲線C:x2-=1(b0)的焦距為4,則雙曲線C的漸近線方程為()A.y=xB.y=2xC.y=3x D.y=x解析雙曲線C:x2-=1(b0)的焦距為4,則2c=4,即c=2,1+b2=c2=4,b0,b=,雙曲線C的漸近線方程為y=x,故選D.答案D考點(diǎn)三直線與雙曲線的位置關(guān)系考向基礎(chǔ)1.直線與雙曲線的位置關(guān)系:(1)無交點(diǎn);(2)有一個(gè)交點(diǎn),可能相切,也可能相交;(3)有兩個(gè)交點(diǎn),在一支上或

6、在兩支上.2.研究直線與雙曲線位置關(guān)系問題的通法:將直線方程代入雙曲線方程,消元,得關(guān)于x或y的方程,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí),直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn);當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí),用判別式來判定.考向一由直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍考向突破例5雙曲線E:-y2=1(a0)的離心率為,直線y=kx-1與雙曲線E的右支交于A,B兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.解析由得雙曲線E的方程為x2-y2=1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1-k2)x2+2kx-2=0,直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),即解得1k0,b0,b0,b0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-=(0);(2)若雙曲線的漸

7、近線方程為y=x,則雙曲線方程可設(shè)為-=(0);(3)若雙曲線過兩個(gè)已方法技巧知點(diǎn),則雙曲線方程可設(shè)為+=1(mn0),也可設(shè)為Ax2+By2=1(AB0,b0),根據(jù)雙曲線的定義知2a=|-|=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.解法二:橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3).設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0),則a2+b2=9,又點(diǎn)(,4)在雙曲線上,所以-=1,聯(lián)立,解得a2=4,b2=5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.解法三:設(shè)雙曲線的方程為+=1(270,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,PF2分別交

8、雙曲線C的左,右支于M,N,若|PF1|=3|PF2|,且MF2N=120,則雙曲線的離心率為()A.B.3C.2D.解析由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a,由|PF1|=3|PF2|,可得|PF2|=a,|PF1|=3a,又|PO|=|MO|,|F1O|=|F2O|,所以四邊形PF1MF2為平行四邊形,所以|PF1|=|MF2|=3a,|PF2|=|MF1|=a,因?yàn)镸F2N=120,所以F1MF2=120,在F1MF2中,由余弦定理,得|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2=2|MF1|MF2|cosF1MF2,即a2+9a2-4c2=-3a2,即13a2=4c2,所以e2=,即e=.答案D例3(2020屆河南南陽一中10月月考,10)已知點(diǎn)O為雙曲線C的對稱中心,直線l1,l2交于O且相互垂直,l1與C交于點(diǎn)A1,B1,l2與C交于點(diǎn)A2,B2,若使得|A1B1|=|A2B2|成立的直線l1,l2有且只有一對,則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A.(1,2B.(1,C.,2D.(,+)解析不妨設(shè)雙曲線的方程是-=1(a0,b0),由|A1B1|=|A