基于原子勢與原子結(jié)構(gòu)的碳納米曲面的殼體理論-1課件

1、基于原子勢與原子結(jié)構(gòu)的碳納米管殼體理論 吳堅 黃克智清華大學(xué)航天航空學(xué)院固體力學(xué)研究所黃永剛美國西北大學(xué)土木與環(huán)境系、機械系Joseph Cummings教授2008年多場耦合理論與智能材料高級講習(xí)班暨全國研究生暑期學(xué)校 致謝：NSFC,NSF,973,教育部提 要引言原子勢基于原子勢的石墨烯平板理論 基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論碳納米管能否等效為薄殼模型？基于原子勢的碳納米管有限變形殼體理論碳納米管的穩(wěn)定性結(jié)論1引言 納米技術(shù) 在原子、分子及超分子水平下工作，在約1100nm的尺度范圍，旨在了解及創(chuàng)造材料、裝置及系統(tǒng)，它們由于微小結(jié)構(gòu)而具有本質(zhì)上新的性質(zhì)與功能。（美國國家納米技術(shù)創(chuàng)新計

2、劃NNI）(1100nm 十萬分之一至千分之一頭發(fā)絲直徑)微觀 宏觀納米馬達（加州大學(xué)Zettl教授）1引言 1引言 平板顯示器W. Choi of Samsung (Advanced Institute of Technologies) 20011引言 納米技術(shù)對社會的影響（NSF 2000年世界范圍調(diào)查） 知識基礎(chǔ)：更好地了解自然與生命 新技術(shù)與新產(chǎn)品：至2015年達到$(美金)十萬億年（三十個Motorola公司全年銷售量?。?材料：$3400億年 電子：$3000億年藥物：$1800億年 化學(xué)制品（催化劑）：$1000億年 宇航：約$700億年 各種工具：$220億年 2000年統(tǒng)計：

3、催化劑，材料等約$400億；增長25年 2002年統(tǒng)計：材料，藥物，化學(xué)制劑約$1160億 在世界范圍將需要2百萬納米技術(shù)人員 提高醫(yī)療水平：延長壽命，提高生活質(zhì)量、健康水平 可持續(xù)發(fā)展：農(nóng)業(yè)，食品，水，能量，材料，環(huán)境；例如：由于納米技術(shù)，照明能量減低10或$1000億/年1引言 納米結(jié)構(gòu)材料PileniS. Stadler M. Harrup多晶納米顆粒納米復(fù)合材料1引言 碳納米科學(xué) 石墨（二維） 金剛石（三維）碳60（零維，Smalley） 碳納米管（一維，Iijima）1引言 碳納米管結(jié)構(gòu)石墨烯片層: T-B Potential手性: m, n1引言 碳納米管彈性n = 0n = 96

4、8 kHz納米秤Poncharal et al, Science, 1999, 283, 1513-1516. 可用于探測有害物質(zhì)原子1引言 碳納米管的電學(xué)性質(zhì)特有的電學(xué)性質(zhì)n m = 0,3,6,9,導(dǎo)電的碳納米管 能夠承載特別大的電流密度 (1013 A/m2) (家用銅導(dǎo)線: 單元交迭關(guān)注中心原子1引言 碳的原子尺度有限元 (AFEM)多尺度計算原子 FEM 結(jié)點原子尺度的精確性穩(wěn)定B. Liu, Y. Huang, et al., 2004, Compu. Meth. Appl. Mech. Eng 193, 1849-1864.1引言 分子動力學(xué)vs.基于原子論的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原子間勢

5、(非線性,多體彈簧)分子動力學(xué)基于原子論的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)保持對每個原子的跟蹤離散系統(tǒng)代表性的物質(zhì)點連續(xù)模型1引言 連續(xù)介質(zhì)方法研究碳納米管 將碳納米管用彈簧、桿、梁、薄膜、板、殼等元件來構(gòu)造。 這些方法都要借助于原子模擬的結(jié)果來擬合出相關(guān)的參數(shù)， 它們往往局限于線彈性各向同性； 基于原子勢和碳納米管原子結(jié)構(gòu)的連續(xù)介質(zhì)方法。 通過Born律將原子的鍵能等效于應(yīng)變能進而對碳納米管進 行連續(xù)化，在連續(xù)化過程中考慮了原子勢的非線性； 2原子勢 第一代Tersoff-Brenner 原子勢 在鍵夾角jijk=120o時，鍵能隨鍵長的變化，鍵長在r0=0.145 nm時鍵能達到極小值，這個鍵長就是初始石墨烯

6、的鍵長。 ikjrikrijqijk2原子勢 第二代Tersoff-Brenner 原子勢ikjrikrijqijk斥力對勢項引力對勢項平滑分段函數(shù)多體耦合系數(shù)3基于原子勢的石墨烯平板理論石墨烯與碳納米管的厚度 殼體理論AuthorsWall thickness (nm)Youngs modulus (TPa)Yakobson et al0.0665.5Zhou et al.0.0745.1Kudin et al.0.0893.859Tu and Ou-yang0.0754.7Vodenitcharova and Zhang0.06174.88Panatano et al0.0754.84Go

7、upalov0.087Wang et al0.06655.07AuthorsWallThickness (nm)Youngsmodulus(TPa)Lu0.340.974Hernndez et al0.341.24Odegard et al0.69Li and Chou0.341.01Jin and Yuan0.341.238Tserpes andPapanikos0.147YakYakobsons Paradox 3基于原子勢的石墨烯平板理論 石墨烯在小變形情況下，鍵長與鍵夾角的變化都是小量，鍵能在石墨烯上Talyor展開為采用Cauchy-Born律將原子間的鍵能 均勻化，得到應(yīng)變能密度3

8、基于原子勢的石墨烯平板理論 中心對稱的晶格小變形時的鍵長與鍵夾角 鍵長 鍵夾角 應(yīng)變 e曲率 k3基于原子勢的石墨烯平板理論 中心對稱的晶格 應(yīng)變能密度 與應(yīng)變eab功共軛的內(nèi)力 與曲率kab功共軛的內(nèi)力直接由原子勢得到本構(gòu)關(guān)系，無參數(shù)擬合！3基于原子勢的石墨烯平板理論 石墨烯 石墨烯的晶格是非中心對稱的。將石墨烯的晶格劃分為兩個子網(wǎng)格，每個子網(wǎng)格都是中心對稱。變形過程中，兩個子網(wǎng)格之間的變形除了應(yīng)變eab與曲率kab外，還有內(nèi)位移r0 x 鍵長 鍵夾角3基于原子勢的石墨烯平板理論 應(yīng)變能密度內(nèi)位移使得應(yīng)變能密度極小 石墨烯片的內(nèi)位移僅與應(yīng)變eab相關(guān)，與曲率kab無關(guān) 3基于原子勢的石墨烯平

9、板理論 石墨烯應(yīng)變能密度中與應(yīng)變eab 、曲率kab相關(guān)項石墨烯線彈性本構(gòu)關(guān)系 第二類Piola-Kirchhoff內(nèi)力 內(nèi)力矩3基于原子勢的石墨烯平板理論 石墨烯應(yīng)變能中與應(yīng)變相關(guān)部分經(jīng)典殼體理論中應(yīng)變能與應(yīng)變相關(guān)部分石墨烯的拉伸剛度與相應(yīng)的泊松比3基于原子勢的石墨烯平板理論 石墨烯應(yīng)變能中與曲率相關(guān)部分經(jīng)典殼體理論中應(yīng)變能與曲率相關(guān)部分石墨烯的彎曲剛度與相應(yīng)的泊松比石墨烯的拉伸剛度與相應(yīng)的泊松比3基于原子勢的石墨烯平板理論在經(jīng)典殼體理論中，彎矩是由關(guān)于中性面對稱的兩側(cè)分別受拉和受壓而形成的，彎曲剛度、拉伸剛度、扭轉(zhuǎn)剛度以及剪切剛度滿足如下關(guān)系： 石墨烯平板理論中的彎曲剛度、拉伸剛度、扭轉(zhuǎn)剛

10、度以及剪切剛度是直接由多體的原子勢得到3基于原子勢的石墨烯平板理論經(jīng)典殼體的厚度與彎曲剛度以及拉伸剛度的關(guān)系采用經(jīng)典殼體理論中，厚度與彎曲剛度、拉伸剛度的關(guān)系定義石墨烯在比例加載方式下的等效厚度 石墨烯片的等效厚度與加載方式相關(guān)！3基于原子勢的石墨烯平板理論不同比例加載方式下石墨烯的等效厚度 等軸伸長 e11=e22, k11=k22 單向拉伸T110, T22=0, k11/k22 =e11/ e22 等軸拉伸加載方式下的等效厚度是單向拉伸狀態(tài)下的21/2。3基于原子勢的石墨烯平板理論石墨烯的等效厚度隨比例加載系數(shù)的變化3基于原子勢的石墨烯平板理論 石墨烯平板理論是從原子勢與原子結(jié)構(gòu)出發(fā)，石

11、墨烯片的本構(gòu)關(guān)系是各向同性的，但與經(jīng)典殼體理論的各向同性本構(gòu)關(guān)系不同，石墨烯片的扭轉(zhuǎn)剛度為零，兩個方向的彎矩保持相等。在石墨烯片的本構(gòu)關(guān)系中并沒有出現(xiàn)厚度這個幾何量，本章定義了一個與經(jīng)典殼體理論相對應(yīng)的等效厚度，結(jié)果表明石墨烯片的等效厚度不是一個固定值，它與加載方式相關(guān)。碳納米管的等效厚度與石墨烯片的等效厚度有相同的特點。這些特點都說明石墨烯片和碳納米管不能簡單的等效為經(jīng)典的殼體。4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 單壁碳納米管是原子按六邊形在圓柱面上分布。碳納米管直徑大多在納米量級，長度可達幾微米，長的甚至達數(shù)毫米。單壁碳納米管與石墨烯相比不再是平面，且特征單元亦不再是等六變形；單壁碳納米

12、管能否等效為經(jīng)典? ACBD4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.1 應(yīng)變與曲率 碳納米管上的點P變形前為：P=ReR+ZeZ，其中(R,q,Z)是碳納米管上的圓柱坐標(biāo)，R為碳納米管半徑。碳納米管上兩點P與P+ DP的坐標(biāo)分別為(R, q, Z)與(R, q + Dq, Z+DZ) ，兩點之間的線元DP在點P泰勒展開為： 4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.1 應(yīng)變與曲率 線元DP的長度為: 線元DP(1)與DP(2)的夾角可表示為: 其中 表示為：4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.1 應(yīng)變與曲率 變形后碳納米管上的點P變形為p=P+U =(R+UR) eR+Uq eq +(

13、Z+UZ) eZ ，其中U =UR eR+Uq eq +UZ eZ是點P的位移，位移分量，UR, Uq, UZ是q與Z的函數(shù)。 4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.1 應(yīng)變與曲率 薄膜應(yīng)變分量eab可由位移表示為 薄膜應(yīng)變僅涉及到切平面內(nèi)位移Uq與UZ的導(dǎo)數(shù)。 曲率分量kab由位移表示為 曲率分量涉及面外位移UR的導(dǎo)數(shù)。 4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.1 應(yīng)變與曲率 變形前碳納米管上兩點P與P+DP變形后變?yōu)閜與p+Dp，兩點間的線元Dp在點p泰勒展開為： 由應(yīng)變eab與曲率kab表示線元Dp的長為： 其中含有 ，但其系數(shù)是薄膜應(yīng)變的梯度，即 4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體

14、理論 4.1 應(yīng)變與曲率 碳納米管的連續(xù)化理論所研究的變形特征長度為L， 由變形的特征長度表示為 ，原子間距量級為D。線元長度在誤差量級為O(D/L)時 的表達式為LDL4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.1 應(yīng)變與曲率 碳納米管的點陣不是簡單的布拉維點陣。與石墨烯相同將碳納米管的六邊形點陣劃分為兩個三角形子點陣，兩個子點陣之間引入內(nèi)位移h。由兩個不同子點陣的原子形成的線元，在變形前的Lagrange坐標(biāo)為(DRq, DZ)，變形后線元在誤差量級為O(D/L)時的表達式為：其中4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.2 線彈性本構(gòu)關(guān)系 碳納米管的原子鍵長與鍵夾角為應(yīng)變曲率以及內(nèi)位移的函

15、數(shù) 變形后的應(yīng)變能密度可表示為： 內(nèi)位移使得應(yīng)變能密度極小 ，即 內(nèi)位移與應(yīng)變、曲率的關(guān)系為：4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.2 線彈性本構(gòu)關(guān)系 在小變形情況下，應(yīng)變能密度是應(yīng)變和曲率的二次函數(shù) 其中 為碳納米管的拉伸剛度與彎曲剛度。碳納米管的耦合剛度為 下標(biāo)“0”表示初始碳納米管狀態(tài)的值。4基于原子勢的碳納米管線彈性殼體理論 4.2 線彈性本構(gòu)關(guān)系 碳納米管的線彈性本構(gòu)關(guān)系為： 碳納米管的線彈性本構(gòu)關(guān)系不同于經(jīng)典殼體的線彈性殼體本構(gòu)關(guān)系，它含有內(nèi)力與曲率以及內(nèi)力距與應(yīng)變的耦合剛度。 耦合度 碳納米管的耦合剛度隨半徑而變化。對(5,5)的扶手椅型碳納米管，耦合度為42%，顯然內(nèi)力與曲

16、率、內(nèi)力矩與應(yīng)變有較大的耦合。實際上，半徑R6.9時 ，碳納米管 最易發(fā)生的失穩(wěn)是n=1， n=1的失 穩(wěn)模式與Euler失穩(wěn)相似。 L/(mR)6.9 時，碳納米管最易發(fā)生的是n=2的 失穩(wěn)模式，n=0的軸對稱失穩(wěn)模式不會發(fā)生。 7碳納米管的穩(wěn)定性 碳納米管壓縮失穩(wěn) (8,8)，(12,12)，(16,16)三個扶手椅型碳納米管的軸向壓縮失穩(wěn)載荷，當(dāng)L/(mR)較大時，三個碳納米管的最易發(fā)生的失穩(wěn)都是n=1的模式，且失穩(wěn)載荷相同，而在L/(mR)較小時，(12,12)與(16,16)碳納米管的n=2，n=3的失穩(wěn)模式最易發(fā)生，而(8,8)碳納米管的n=2的失穩(wěn)模式最易發(fā)生，且不同碳納米管的壓縮失穩(wěn)載荷不同。8結(jié)論 直接從原子結(jié)構(gòu)以及原子勢建立的碳納米管的有限變形殼體理論的本構(gòu)關(guān)系中，內(nèi)力與曲率、內(nèi)力矩與應(yīng)變都相互耦合，這一點不同于其它的殼體理論。建立有限變形殼體理論過程中考慮了碳納米管的彎曲與曲率，這與將原子模型連續(xù)化為三維連續(xù)介質(zhì)過程中采用的傳統(tǒng)Cauchy-Born律不同。石墨烯是由原子在平面內(nèi)按六邊形分布而成的，石墨烯平板理論中的彎曲剛度是從原子勢直接得到的(它依賴于多體勢的夾角)，這點不同于經(jīng)典平板理論中的彎曲剛度是由在對稱于中性面兩側(cè)分別受到拉伸與壓縮而形成的。 8結(jié)論 盡管碳納米