高中數(shù)學(xué)課件離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布2.2 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差2.4 正態(tài)分布第二章隨機(jī)變量及其分布第二章 小結(jié)2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差2.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值(第一課時(shí))2.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值(第二課時(shí))2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值(第一課時(shí))返回目錄 1. 什么是數(shù)學(xué)期望? 在分布列中是怎樣計(jì)算的? 2. 數(shù)學(xué)期望是反映變量的什么特征? 在實(shí)際應(yīng)用中起什么作用?學(xué)習(xí)要點(diǎn) 問題1. 某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的 3 種糖果按 3:2:1 的比例混合銷售, 你認(rèn)

2、為混合后的定價(jià)應(yīng)該是多少?按比例算得 1 kg 的混合糖果中, 18 元/kg 的占 kg,24 元/kg 的占 kg,36 元/kg 的占 kg.那么這 1 kg 糖果的價(jià)格應(yīng)該是=23 (元/kg).是這三種糖果在混合中的權(quán)數(shù).這就是混合后的平均價(jià), 問題1. 某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的 3 種糖果按 3:2:1 的比例混合銷售, 你認(rèn)為混合后的定價(jià)應(yīng)該是多少? 又問: 如果在混合好的糖果中隨機(jī)抽出一顆, 抽到 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的概率分別是多少? 根據(jù)古典概型:P(18元/kg) =P(24元/kg) =

3、P(36元/kg) =概率恰與權(quán)數(shù)相同. 于是前面的平均價(jià)可怎樣求得單價(jià)乘以概率后求和.用分布列表示如下: 問題1. 某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的 3 種糖果按 3:2:1 的比例混合銷售, 你認(rèn)為混合后的定價(jià)應(yīng)該是多少? 又問: 如果在混合好的糖果中隨機(jī)抽出一顆, 抽到 18 元/kg, 24 元/kg, 36 元/kg 的概率分別是多少? X182436P平均價(jià)為:18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36).=23 (元/kg).一般地, 若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為pnpip2p1Pxnxix2x1XE(X)=x1p1+

4、x2p2+xipi+xnpn則稱為隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望.均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.如: 下表是某果品的概率分布列, X 表示銷售價(jià).X (元/kg)15106P0.30.60.1請(qǐng)同學(xué)們估計(jì)這批 8000 kg 果品的銷售收入.如: 下表是某果品的概率分布列, X 表示銷售價(jià).0.10.60.3P61015X (元/kg)請(qǐng)同學(xué)們估計(jì)這批 8000 kg 果品的銷售收入.E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn這批果品的平均價(jià):=150.3+100.6+60.1=11.1 (元/kg)估計(jì) 8000 kg 果品的銷售收入為11.18000=88800 (元).

5、問題2. 在數(shù)學(xué)必修3中, 我們學(xué)習(xí)過樣本平均數(shù), 與這里的數(shù)學(xué)期望是相同概念嗎? 說說你的認(rèn)識(shí)?樣本平均數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)據(jù)來源實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)規(guī)律數(shù) (概率p)計(jì)算公式反映特征實(shí)際意義樣本平均情況變量平均情況估計(jì)總體平均情況推測(cè)結(jié)果平均情況樣本平均數(shù)與數(shù)學(xué)期望比較:練習(xí): (補(bǔ)充)某地區(qū) 5 月份下雨的天數(shù) X 的分布列如下0.160.2350.2330.340.0820.020.030.01P710X求這個(gè)地區(qū) 5 月份下雨天數(shù)的均值.解:這個(gè)地區(qū) 5 月份下雨天數(shù)的均值為E(X) =00.01+10.03+20.08+30.23+40.3+50.23+60.1+70.02= 3.97.即 估計(jì)這個(gè)

6、地區(qū) 5 月份有 4 天下雨. 例1. 在籃球比賽中, 罰球命中 1 次得 1 分, 不中得 0 分. 如果運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為 0.7, 那么他罰球 1 次的得分 X 的均值是多少?解:由題意知 X 服從兩點(diǎn)分布, 其取值范圍是0, 1.因?yàn)?P(X=1)=0.7,則 P(X=0)=1-0.7=0.3.所以 E(X)=1P(X=1)+0P(X=0)=10.7+00.3= 0.7.(問: 由此題你能得到一個(gè)什么結(jié)論?) 一般地, 如果隨機(jī)變量 X 服從兩點(diǎn)分布, 那么 E(X)=1p+0(1-p)=p.于是有 若 X 服從兩點(diǎn)分布, 則 E(X)=p.即: 隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的均值等于成功

7、概率.如:某地區(qū)端午節(jié)下雨的概率是0.8, 則這地區(qū)端午節(jié)下雨的均值就是 0.8.拋擲一枚圖釘落地后針尖向上的概率是 0.3,拋擲圖釘落地后針尖向上的均值就是 0.3.練習(xí): (課本64頁(yè))第 1、2、3、4 題.練習(xí): (課本64頁(yè)) 1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一定是它在試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率最大的值嗎? 請(qǐng)用具體事例說明.解:不一定.如下面兩個(gè)分布列:X-55P0.40.6Y012P0.70.10.2E(X) = -50.4+50.6= 15.E(Y) = 00.7+10.1+20.2= 0.50.2. 已知隨機(jī)變量 X 的分布列為0.230.140.320.10.20.1P510X求 E(

8、X).解:E(X)=00.1+10.2+20.3+30.2+40.1+50.1=2.3. 3. 拋擲一枚硬幣, 規(guī)定正面向上得 1 分, 反面向上得 -1 分, 求得分 X 的均值解:因?yàn)?P(正面向上)=0.5,P(反面向上)=0.5,即 P(X=1)=0.5,P(X=-1)=0.5.所以 X 的均值為E(X)=10.5+(-1)0.5=0. 4. 產(chǎn)量相同的 2 臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一種零件, 它們?cè)谝恍r(shí)內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù) X1, X2 的分布列分別如下:問哪臺(tái)機(jī)床更好? 請(qǐng)解釋你所得出結(jié)論的實(shí)際含義.X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2解:各臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出次品數(shù)的均

9、值如下:E(X1)=00.4+10.3+20.2+30.1=1.0.E(X2)=00.3+10.5+20.2=0.9.第二臺(tái)機(jī)床較好.如果同是生產(chǎn) 10 件零件, 兩臺(tái)機(jī)床都可能出現(xiàn)1 件次品.但如果生產(chǎn)的零件數(shù)很多時(shí), 第二臺(tái)機(jī)床出現(xiàn)的次品數(shù)就明顯的比第一臺(tái)機(jī)床少.【課時(shí)小結(jié)】1. 數(shù)學(xué)期望在分布列中:pnpip2p1Pxnxix2x1XE(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn. 離散隨機(jī)變量 X 的平均值稱為變量 X 的數(shù)學(xué)期望, 用 E(X) 表示.【課時(shí)小結(jié)】2. 數(shù)學(xué)期望的意義 數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. 在實(shí)際應(yīng)用中, 反映事件發(fā)生結(jié)果的平均狀態(tài).某機(jī)床產(chǎn)

10、品出現(xiàn)的平均次品數(shù).某月降雨天數(shù)的平均情況.某射手中靶環(huán)數(shù)的平均情況等.如:習(xí)題 2.3A 組第 2、4 題.習(xí)題 2.3A 組2. 若隨機(jī)變量 X 的分布列為且 E(X)=1, 求 a 和 b.b2aP10X解:因?yàn)?E(X) =又于是解得 4. 現(xiàn)要發(fā)行 10000 張彩票, 其中中獎(jiǎng)金額為 2 元的彩票 1000 張, 10 元的彩票 300 張, 50 元的彩票 100 張, 100 元的彩票 50 張, 1000 元的彩票 5 張, 1 張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值是多少?解:設(shè)中獎(jiǎng)金額為 X, 其分布列如下:X210501001000P0.10.030.010.0050.0005則 E

11、(X)=20.1+100.03+500.01+1000.005+10000.0005=2.答: 1 張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值是 2 元.2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值(第二課時(shí))返回目錄 1. 隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布時(shí), 其數(shù)學(xué)期望有什么特點(diǎn)? 它的值是多少? 2. 隨機(jī)變量 Y 是變量 X 的一次函數(shù)時(shí), Y 的數(shù)學(xué)期望與 X 的數(shù)學(xué)期望有什么關(guān)系?學(xué)習(xí)要點(diǎn) 問題3. 如果隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布, 你能計(jì)算它的均值嗎?X01knPE(X)= np.由二項(xiàng)式定理得E(X)=np(p+1-p)n-1于是有若 XB(n, p), 則 E(X)=np. 練習(xí)(補(bǔ)充). 在一個(gè)盒子中裝有相同型號(hào)的

12、3 個(gè)白球和 7 個(gè)黑球, 從中任取 3 個(gè)球. (1) 求取得白球的個(gè)數(shù) X 的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2) 如果每取得 1 個(gè)白球得 5 分, 但每抽取一次扣1 分. 求得分?jǐn)?shù) Y 的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)從盒中抽一個(gè)球是白球的概率 p=0.3,隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 XB(3, 0.3), 則分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027E(X)=np=30.3=0.9.用分布列數(shù)字計(jì)算檢驗(yàn):E(X)=00.343+10.441+20.189+30.027=0.9. 練習(xí)(補(bǔ)充). 在一個(gè)盒子中裝有相同型號(hào)的 3 個(gè)白球和 7 個(gè)黑球, 從中任取 3 個(gè)球. (1)

13、 求取得白球的個(gè)數(shù) X 的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2) 如果每取得 1 個(gè)白球得 5 分, 但每抽取一次扣1 分. 求得分?jǐn)?shù) Y 的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(2)由題意得 Y=5X-1,隨機(jī)變量 Y 的分布列為X0123P0.3430.4410.1890.027E(Y)= -10.343+40.441+90.189+140.027=3.5.則 Y 的取值范圍是-1, 4, 9, 14則 P(Y= -1) =P(X=0),P(Y=4) =P(X=1),P(Y=9) =P(X=2),P(Y=14) =P(X=3).-14914 練習(xí)(補(bǔ)充). 在一個(gè)盒子中裝有相同型號(hào)的 3 個(gè)白球和 7 個(gè)黑球, 從

14、中任取 3 個(gè)球. (1) 求取得白球的個(gè)數(shù) X 的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2) 如果每取得 1 個(gè)白球得 5 分, 但每抽取一次扣1 分. 求得分?jǐn)?shù) Y 的分布列和數(shù)學(xué)期望.問:(1) Y=5xi-1 與 xi 的概率相等嗎? (2) Y=5X-1 的數(shù)學(xué)期望與 X 的數(shù)學(xué)期望有什么關(guān)系?(1) P(Y=5xi-1)=P(X=xi).(2) E(Y)=3.5=50.9-1=5E(X)-1. 一般地, 若 X 是隨機(jī)變量, Y=aX+b (a, b是常數(shù))也是隨機(jī)變量, P(Y=axi+b)=P(X=xi)=pi, 則Y 的分布列為Yax1+bax2+baxi+baxn+bPp1p2pipn于是

15、 E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axi+b)pi+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+xnpn)+b(p1+p2+Pn)=aE(X)+b.即E(aX+b)=aE(X)+b. 例2. 一次單元測(cè)驗(yàn)由 20 個(gè)選擇題構(gòu)成, 每個(gè)選擇題有 4 個(gè)選項(xiàng), 其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確. 每題選對(duì)得 5 分, 不選或選錯(cuò)不得分, 滿分100分. 學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為 0.9, 學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè). 分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值.解:設(shè)學(xué)生甲選對(duì)的題數(shù)為 X1, 學(xué)生乙選對(duì)的題數(shù)為 X2,X1, X2 服從二項(xiàng)分布, 即X1B(20,

16、 0.9),X2B(20, 0.25).得E(X1)=np1=200.9=18,E(X2)=np2=200.25=5. 即學(xué)生甲選對(duì)題數(shù)的均值為 18 題, 學(xué)生乙選對(duì)題數(shù)的均值為 5 題. 例2. 一次單元測(cè)驗(yàn)由 20 個(gè)選擇題構(gòu)成, 每個(gè)選擇題有 4 個(gè)選項(xiàng), 其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確. 每題選對(duì)得 5 分, 不選或選錯(cuò)不得分, 滿分100分. 學(xué)生甲選對(duì)任意一題的概率為 0.9, 學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè). 分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的均值.解設(shè)學(xué)生甲選對(duì)的題數(shù)為 X1, 學(xué)生乙選對(duì)的題數(shù)為 X2,X1, X2 服從二項(xiàng)分布, 即X1B(20, 0.9),X

17、2B(20, 0.25).得E(X1)=np1=200.9=18,E(X2)=np2=200.25=5. 即學(xué)生甲選對(duì)題數(shù)的均值為 18 題, 學(xué)生乙選對(duì)題數(shù)的均值為 5 題.設(shè)學(xué)生甲測(cè)驗(yàn)得分為 Y1, 學(xué)生乙測(cè)驗(yàn)得分為 Y2,則 Y1=5X1, Y2=5X2,所以 E(Y1)=5E(X1)=518=90.E(Y2)=5E(X2)=55=25. 例3. 根據(jù)氣象預(yù)報(bào), 某地區(qū)近期有小洪水的概率為 0.25, 有大洪水的概率為 0.01, 該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備, 遇到大洪水時(shí)要損失 60000元, 遇到小洪水時(shí)要損失 10000元, 為保護(hù)設(shè)備, 有以下 3 種方案: 方案 1: 運(yùn)走設(shè)

18、備, 搬運(yùn)費(fèi)為 3800元. 方案 2: 建保護(hù)圍墻, 建設(shè)費(fèi)為 2000元, 但圍墻只能防小洪水. 方案 3: 不采取措施.試比較哪一種方案好.解:計(jì)算各方案的損失費(fèi)如下:方案 1: 不管有無洪水, 都損失 3800元.方案 2: 設(shè)損失費(fèi)為 X, 則分布列為X2000(無洪水)2000(小洪水)62000(大洪水)P0.740.250.01 例3. 根據(jù)氣象預(yù)報(bào), 某地區(qū)近期有小洪水的概率為 0.25, 有大洪水的概率為 0.01, 該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備, 遇到大洪水時(shí)要損失 60000元, 遇到小洪水時(shí)要損失 10000元, 為保護(hù)設(shè)備, 有以下 3 種方案: 方案 1: 運(yùn)走設(shè)

19、備, 搬運(yùn)費(fèi)為 3800元. 方案 2: 建保護(hù)圍墻, 建設(shè)費(fèi)為 2000元, 但圍墻只能防小洪水. 方案 3: 不采取措施.試比較哪一種方案好.解:計(jì)算各方案的損失費(fèi)如下:方案 1: 不管有無洪水, 都損失 3800元.方案 2: 設(shè)損失費(fèi)為 X, 則分布列為0.742000(無洪水)0.010.25P62000(大洪水)2000(小洪水)X則 E(X)=20000.74+20000.25+620000.01=2600 (元).方案 3: 設(shè)損失費(fèi)為 Y, 則分布列為Y0(無洪水)10000(小洪水)60000(大洪水)P0.740.250.01則 E(Y)=00.74+100000.25+

20、600000.01=3100 (元).相比之下, 選擇方案 2 平均損失要小些.【小結(jié)】1. 二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望若 XB(n, p),則 E(X)=np.【小結(jié)】2. 線性變量的數(shù)學(xué)期望 若 Y=aX+b (X 是隨機(jī)變量, a, b 是常數(shù)), 則E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.若 XB(n, p),則 E(Y)=anp+b.練習(xí): (課本64頁(yè))第 5 題.習(xí)題 2.3A 組第 3 題.B 組第 1、2 題. 5. 同時(shí)拋擲 5 枚質(zhì)地均勻的硬幣, 求出現(xiàn)正面向上的硬幣數(shù) X 的均值.解:拋擲 1 枚硬幣出現(xiàn)正面上向的概率為 p=0.5,則 XB(5, 0.5).所以 X 的均值

21、為E(X)=np=50.5=2.5.練習(xí): (課本64頁(yè)) 3. 一名射手擊中靶心的概率是 0.9, 如果他在同樣條件下連續(xù)射擊 10 次, 求他擊中靶心的次數(shù)的均值.解:設(shè)這名射手擊中靶心的次數(shù)為 X, 則XB(10, 0.9).所以這名射手擊中靶心的均值為E(X)=np=100.9=9.習(xí)題 2.3A 組B 組 1. 拋擲兩枚骰子, 當(dāng)至少有一枚 5 點(diǎn)或一枚 6 點(diǎn)出現(xiàn)時(shí), 就說這次試驗(yàn)成功, 求在 30 次試驗(yàn)中成功次數(shù) X 的均值.解:設(shè)拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 x.則拋擲兩枚骰子成功的概率為p=P(x15)+P(x15)P(x25)因?yàn)槌晒Υ螖?shù) X 服從二項(xiàng)分布, 即所為 E(X)

22、=np 2. 一臺(tái)機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為 0.1. 若對(duì)臺(tái)機(jī)器一周 5 個(gè)工作日不發(fā)生故障, 可獲利 5 萬元; 發(fā)生 1 次故障仍可獲利 2.5 萬元; 發(fā)生 2 次故障的利潤(rùn)為 0 元; 發(fā)生 3 次或 3 次以上故障要虧損 1 萬元. 這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可能獲利的均值是多少?解:設(shè)這臺(tái)機(jī)器在 5 天內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)為 X,則 XB(5, 0.1),那么 X 的分布列為X012345P0.59050.32810.07290.00810.00040.00001設(shè)所獲利潤(rùn)為 Y, 則 Y 的分布列為Y52.50-1P0.59050.32810.07290.0085 2. 一臺(tái)機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生

23、故障的概率為 0.1. 若對(duì)臺(tái)機(jī)器一周 5 個(gè)工作日不發(fā)生故障, 可獲利 5 萬元; 發(fā)生 1 次故障仍可獲利 2.5 萬元; 發(fā)生 2 次故障的利潤(rùn)為 0 元; 發(fā)生 3 次或 3 次以上故障要虧損 1 萬元. 這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可能獲利的均值是多少?解:設(shè)這臺(tái)機(jī)器在 5 天內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)為 X,則 XB(5, 0.1),那么 X 的分布列為342P510X0.59050.32810.07290.00810.00040.00001設(shè)所獲利潤(rùn)為 Y, 則 Y 的分布列為-10P2.55Y0.59050.32810.07290.0085于是 E(Y) =50.5905+2.50.3281+00.0

24、729-10.0085= 3.76425.答: 這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可能獲利的均值是3.76425萬元.2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差返回目錄 1. 隨機(jī)變量的方差是怎樣計(jì)算來的一個(gè)數(shù)值? 它反映隨機(jī)變量的什么特征?2. 隨機(jī)變量的方差有什么實(shí)際意義?學(xué)習(xí)要點(diǎn) 3. 服從兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差怎樣計(jì)算? 問題1. 根據(jù)兩名同學(xué)以往參加射擊比賽的成績(jī)記錄, 下面是他們各自中靶環(huán)數(shù) X 的分布列第一位同學(xué)中靶環(huán)數(shù)X1的分布列:0.3180.2790.2070.100.090.03P1065X1第二位同學(xué)中靶環(huán)數(shù)X2的分布列:0.4180.3390.2070.050.01P65X2他們的成績(jī)一樣嗎? 如

25、果要選派其中一人去參加比賽, 應(yīng)該派誰(shuí)較恰當(dāng)?E(X1)=50.03+60.09+70.2+80.31+90.27+100.1=8;E(X2)=50.01+60.05+70.2+80.41+90.33=8.平均成績(jī)相同.再觀察分布列的圖形:0.10.20.30.45678910X1POX1 分布列0.10.20.30.456789X2POX2 分布列環(huán)數(shù)較分散.環(huán)數(shù)集中在 8, 9 環(huán).問題: 用什么數(shù)來表示分散與集中這一特點(diǎn)?分析兩隨機(jī)變量與平均數(shù)的偏移程度:X15678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.200.410.330.03個(gè)

26、|5-8|0.09個(gè)|6-8|0.2個(gè)|7-8|0.31個(gè)|8-8|0.27個(gè)|9-8|0.03個(gè)|10-8|0.01個(gè)|5-8|0.05個(gè)|6-8|0.2個(gè)|7-8|0.41個(gè)|8-8|0.33個(gè)|9-8|0.090.180.200.270.060.030.10.200.33與平均值的偏移程度與平均值的偏移程度+=0.8.=0.66.X2 與均值的偏移程度要小些, 較集中于均值附近.為了去掉絕對(duì)值符號(hào), 改用平方:設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則 (xi-E(X)2 描述了xi (i=1, 2, , n) 相對(duì)于均值 E(X)為這些偏離程度的加權(quán)平均,

27、刻畫了隨機(jī)變量 X 與其均值 E(X) 的平均偏離程度. 我們稱 D(X) 為隨機(jī)變量 X 的方差, 并稱其算術(shù)平方根 為隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差. 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度. 方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小, 則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小.的偏離程度, 而(練習(xí)): 請(qǐng)計(jì)算兩名同學(xué)射擊環(huán)數(shù)的方差 D(X).X15678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.200.410.33 E(X1)=E(X2)=8, D(X1) = (5-8)20.03+(6-8)20.09+(10-8)20.1= 0.27+0.36+0.2

28、+0+0.27+0.4= 1.5.D(X2) = (5-8)20.01+(6-8)20.05+(9-8)20.33= 0.09+0.2+0.2+0+0.33= 0.82.D(X2)D(X1), 第二名較穩(wěn)定. 如果 X 服從兩點(diǎn)分布時(shí),D(X)=p(1-p).(同學(xué)們可以證明這一結(jié)論) 如果 X 服從二項(xiàng)分布時(shí), 即 XB(n, p),D(X)=np(1-p).(此證明較繁, 不要作求) 當(dāng) Y=aX+b (a, b 為常數(shù)) 時(shí),D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 例4. 隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子, 求向上一面的點(diǎn)數(shù) X 的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.解:拋擲骰子點(diǎn)數(shù) X 的分布列如下:X1

29、23456P(請(qǐng)同學(xué)們完成 E(X), D(X), ) 例4. 隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子, 求向上一面的點(diǎn)數(shù) X 的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.解:拋擲骰子點(diǎn)數(shù) X 的分布列如下:X123456P=3.5.2.92.1.71. 例5. 有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你, 而你能獲得如下信息:甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的沖差異情況, 你愿意選擇哪家單位?解:求各單位的均值與方差.E(X1)=12000.4+140

30、00.3+16000.2+18000.1=1400.D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1=40000. 例5. 有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你, 而你能獲得如下信息:0.10.20.30.4獲得相應(yīng)職位的概率P11800160014001200甲單位不同職位月工資X1/元0.10.20.30.4獲得相應(yīng)職位的概率P22200180014001000乙單位不同職位月工資X2/元根據(jù)工次待遇的沖差異情況, 你愿意選擇哪家單位?解:求各單位的均值與方差.E(X1)=12000.4+14000.3+160

31、00.2+18000.1=1400.D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1=40000.E(X2)=10000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400.D(X2)=(1000-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1800-1400)20.2+(2200-1400)20.1=160000.E(X1)=E(X2),平均工資相等.D(X1)D(X2),第一家工資級(jí)差小于第二家.如果希望工資差距小一些, 就選擇第一家.如果能力出眾, 很快會(huì)獲得高職位, 就選擇第二

32、家.練習(xí): (課本68頁(yè))第 1、2、3 題.練習(xí): (課本68頁(yè))1. 已知隨機(jī)變量 X 的分布列為0.10.20.40.20.1P43210X求 D(X) 和解:E(X)=00.1+10.2+20.4+30.2+40.1=2.D(X)=(0-2)20.1+(1-2)20.2+(2-2)20.4+(3-2)20.2+(4-2)20.1=1.2.1.1. 2. 若隨機(jī)變量 X 滿足 P(X=c)=1, 其中 c 為常數(shù), 求 D(X).解:E(X)=c.D(X)=(c-c)21=0.3. 方差在實(shí)際中有什么作用? 請(qǐng)用具體實(shí)例說明.解:方差刻畫的是與平均值的偏離程度, 是反映隨機(jī)變量的穩(wěn)定性. 在實(shí)際應(yīng)用中, 如果幾個(gè)方案均值相同, 而關(guān)心的問題希望較為穩(wěn)定, 就應(yīng)該選擇方差較小的方案. 如果關(guān)心的問題有特殊性, 如方差大的運(yùn)動(dòng)員最近狀態(tài)非常好, 可能會(huì)取得他的最好成績(jī); 招錄專業(yè)技術(shù)人員時(shí), 各科招考成績(jī)方差大, 是否所需專業(yè)最高; 投資時(shí), 喜歡冒險(xiǎn)以獲得最大收益.如: 選擇運(yùn)動(dòng)員參賽; 按多科招考成績(jī)選擇綜合管理人員; 希望有較穩(wěn)定收益的投資等.【課