復(fù)變函數(shù)第二章答案

1、第二章解析函數(shù)1.用導(dǎo)數(shù)定義，求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： f (x) = z Re z.解：因f(z + M _ f(z) = lim( + 茂)Re(七 + 寥)T Rulim az 頃z Re 囪 + z Re 囪 + A Re z + A Re A=limAz T0zRe冬 TOC o 1-5 h z =lim(Re z + Re A + z)A5AzRe安尤、=lim(Re z + z) = lim(Re z + z:),Az T0zX T0繆 + iy國T0當(dāng)Z豐0時(shí)，上述極限不存在，故導(dǎo)數(shù)不存在；當(dāng)Z = 0時(shí)，上述極限為0,故導(dǎo)數(shù)為0.2 .以下函數(shù)在何處可導(dǎo)?何處不可導(dǎo)?何處解析?何處

2、不解析？(1) /偵)=乙-乙2.解：f (z) = z z2 = z z z =| z |2 .z=02 + y2 )0 + iy)=x( x2 + y2) + iy (x2 + y2),這里 u 0, y) = x 02 + y2), v( x, y) = y 02 + y2).u x = x2 + y2 + 2 X2,Uy = x2 + y2 + 2 y2,u y = 2 xy,咋=2 V.要ux =七,uy = -vx ,當(dāng)且當(dāng)必y = 0,而ux , uy ,七,七均連續(xù)，故/ (Z) = N Z2 .僅在Z = 0處可導(dǎo)，處處不解析. f (z) = X3 - 3勺2 + i(3X

3、2y - y3).解：這里 u(x, y) = x3 - 32, v(x, y) = 3x2y - y3 .ux = 3x2 - 3y2,uy = -6回,七=6回,七=3工2 - 3 y2,學(xué)習(xí)幫手四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且u x = v y, w y = _七處處成立，故f (z)在整個(gè)復(fù)平面上處處可導(dǎo),也處處解析.3 .確定以下函數(shù)的解析區(qū)域和奇點(diǎn)，并求出導(dǎo)數(shù).(1)竺比(。,d至少有一不為零).cz + d解：當(dāng)c。0時(shí)(z)=竺蘭除z =-外在復(fù)平面上處處解析，z =-為奇點(diǎn),cz + d cc尸 az + b/(z)=(-7)cz + d(az + b)(cz + d) - (cz + d

4、 )(az + b)(cz + d )2a(cz + d) - c(az + b)ad - cb(cz + d)2(cz + (cz + d)2一 a ba當(dāng)c = 0時(shí)，顯然有d。0，故/(Z)=廠在復(fù)平面上處處解析，且/(z) = d -假設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析，并滿足以下條件之一，試證f (z)必為常數(shù)./偵)在區(qū)域D內(nèi)解析； v = 2 ；(3) arg /(z)在D內(nèi)為常數(shù)；au + bv = c(a,b,c為不全為零的實(shí)常數(shù)).證(1)因?yàn)閒 (z)在D中解析，所以滿足C - R條件 TOC o 1-5 h z dudv dudv=, = 一 ,&x 8y 8y泓又f (z

5、) = uMv也在D中解析，也滿足C - R條件洲 a(-V)凱a (-v),dxdydydx汕 汕 御 御“從而應(yīng)有土 = 土 = 土 = 土 = 0恒成立，故在D中u, v為常數(shù)，f (z)為常數(shù).尹 dy 尹 dy因f (z)在D中解析且有f (z) = u + iu 2,由C - R條件有學(xué)習(xí)幫手2W-22W-2= =竺尹竺/ )為調(diào)和函數(shù)，則有M = K +氣=0.即p2此 sin y -此 sin y = 0,所以P = 1時(shí),v為調(diào)和函數(shù)，要使f (z)解析，則有u x = v y, u y = -vx.u(x, y) = juxdx = jePp cos ydx = px co

6、s y + (y),uy = 一 epx sin y + (y) = -pepx sin y.所以(y) = ( - p)epx sin y, (y) = (p - )epx cos y + c.pp即 u(x, y) = pePp cos y + C,故ex (cos y + i sin y) + C = e + C,p = 1,e (cos y i sin y) + C = e + C,p = 1.試解方程:解:e匚-1 +3i = 2(cos % + i sin %) = 解:ln 2+i (2 k 兀 +1),=e 3 , k = 0, 1, 2.故z = ln 2 +，(2饑 + -

7、3), k = 0, 1, +2.(2) ln z =女;2學(xué)習(xí)幫手解：Z =cos + i sin 解：Z =229 .求以下各式的值。(1) cos i;&e，0) + e 頃 ()e-1 + e1解 cos i = Ln(-3 + 4i);解：Ln (-3 + 4i) = ln5 + iArg (-3 + 4i)4、=ln 5 +1(2k冗 + 兀 一 arctan 3).(1；解：(1 - i)i+i = e(1+)L(1 亶)(簞)n把+i (-彳+2如) TOC o 1-5 h z =e L 4lnJ2 + -2k兀 +i ln 拒 + 2k兀一-44=eln2+-2 妹j 丸./- 丸=e 4cos(ln V2 -