高數(shù)第三章不定積分課件

1、第三章一元函數(shù)積分學(xué).第三章.3.1 不定積分.3.1 不定積分.例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念.例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念.原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1) 原函數(shù)是否唯一？例（ 為任意常數(shù)）(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？.原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1) 關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若 ，則對(duì)于任意常數(shù) ，（2）若 和 都是 的原函數(shù)，則（ 為任意常數(shù)）證（ 為任意常數(shù)）.關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若 任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量.任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量.例1 求解

2、解例2 求.例1 求解解例2 求.例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為.例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、 基本積分表.實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分基本積分表是常

3、數(shù));說(shuō)明：.基本積分表是常數(shù));說(shuō)明：.例4 求積分解根據(jù)積分公式（2）.例4 求積分解根據(jù)積分公式（2）.證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、 不定積分的性質(zhì).證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、 不例5 求積分解.例5 求積分解.例6 求積分解.例6 求積分解.例7 求積分解.例7 求積分解.例8 求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.例8 求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變解所求曲線方程為.解所求曲線方程為.基本積分表(1)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四

4、、 小結(jié).基本積分表(1)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：不定積分的概念練習(xí)題.練習(xí)題.練習(xí)題答案.練習(xí)題答案.3.2不定積分的計(jì)算一、第一類換元法二、第二類換元法三、 分部積分法.3.2不定積分的計(jì)算.問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類換元法.問(wèn)題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過(guò)程令一、第一類換在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理.在一般情況下：設(shè)則如果（可微）由此可得換元法定理.實(shí)際計(jì)算時(shí)直接寫(xiě)做：定理1.實(shí)際計(jì)算時(shí)直接寫(xiě)做：定理1.例1 求解（一）解（二）解（三）.例1 求解（一）解（二）解（三）.例2 求解.例2 求解.例3 求解.例3 求解.

5、例4 求解.例4 求解.例5 求解.例5 求解.例6 求解.例6 求解.例7 求解.例7 求解.例8 求解.例8 求解.例9 求原式.例9 求原式.例10 求解.例10 求解.例11 求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊微分.例11 求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開(kāi)奇次項(xiàng)去湊例12 求解.例12 求解.例13 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）.例13 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）.解（二）類似地可推出.解（二）類似地可推出.解例14 設(shè) 求 .令.解例14 設(shè) 例15 求解.例15 求解.例16:求同理可得:.例16:求同理可得:.問(wèn)題解決方法改變中間變量的設(shè)

6、置方法.過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類換元法.問(wèn)題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過(guò)程令（應(yīng)用“湊微分”即證設(shè) 為 的原函數(shù),令則則有換元公式定理2.證設(shè) 為 第二類積分換元公式.第二類積分換元公式.例16 求解令.例16 求解令.例17 求解令.例17 求解令.例18 求解令.例18 求解令.說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令.說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.說(shuō)明(3)例19 求（三角代換很繁瑣）

7、令解. 積分中為了化掉根式是否一定采用三例20 求解令.例20 求解令.說(shuō)明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換例21 求令解.說(shuō)明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用倒代換例21 求令解例22 求解令（分母的階較高）.例22 求解令（分母的階較高）.說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） 例23 求解令.說(shuō)明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 .基本積分表.基本積分表.三、小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(2).三、小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、思考題求積分.思考題求

8、積分.思考題解答.思考題解答.練 習(xí) 題.練 習(xí) 題.練習(xí)題答案.練習(xí)題答案.3.2.2分部積分法.3.2.2分部積分法.問(wèn)題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式一、基本內(nèi)容.問(wèn)題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式一、基本例1 求積分解（一）令顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令.例1 求積分解（一）令顯然， 選擇不當(dāng)，積例2 求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函數(shù)為 , 使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)).例2 求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié) 例3 求積分解令.例3 求積分解令.例4 求積分解總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 .例4 求積分解總結(jié) 若被積函數(shù)是例