第2課時-隨機變量及其分布課件

1、第2課時隨機變量及其分布第2課時隨機變量及其分布知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理填一填:;.答案:二項分布超幾何分布方差 正態(tài)分布知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理填一填:;知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理1.離散型隨機變量的分布列(1)隨機變量如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量,隨機變量常用字母X,Y,等表示.(2)離散型隨機變量對于隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.(3)分布列設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,xi,xn,X取每一個值xi(i=1,2,n)的概率為P(X=xi)=pi,則稱表為隨機變量X的概率分布列,簡稱X的分布列. 知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理1.離

2、散型隨機變量的分布列為隨機變量X的概率知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理(4)分布列的兩個性質(zhì)pi0,i=1,2,n;p1+p2+pn=1.2.兩點分布如果隨機變量X的分布列為其中0p1,q=1-p,則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布.知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理(4)分布列的兩個性質(zhì)知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理3.超幾何分布列在含有M件次品數(shù)的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,nN,MN,n,M,NN*,則稱分布列為超幾何分布列.知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理3.超幾何分布列nN,MN,n,M,N知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理4.離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為(1)均值稱E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為隨

3、機變量X的均值或數(shù)學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)方差知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理4.離散型隨機變量的均值與方差知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理5.相互獨立事件(1)對于事件A,B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱A,B是相互獨立事件.(2)若A與B相互獨立,則P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨立. 知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理5.相互獨立事件(4)若P(AB)=P(A)知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理6.獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的,各次之間相互獨立的一種試驗,在這種試驗中每一次試

4、驗只有兩種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)二項分布在n次獨立重復試驗中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為k,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則在n次獨立重復試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),此時稱隨機變量X服從二項分布,記作XB(n,p),并稱p為成功概率.知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理6.獨立重復試驗與二項分布知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理7.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a,b(ab),隨機變量X滿足P(aXb)(2)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(-X+)0.682 7;P(-2X+2)0.954

5、 5;P(-3E(3X2),他們都在選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學期望最大.專題歸納高考體驗(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)專題歸納高考體驗專題四正態(tài)分布的實際應(yīng)用例4 在某次大型考試中,某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52),現(xiàn)已知該班同學中成績在8085分的有17人.試計算該班同學中成績在90分以上的有多少人.思路分析:依題意,由在8085分的同學的人數(shù)和所占百分比求出該班同學總數(shù),再求90分以上同學的人數(shù).專題歸納高考體驗專題四正態(tài)分布的實際應(yīng)用專題歸納高考體驗解:成績服從正態(tài)分布N(80,52),=80,=5,-=75,+=85.于是成績在(75,85內(nèi)的同學占全

6、班同學的68.27%,成績在(80,85內(nèi)的同學占全班同學的34.135%.設(shè)該班有x名同學,則x34.135%=17,解得x50.又-2=80-10=70,+2=80+10=90,成績在(70,90內(nèi)的同學占全班同學的95.45%.成績在(80,90內(nèi)的同學占全班同學的47.725%.成績在90分以上的同學占全班同學的2.275%.即有502.275%1(人).故成績在90分以上的僅有1人.專題歸納高考體驗解:成績服從正態(tài)分布N(80,52),專題歸納高考體驗反思感悟?qū)τ谡龖B(tài)分布問題,在新課程標準中的要求不是很高,只要求同學們了解正態(tài)分布中的最基礎(chǔ)的知識.但由于正態(tài)分布中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要

7、思想,一些結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題又成為熱點問題,這就需要同學們熟練掌握正態(tài)分布的形式,記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率,運用對稱性結(jié)合圖象求相應(yīng)的概率.專題歸納高考體驗反思感悟?qū)τ谡龖B(tài)分布問題,在新課程標準中的要專題歸納高考體驗跟蹤訓練4某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服從正態(tài)分布N(70,102),如果規(guī)定低于60分為不及格,求:(1)成績不及格的學生占多少?(2)成績在8090分內(nèi)的學生占多少?解:(1)設(shè)學生的得分情況為隨機變量X,XN(70,102),則=70,=10.在6080分之間的學生所占的比例為P(70-10X70+10)0.682 7,所以不及格的學生所占的比例為

8、 (1-0.682 7)=0.158 65=15.865%,即成績不及格的學生占15.865%.專題歸納高考體驗跟蹤訓練4某年級的一次信息技術(shù)測驗成績近似服專題歸納高考體驗(2)成績在8090分內(nèi)的學生所占的比例為 故成績在8090分內(nèi)的學生占13.59%. 專題歸納高考體驗(2)成績在8090分內(nèi)的學生所占的比例為專題歸納高考體驗專題五方程思想的運用 專題歸納高考體驗專題五方程思想的運用 專題歸納高考體驗所以X的分布列為 反思感悟方程思想是通過引入未知量,構(gòu)造方程或方程組,分析問題、轉(zhuǎn)化問題,使問題得到解決的一種思想.方程思想在本章中的應(yīng)用是從問題的數(shù)量關(guān)系入手,根據(jù)分布列、均值、方差等公式

9、構(gòu)造方程,然后通過解方程(組)的方法使問題得以解決.專題歸納高考體驗所以X的分布列為 反思感悟方程思想是通過引入專題歸納高考體驗跟蹤訓練5某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下: 已知X的期望E(X)=8.9,則y的值為. 解析:x+0.1+0.3+y=1,即x+y=0.6.又7x+0.8+2.7+10y=8.9,化簡得7x+10y=5.4.由聯(lián)立解得x=0.2,y=0.4.答案:0.4專題歸納高考體驗跟蹤訓練5某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗答案:A 專題歸納高考體驗答案:A 專題歸納高考體驗2.(2019北京高考)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生

10、了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:專題歸納高考體驗2.(2019北京高考)改革開放以來,人們專題歸納高考體驗(1)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望;(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中,

11、隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)有變化?說明理由.專題歸納高考體驗(1)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上專題歸納高考體驗解:(1)由題意知,樣本中僅使用A的學生有18+9+3=30人,僅使用B的學生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40人.所以從全校學生中隨機抽取1人,該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率估計為(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1

12、人,該學生上個月的支付金額大于1 000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1 000元”.由題設(shè)知,事件C,D相互獨立,專題歸納高考體驗解:(1)由題意知,樣本中僅使用A的學生有1專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2 000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學生中,本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)沒有變化,則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得答案示例1:可以認為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認為本月的支付金額大于2 000元的

13、人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無法確定有沒有變化.專題歸納高考體驗(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機專題歸納高考體驗考點二離散型隨機變量的分布列、均值與方差3.(2017全國甲高考)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=.解析:由題意可知抽到二等品的件數(shù)X服從二項分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,則D(X)=np(1-p)=1000.020.98=1.96.

14、答案:1.96專題歸納高考體驗考點二離散型隨機變量的分布列、均值與方差專題歸納高考體驗4.(2016四川高考)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當至少有一枚硬幣正面向上時,就說這次試驗成功,則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是.解析:同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,可能的結(jié)果有(正正),(正反),(反專題歸納高考體驗4.(2016四川高考)同時拋擲兩枚質(zhì)地均專題歸納高考體驗5.(2017山東高考)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示

15、的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望EX.專題歸納高考體驗5.(2017山東高考)在心理學研究中,常專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗6.(2017課標高考)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:

16、)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:專題歸納高考體驗6.(2017課標高考)某超市計劃按月訂專題歸納高考體驗以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?解:(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500

17、,由表格數(shù)據(jù)知 因此X的分布列為 專題歸納高考體驗以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該專題歸納高考體驗(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200n500.當300n500時,若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.當200n300時,若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫

18、低于20,則Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300時,Y的數(shù)學期望達到最大值,最大值為520元.專題歸納高考體驗(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為5專題歸納高考體驗7.(2019天津高考)設(shè)甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為 .假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響,且任一同學每天到校情況相互獨立.(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)設(shè)M為事件“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:

19、30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.專題歸納高考體驗7.(2019天津高考)設(shè)甲、乙兩位同學上專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗8.(2018天津高考)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望;設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠

20、不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.專題歸納高考體驗8.(2018天津高考)已知某單位甲、乙、專題歸納高考體驗解:(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以,隨機變量X的分布列為專題歸納高考體驗解:(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人專題歸納高考體驗設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=BC,且B與C互斥.由知,P(B)=P

21、(X=2),P(C)=P(X=1),專題歸納高考體驗設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有專題歸納高考體驗9.(2018北京高考)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率;專題歸納高考體驗9.(2018北京高考)電影公司隨機收集了專題歸納高考體驗(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“k=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小關(guān)系.解: (1)設(shè)“從電影公司收集的電影中隨機選取1部,這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A,第四類電影中獲得好評的電影為2000.25=50(部).(2)設(shè)“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,恰有1部獲得好評”為事件B,P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35.專題歸納高考體驗(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗專題歸納高