泛函分析知識(shí)總結(jié)匯總文檔

1、泛函解析知識(shí)總結(jié)與舉例、應(yīng)用學(xué)習(xí)泛函解析主要學(xué)習(xí)了五大主要內(nèi)容：一、胸襟空間和賦范線性空間；二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函；三、內(nèi)積空間和希爾伯特空間；四、巴拿赫空間中的基本定理；五、線性算子的譜。本文主要對(duì)前面兩大內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)、舉例、應(yīng)用。一、胸襟空間和賦范線性空間（一）胸襟空間胸襟空間在泛函解析中是最基本的見解，它是n維歐氏空間Rn（有限維空間）的推廣，因此學(xué)好它有助于后邊知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解。1胸襟定義：設(shè)X是一個(gè)會(huì)集，若關(guān)于X中任意兩個(gè)元素x，y,都有獨(dú)一確定的實(shí)數(shù)d(x,y)與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足以下條件：1d(x,y)0，d(x,y)=0 x=y（非負(fù)性）2d(x,y)=d(y

2、,x)（對(duì)稱性）3對(duì)z，都有d(x,y)d(x,z)+d(z,y)（三點(diǎn)不等式）則稱d(x,y)是x、y之間的胸襟或距離（matric或distance），稱為(X,d)胸襟空間或距離空間(metricspace)。（這個(gè)定義是證明胸襟空間常用的方法）注意:定義在X中任意兩個(gè)元素x，y確定的實(shí)數(shù)d(x,y)，只要滿足1、2、3都稱為胸襟。這里“胸襟”這個(gè)名稱已由現(xiàn)實(shí)生活中的意義引申到一般情況，它用來描述X中兩個(gè)事物湊近的程度，而條件1、2、3被認(rèn)為是作為一個(gè)胸襟所必定滿足的最實(shí)質(zhì)的性質(zhì)。胸襟空間中由會(huì)集X和胸襟函數(shù)d所組成，在同一個(gè)會(huì)集X上若有兩個(gè)不同樣的度量函數(shù)d1和d2，則我們認(rèn)為(X,d

3、1)和(X,d2)是兩個(gè)不同樣的胸襟空間。會(huì)集X不用然是數(shù)集，也不用然是代數(shù)構(gòu)造。為直觀起見，今后稱胸襟空間(X,d)中的元素為“點(diǎn)”，比方若xX，則稱為“X中的點(diǎn)”。在稱呼胸襟空間(X,d)時(shí)可以省略胸襟函數(shù)d，而稱“胸襟空間X”。1.1舉例11.11失散的胸襟空間：設(shè)X是任意的非空會(huì)集，對(duì)X中任意兩點(diǎn)x,yX，令1，當(dāng)xydx，y=0，當(dāng)x=y，則稱（X，d）為失散胸襟空間。1.12序列空間S：S表示實(shí)數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，d(x,y)1ii；i12i1ii1.13有界函數(shù)空間B(A)：A是給定的會(huì)集，B(A)表示A上有界實(shí)值（或復(fù)值）函數(shù)全體，對(duì)B(A)中任意兩點(diǎn)x,y，定義d(x,y

4、)supx(t)y(t)tA1.14可測(cè)函數(shù)空間M(X)：M(X)為X上實(shí)值（或復(fù)值）的L可測(cè)函數(shù)全體。f(t)g(t)d(f,g)=dtx1f(t)g(t)1.15Ca,b空間（重要的胸襟空間）：Ca,b表示閉區(qū)間a,b上實(shí)值（或復(fù)值）連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)Ca,b中任意兩點(diǎn)x,y，定義d(x,y)maxx(t)y(t)atb1.16l2：無量維空間（重要的胸襟空間）例1.15、1.16是考試中常考的胸襟空間。2胸襟空間中的極限，茂密集，可分空間2.1x0的領(lǐng)域：設(shè)（X，d）為胸襟空間，d是距離，定義U(x0,)xXd(x,x0）為x0的以為半徑的開球，亦稱為x0的領(lǐng)域。注：經(jīng)過這個(gè)定義我們可以從

5、點(diǎn)集這一章學(xué)到的知識(shí)來定義距離空間中一個(gè)點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，界線點(diǎn)及聚點(diǎn)，導(dǎo)集，閉包，開集等見解。2.2胸襟空間的收斂點(diǎn)列：設(shè)(X，d)是一個(gè)胸襟空間，xn是（X，d）中點(diǎn)列,若是存在xX，xn收斂于x，使limxnx，即d(xn,x)0(n)，稱點(diǎn)n列xn是（X，d）中的收斂點(diǎn)列，x叫做點(diǎn)列xn的極限，且收斂點(diǎn)列的極限是獨(dú)一的。注：胸襟空間中點(diǎn)列收斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有好多共同之處。22.3有界集：設(shè)M是胸襟空間（X，d）中的點(diǎn)集，定義(M)supd(x,y)為點(diǎn)集M的直x,yM徑。若(M)，則稱M為（X，d）中的有界集。（近似于Rn，我們可以證明一個(gè)胸襟空間中收斂點(diǎn)列是有界點(diǎn)集）2.4閉集

6、：A是閉集A中任意收斂點(diǎn)列的極限都在A中，即若A，xxx,nn=1,2.n則xA。（要會(huì)證明）2.5舉例n維歐氏空間Rn中，點(diǎn)列依距離收斂d(xk,x)0依重量收斂。Ca,b空間中，點(diǎn)列依距離收斂d(xk,x)0依重量一致收斂。序列空間S中，點(diǎn)列依坐標(biāo)收斂?？蓽y(cè)函數(shù)空間M(X)：函數(shù)列依測(cè)度收斂于f，即d(fn,f)0fnf。2.6茂密子集和可分胸襟空間有理數(shù)集在實(shí)數(shù)集中的茂密性，它屬于實(shí)數(shù)集中，現(xiàn)把茂密性實(shí)行到一般的胸襟空間中。定義：設(shè)X是胸襟空間，E和M是X的兩個(gè)子集，令M表示M的閉包，若是E?M，則稱集M在集E中茂密，當(dāng)E=X時(shí)，稱M為X的一個(gè)茂密子集，若是X有一個(gè)可數(shù)的茂密子集，則稱X

7、為可分空間。注：可分空間與茂密集的關(guān)系：由可分空間定義知，在可分空間X中必然有茂密的可數(shù)集。這時(shí)必有X中的有限個(gè)或可數(shù)個(gè)點(diǎn)在X中茂密。舉例n維歐式空間Rn是可分空間：坐標(biāo)為有理數(shù)的全體是Rn的可數(shù)茂密子集。失散胸襟空間X可分X是可數(shù)集。（由于X中無茂密真子集，X中獨(dú)一的茂密只有X自己）l是不可以分空間。數(shù)學(xué)知識(shí)間都有聯(lián)系，現(xiàn)依照直線上函數(shù)連續(xù)性的定義，引進(jìn)了胸襟空間中照射連續(xù)性的見解。3.連續(xù)照射3.1定義：設(shè)X=（X，d）Y=（Y，d）是兩個(gè)胸襟空間，T是X到Y(jié)中的照射x0?X，若是3對(duì)0，0，使對(duì)X中所有滿足d（x，x0）0，正整數(shù)N=N（），使當(dāng)，N時(shí)，必有（xn，xm），則稱xnX中的

8、柯西（Cauchy）點(diǎn)列或基本點(diǎn)列?！緯?huì)判斷：柯西點(diǎn)列是有界點(diǎn)列】我們知道實(shí)數(shù)集的齊全性，同時(shí)在學(xué)習(xí)數(shù)列收斂時(shí)，數(shù)列收斂的充要條件是數(shù)列是Cauchy列，這由實(shí)數(shù)的齊全性所致。在胸襟空間中，這一結(jié)果未必成立。但在胸襟空間中的確存在齊全的胸襟空間。44.2齊全的胸襟空間的定義：若是胸襟空間（X，d）中每一個(gè)柯西點(diǎn)列都在（X，d）中收斂，那么稱（X，d）是齊全的胸襟空間但要注意，在定義中要求X中存在一點(diǎn)，使該柯西點(diǎn)列收斂到這一點(diǎn)。4.3舉例（記住結(jié)論）有理數(shù)全體按絕對(duì)值距離組成的空間不齊全，但n維歐式空間Rn是齊全的胸襟空間。在一般胸襟空間中，柯西點(diǎn)列不用然收斂，但是胸襟空間中的每一個(gè)收斂點(diǎn)列都是

9、柯西點(diǎn)列：C、Ca,b、l也是齊全的胸襟空間。4.4定理齊全胸襟空間X的子空間M，是齊全空間M是X中的閉子空間。P，（表示閉區(qū)間，上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體，作為C，的子空間）是不齊全的胸襟空間5.胸襟空間的齊全化。5.1等距照射：設(shè)（X，d），T是從X到X上的照射，即對(duì)（X,d）是兩個(gè)胸襟空間，x,yX,d(Tx,Ty)=d(x,y),則稱T是等距照射。5.2定義：設(shè)（X，d），X到X上的等距照射T，（X,d）是兩個(gè)胸襟空間，若是存在一個(gè)從則稱（X，d）和稱為X到X上的等距同構(gòu)照射。（像（X,d）等距同構(gòu)，此時(shí)T的距離等于原像的距離）注：在泛函解析中經(jīng)常把兩個(gè)等距同構(gòu)的胸襟空間不加差異而視為同一的。

10、5.2定理1（胸襟空間的齊全化定理）：設(shè)X=（X，d）是胸襟空間，那么必然存在齊全胸襟空間X=（X,d），使X與X的某個(gè)茂密子空間W等距同構(gòu)，而且X在等距同構(gòu)下是獨(dú)一的?,即若（X，d）也是一個(gè)齊全的胸襟空間，且X與X的某個(gè)稠?不需要掌握證明但是密子空間等距同構(gòu)，則（X,d）與（X，d）等距同構(gòu)。(要記住結(jié)論)定理1的改述：設(shè)X=（X，d）是胸襟空間，那么存在獨(dú)一的齊全胸襟空間X=（X,d），使X為X的茂密子空間。5壓縮照射原理及其應(yīng)用（重點(diǎn)內(nèi)容，要求掌握并會(huì)證明）學(xué)習(xí)齊全胸襟空間見解，就需要應(yīng)用，而壓縮映像原理是求解代數(shù)方程、微分方程、積分方程，以及數(shù)值解析中迭代算法收斂性很好的工具，別的要

11、學(xué)會(huì)如何求不動(dòng)點(diǎn)。6.1壓縮照射定義：X是胸襟空間，T是X到X的照射，若是存在一個(gè)數(shù)，（0,1），使對(duì)x，yX，d（Tx，Ty）d（x，y）則稱T為壓縮照射。6.2（壓縮照射定理）設(shè)X是齊全的胸襟空間，T是X上的壓縮照射，那么T有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（即方程Tx=x，有且只有一個(gè)解）。x是T的不動(dòng)點(diǎn)x是方程Tx=x的解）這個(gè)定理對(duì)代數(shù)方程、微分方程、積分方程、數(shù)值解析的解的存在性和獨(dú)一性的證明中起重要作用。6.3壓縮照射原理的應(yīng)用：在眾多情況下，求解各種方程的問題可以轉(zhuǎn)變?yōu)榍笃淠骋徽丈涞牟粍?dòng)點(diǎn)，現(xiàn)在以大家熟悉的一階常微分方程dy（1）f(x,y)dx為例來說明這一點(diǎn)。求微分方程（1）滿足初始條件y

12、(x0)y0的解與求積分方程xy(x)y0f(x,y(t)dt（2）x0等價(jià)。我們做照射xTy(x)y0f(x,y(t)dtx0則方程（2）的解就轉(zhuǎn)變?yōu)榍髖，使之滿足Tyy。也就是求這樣的y，它經(jīng)照射作用后仍變?yōu)閥。因此，求解方程（1）就變?yōu)榍笳丈銽的不動(dòng)點(diǎn)，這種求解方程變?yōu)榍蠼庹丈涞牟粍?dòng)點(diǎn)的做法在數(shù)學(xué)中是常用的。那么如何求解照射的不動(dòng)點(diǎn)呢？在R中求方程解的逐次逼近法給了我們啟示。這種迭代原理是解決照射不動(dòng)點(diǎn)問題最基本的方法。在解決上述問題中，看到實(shí)數(shù)完備性的重要作用。代數(shù)方程、微分方程、積分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函解析中成了一個(gè)一般原理，即壓縮照射原理，壓縮照射原理就是某一類照射

13、不動(dòng)點(diǎn)存在性和獨(dú)一性問題，不6動(dòng)點(diǎn)可以經(jīng)過迭代序列求出。注：（1）從定理的證明過程中發(fā)現(xiàn)，迭代序列的初始值可任意采用，最后都能收斂到惟一不動(dòng)點(diǎn)。（2）該定理供應(yīng)了近似計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的誤差估計(jì)公式，即(x,xn)an(Tx0,x0)1a由于齊全胸襟空間的任何子集在原有胸襟下依舊是齊全的，因此定理中的壓縮照射不需要在整個(gè)空間X上有定義，只要在某個(gè)閉集上有定義，且像也在該閉集內(nèi)，定理的結(jié)論依舊成立。在實(shí)質(zhì)應(yīng)用過程中，有時(shí)T自己未必是壓縮照射，但T的若干次復(fù)合Tn是壓縮照射，這時(shí)T依舊有獨(dú)一不動(dòng)點(diǎn)，下面是壓縮照射原理的應(yīng)用及相關(guān)證明。1線性代數(shù)方程Axb均可寫成以下形式CxD（3）其中C(cij)nn,D

14、(d1,d2,dn)T。若是矩陣C滿足條件ncij1(i1,2,n)j1則式（3）存在獨(dú)一解，且此解可由迭代求得。證明：取XRn，定義胸襟為(,)maxaibi1in(a1,a2,an)T,(b1,b2,bn)T構(gòu)造照射T:XX為TxCxD，那么方程（3）的解等價(jià)于照射T的不動(dòng)點(diǎn)。關(guān)于x(x1,x2,xn)T,y(y1,y2,yn)T，由于(Tx,Ty)maxn(cijxjdj)n(cijyjdj)1inj1j1nnmaxcij(xjyj)maxcij(x,y)1inj11inj1n記amaxcij，由條件a1，因此T是壓縮映像，于是T3有獨(dú)一不動(dòng)點(diǎn)，因此方程（）1inj17有獨(dú)一解，且此解可

15、由以下迭代序列x(k)Cx(k1)D近似計(jì)算求得。例2察看以下常微分方程的初值問題dyf(x,y)dxy(x0)y0若是f(x,y)在R2上連續(xù)，且關(guān)于第二元y滿足Lipschitz條件，即f(x,y1)f(x,y2)Ky1y2這里K0是常數(shù)，則方程（4）在x0,x0上有獨(dú)一解(1)。K證明：方程（4）的解等價(jià)于以下方程y(x)y0 xf(t,y(t)dtx0的解。取連續(xù)函數(shù)空間Cx0,x0，定義其上的照射T:Cx0,x0Cx0,x0為(Ty)(x)y0 xf(t,y(t)dtx0則積分方程（5）的解等價(jià)于T的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)y2(x)Cx0,x0，由于(Ty1,Ty2)maxxf(

16、t,y2(t)dtf(t,y1(t)xx0,x0 x0maxxf(t,y2(t)dtf(t,y1(t)xx0,x0 x0 xmaxKy1(t)y2(t)dtK(y1,y2)xx0,x0 x0令aK，則a1，故T是壓縮照射，從而T有獨(dú)一不動(dòng)點(diǎn)，即積分方程（一解，從而微分方程（4）在x0,x0上有獨(dú)一解。例3設(shè)K(s,t)是定義在a,ba,b上的二元連續(xù)函數(shù)，則關(guān)于任何常數(shù)給定的連續(xù)函數(shù)f(t)Ca,b，以下Volterra型積分方程4）5）y1(x)，5）有唯及任何8x(t)tK(s,t)x(s)dsf(t)(6)a存在獨(dú)一解。證明：取連續(xù)函數(shù)空間Ca,b，其上定義照射T：Ca,bCa,b為tK

17、(s,t)x(s)dsf(t)(Tx)(t)a則方程（6）的解等價(jià)于T的不動(dòng)點(diǎn)。由于K(s,.t)在a,ba,b上連續(xù)，于是K(s,t)在a,ba,b有最大值，記為M，即MmaxK(s,t)：(s,t)a,ba,b對(duì)任何兩個(gè)連續(xù)函數(shù)x1(),x2()，由于tt(Tx1)(t)(Tx2)(t)tx2(s)dsK(s,t)x1(s)aM(ta)maxx1(s)x2(s)asbM(ta)(x1,x2)(T2x1)(t)(T2x2)(t)22tK(s,t)(Tx1)(s)(Tx2)(s)dsaM2(x1,x2t)(sa)dsaM2(ta)2(x1,x2)2一般地，對(duì)自然數(shù)n，歸納可得n(Tnx1)(t

18、)(Tnx2)(t)Mn(ta)n(x1,x2)n!因此(Tnx1,Tnx2)max(Tnx1)(t)(Tnx2)(t)atbnMn(ba)n(x1,x2)n!nMn(ba)n0，因此存在自然數(shù)n0，滿足注意到limn!n9n0Mn0(ba)n0a1n0!這說明Tn0是壓縮照射，由壓縮照射原理可知，有獨(dú)一不動(dòng)點(diǎn)，亦即Volterra型積分方程（6）有獨(dú)一解。例4（隱函數(shù)存在定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在帶狀域axb,y中各處連續(xù)，且各處相關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)。若是存在常數(shù)m和M，滿足0mfy(x,y)M,mM則方程f(x,y)0在區(qū)間a,b上必有獨(dú)一的連續(xù)函數(shù)y(x)作為解，即f(x,(x

19、)0,xa,b證明：在齊全空間Ca,b中作照射T，使關(guān)于任意的函數(shù)Ca,b，有(T)(x)(x)1f(x,(x)M按定理?xiàng)l件，f(x,y)是連續(xù)的，因此(T)(x)也是連續(xù)的，即TCa,b，故T是Ca,b到Ca,b的照射?，F(xiàn)證T是壓縮照射，1,2,由微分中值定理存在01使Cab(T2)(x)(T1)(x)2(x)1f(x,2(x)1(x)1f(x,1(x)MM2(x)1(x)1fyx,1(x)(2(x)1(x)?(2(x)1(x)M2(x)1(x)(1m)M又0mM因此0m1令1m，則01MM,且(T2)(x)(T1)(x)2(x)1(x)按Ca,b中距離的定義，有(T2,T1)2(x)1(x

20、)，因此T是壓縮映像，存在Ca,b使T，即(x)(x)1f(x,(x)，即1f(x,(x)0，因此MMf(x,(x)0(axb)10可見，壓縮照射原理在辦理迭代數(shù)列的收斂、微分方程定解等問題上有重視要的應(yīng)用，其見解與方法已經(jīng)浸透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支如常微分方程、數(shù)值計(jì)算，加深了各分支間的互相聯(lián)系，應(yīng)用壓縮照射原理解決問題也十分簡(jiǎn)潔、靈便和方便。（二）賦范線性空間線性空間設(shè)X是非空會(huì)集，F(xiàn)是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，稱X為F上的線性空間，若是滿足以下條件：對(duì)兩個(gè)元素x,yX，X中獨(dú)一個(gè)元素u與之對(duì)應(yīng)，u稱為x與y的和，記為xy，且滿足：（1）交換律xyyx(x,yX)；（2）結(jié)合律x(yz)(xy)z(x,y

21、,zX)；（3）在X中存在一個(gè)元素，稱為零元，使xx(xX)；（4）對(duì)每個(gè)xX，存在xX，使x(x)，x稱為x的負(fù)元。對(duì)任意數(shù)F及xX，存在X中獨(dú)一元素v與之對(duì)應(yīng)，記為vx，稱為與x的數(shù)乘，且滿足：（1）結(jié)合律(x)()x(,)F,xX：（2）1xx；（3）數(shù)乘對(duì)加法分配律()xxx；（4）加法對(duì)數(shù)乘分配律(xy)xy。若是FR，稱X為實(shí)線性空間；若是FC（復(fù)數(shù)域），稱X為復(fù)線性空間。關(guān)于線性空間：X是線性空間（滿足加法和數(shù)乘運(yùn)算），Y是X的非空子集，任意x,yY及任意?R，都有x+yY及axY，那么Y按X中加法和數(shù)乘運(yùn)算也成為線性空間，稱為X的子空間，X和0是平凡子空間。若XY，則稱Y是X的

22、真子空間。賦范線性空間和巴拿赫（Banach）空間（重點(diǎn)內(nèi)容）2.1定義：設(shè)X為實(shí)（或復(fù)）的線性空間，若是對(duì)每一個(gè)向量xX，有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，11記為x與之對(duì)應(yīng)，而且滿足：（1）x0且x=0 x=0（2）x=x其中為任意實(shí)（復(fù)）數(shù)（3）x+yx+yx,yX則稱x為向量x的范數(shù)，稱X按范數(shù)x成為賦范線性空間擴(kuò)展：x是x的連續(xù)函數(shù)。（要會(huì)證明）設(shè)xn是X中的點(diǎn)列，若是xX，使xnx0（n）則稱xn依范數(shù)收斂于x，記為xnx（n）或limxnxn若是令d（x，y）=x-y（x,yX），xn依范數(shù)收斂于xxn按距離d（x，y）收斂于x，稱d（x，y）為是由范數(shù)x導(dǎo)出的距離。注意：線性賤范空間必然是胸襟

23、空間，反過來不用然成立。2.2齊全的線性賦范空間稱為巴拿赫（Banach）空間巴拿赫空間的舉例n維歐式空間RCa，blLa，b（p1）lp其他：霍爾德Horder(不等式)：bf(t)g(t)dtfpgp；a閔可夫斯基不等式：fgpfpgp。（記住結(jié)論并會(huì)應(yīng)用）二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函1.算子定義：賦范線性空間X到另一個(gè)賦范線性空間Y的照射，被稱為算子，若是Y是數(shù)域，則被稱為泛函。線性算子和線性泛函2.1定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)同為實(shí)（或復(fù)）的線性空間，D(?)是X的線性子空間，T為D到Y(jié)中的照射，若是對(duì)任何x，yD及數(shù)，都有T（x+y）=Tx+Ty（1）T（x）=Tx（2）則稱T為D到Y(jié)中

24、的線性算子，其中D稱為T的定義域，記為D（T），TD稱為T的值域記為R(T)，當(dāng)T取值于實(shí)（或復(fù)）數(shù)域時(shí)，稱T為實(shí)（或復(fù)）線性泛12函。2.2幾種常有的線性算子和線性泛函的例子：相似算子Tx=x當(dāng)=1時(shí)為恒等算子；當(dāng)=0時(shí)為零算子；P0，1是0，1上的多項(xiàng)式全體，定義微分算子：（Tx）（t)=dx(t)，dtt00，1，對(duì)x?P0，1，定義f（x）=x（t0）則f是P0，1上的線性泛函。積分算子：xCa，bTx（t）=x()d由積分線性性質(zhì)知T為線性算子，若令f(x)=x()d則f是Ca，b中的線性泛函乘法算子：xCa，bTx（t）=tx（t）R中的線性變換是線性算子3.有界線性算子3.1定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)線性賦范空間，T是X的線性子空間D（T）到Y(jié)中線性算子，若是存在常數(shù)c，使對(duì)所有xD（T），有：Txcx，則稱T是D（T）到Y(jié)中的線性有界算子，當(dāng)D（T）=X時(shí)，稱T為X到Y(jié)中的線性有界算子，簡(jiǎn)稱為有界算子。否則，稱為無界算子。3.2定理1：設(shè)T是線必性賦范空間X到線性